1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上矩陣初等變換的一些性質(zhì)及應用摘要：矩陣的初等變換是線性代數(shù)中應用十分廣泛的重要工具。文章證明了矩陣初等變換的兩個性質(zhì), 以此為基礎, 歸納說明了矩陣的初等變換在線性代數(shù)課程中的應用, 并給出了一些實例。關鍵詞：矩陣 初等變換 性質(zhì) 應用Abstract: The elementary alternate of matrix is an important tool broadly used in linear algebra. The paper discusses its properties and application.Key w o rd: matrix,

2、elementary alternate, properties, application0 引言矩陣是數(shù)域P上的m行n列矩陣,矩陣的行(列)初等變換是指對矩陣施行如下的變換:(1) 交換矩陣的兩行(列),對調(diào)i,j兩行,記作（記作）；(2) 以非零數(shù) k 乘矩陣某一行( 列) 的所有元素,第i行（列）乘k,記作×k(記作×k)；(3) 把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行(列)對應元素上去，如第j 行（列）的k 倍加到第i行（列）上, 記作+（記作+）。矩陣的初等變換在高等代數(shù)課程中有著十分廣泛的應用, 也是本課程的基本工具之一。 矩陣的初等行變換和初等列變換具有同

3、等的地位和作用, 只是在使用過程中有所區(qū)別。 本文首先證明初等行變換和初等列變換具有同等的地位和作用，再以具體實例說明矩陣初等變換在求極大無關組和秩的應用。一、 初等變換的性質(zhì)證明定理1 第一種初等變換可以由第二、三種初等變換實施得到。證明: 設是為數(shù)域P上的m×n 矩陣(i= 1，2，m； j=1，2，n)對矩陣A 施行第二、三種初等行變換: 上述矩陣B 與矩陣A 交換i、j兩行后得到的矩陣是相同的。定理證畢。定理2 設是數(shù)域P上一個m×n 矩陣, 其中 且若A經(jīng)過初等行變換為矩陣,其中則有證明: 由初等行變換的定義知道方程組與方程組同解，因此，若，則有 證畢。上述定理1

4、 說明只進行兩種初等行變換就可以起到三種初等行變換的作用。定理2 說明求一個矩陣中列向量組的線性關系表達式可以通過初等行變換而得到。對于列變換的情形有類似結(jié)論。二、初等變換的應用1. 用初等變換求矩陣和向量組的秩由于初等變換不改變矩陣的秩, 且任意一個矩陣均可以經(jīng)過一系列行初等變換化為梯形矩陣; 因此, 我們要確定一個矩陣的秩, 首先要用行初等變換將其化為梯形矩陣, 然后再由梯形矩陣的秩確定原矩陣的秩.例1 設, 求矩陣的秩.解 因此矩陣的秩為3.如果我們要求向量組的秩, 可以把每一向量作為矩陣的一行, 從而向量組就轉(zhuǎn)化為了一個矩陣, 使求向量組的秩轉(zhuǎn)化成求矩陣的秩, 自然使問題簡單化了。例2

5、 求向量組, , , 的秩. 解： 以為列, 構(gòu)造矩陣, 再對進行行初等變換, 化為階梯形矩陣:2. 用初等變換法求逆矩陣如果是階可逆矩陣, 我們將與并排放到一起, 形成一個的矩陣, 因為, 所以對矩陣作一系列行初等變換, 將其左半部分化為單位矩陣, 這時右半部分就是。例3 設，求.解： 因此, .同理, 如果是階可逆矩陣, 我們將與并列放到一起, 形成一個 的矩陣, 因為, 所以對矩陣作一系列列初等變換, 將其上半部分化為單位矩陣, 這時下半部分就是. 用初等變換法求逆矩陣是一種通用而較簡便的方法. 正確地選擇和使用它們能更快更好地解決各類求逆矩陣問題。3. 用初等變換化二次型為標準形對任意

6、二次型一定存在可逆非退化線性替換將其化為標準形, 即為對稱矩陣找一個可逆矩陣, 使得為對角矩陣, 而可逆矩陣可以寫成若干個初等矩陣的乘積, 所以存在初等矩陣有， 從而有是一個對角矩陣。由上式可得到用初等變換法化二次型為標準形的步驟如下:首先, 寫出二次型的矩陣, 構(gòu)造矩陣, 然后對矩陣每進行一次行初等變換后, 就對進行一次同樣的列初等變換, 當矩陣化為對角矩陣時, 單位矩陣將化為可逆矩陣, 此時, 最后得到可逆矩陣和非退化線性變換, 在這個變換下二次型化為標準形。例4 化二次型為標準形, 并寫出所用的非退化線性替換。解： 題中二次型的矩陣為, 由上面的初等變換法化二次型為標準形的步驟可知:=從而非退化線性替換為, 原二次型化為。在運用矩陣初等變換來化二次型為標準形的關鍵: 對矩陣進行的行初等變換和列初等變換必須是一致的。參考文獻1 王曉為矩陣初等變換的獨立性J數(shù)學通報,1991,(10)2 章秋明關于初等變換的定理及其應用 J數(shù)學通報,1987,(10)3同濟大學數(shù)學系編.工程數(shù)學線性代數(shù)