1、精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -2001年全國碩士討論生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(1) 設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為QAL K, 其中 Q是產(chǎn)出量 , L 是勞動投入量 , K 是資本投入量,而A, , 均為大于零的參數(shù),就當(dāng) Q =1時K關(guān)于 L的彈性為(2) 某公司每年的工資總額比上一年增加20的基礎(chǔ)上再追加2 百萬 .如以 Wt 表示第 t 年的工資總額 單位：百萬元 ，就Wt 滿意的差分方程是 k1111k1111k1111k(3) 設(shè)矩陣 A, 且秩 A=3,就k =(4) 設(shè)隨機變量 X,Y 的數(shù)學(xué)期望都是2,方差分別為 1和4,而相關(guān)系數(shù)為0.5

2、.就依據(jù)切比雪夫不等式 PX - Y6.(5) 設(shè)總體 X聽從正態(tài)分布N 0,0.2 2 , 而X1, X 2 ,X15 是來自總體 X 的簡潔隨機樣本，就隨22機變量 YX 12X 2X10X 2聽從 分布，參數(shù)為 1115二、挑選題(1) 設(shè)函數(shù) f x的導(dǎo)數(shù)在 x=a處連續(xù) ,又 limf 'x1, 就xa xa(A) x = a 是f x的微小值點 .(B) x = a 是f x的極大值點 .(C) a, fa是曲線 y= fx的拐點 .(D) x =a不是 f x的極值點 , a, fa也不是曲線 y=fx的拐點 .(2) 設(shè)函數(shù)gxxf udu, 其中0f x1 x2211

3、,0x1, 就gx在區(qū)間 0,2內(nèi) x1,1x23(A) 無界B 遞減C不連續(xù)D連續(xù)(3) 設(shè) Aa11 a21 a31 a41a12 a22 a32 a42a13 a23 a33 a43a14 a24, Ba34a44a14 a24 a34 a44a13 a23 a33 a43a12 a22 a32 a42a11 a21 a31 a410001010000101000, P1,精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 1 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -21000001001

4、0000011P, 其中 A 可逆 ,就 B 1 等于 (A) AP1P2(B)P A 1P(C) P1P2 ADP A 1P .12121A(4) 設(shè)A 是n 階矩陣， 是n維列向量 .如秩T0秩 A ，就線性方程組(A) AX =必有無窮多解B AX = 必有惟一解 .AXC TAX0 僅有零解 D T0 必有非零解 .0y0y(5) 將一枚硬幣重復(fù)擲n 次,以X和Y 分別表示正面對上和反面對上的次數(shù),就 X和Y的相關(guān)系數(shù)等于 1A -1B 0C2(D) 1三 、此題滿分 5 分設(shè)u= fx,y,z有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),又函數(shù) y=yx及 z=zx分別由以下兩式確定:xyxx z sin t

5、求 duexy2 和 edt ,0tdx四 、此題滿分 6 分已知 f x在- ,+ 內(nèi)可導(dǎo) ,且 limf 'xe, lim xcxlimf xf x1,求c的值 .五 、此題滿分 6 分1 x2xy 2 xxcx求二重積分區(qū)域y1Dxe2dxdy的值 ,其中 D 是由直線 y=x, y= - 1及x =1圍成的平面六、 此題滿分 7 分已知拋物線ypx2qx 其中 p<0,q>0在第一象限與直線x+y=5相切，且此拋物線與x軸所圍成的平面圖形的面積為S.(1) 問 p和q為何值時， S達(dá)到最大 .2求出此最大值.七、 此題滿分 6 分設(shè)f x在區(qū)間 0,1 上連續(xù) ,在

6、0,1 內(nèi)可導(dǎo) ,且滿意f 110k3 xe1x f xdx, k1.證明：存在 0,1, 使得f '211 f .精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 2 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -八、 此題滿分 7 分已知 f x 滿意 f ' xf xxn 1ex n為正整數(shù) 且 f 1e , 求函數(shù)項級數(shù)nnnnnf n x 之和 .i 1九、 此題滿分 9 分11a1設(shè)矩陣A1a1,1. 已知線性方程組AX =有解但不唯獨,試求 :a112(1) a的值 ;

7、T(2) 正交矩陣 Q,使 QAQ 為對角矩陣 .十、 此題滿分 8 分設(shè)A為n階實對稱矩陣，秩A=n ，Aij 是ijAa中元素n naij 的代數(shù)余子式i,j=1,2,n，二次型f x1 , x2 ,xn nnAijxi x j .i 1 j 1A(1) 記 A x1 , x2 ,xn , 把f x1 , x2 ,xn nnAijxi xj .寫成矩陣形式， 并證明二次i 1 j 1A型 f X 的矩陣為A 1 ;(2) 二次型g X X T AX 與f X 的規(guī)范形是否相同？說明理由.十一、 此題滿分 8 分生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝,每箱的重量是隨機的,假設(shè)每箱平均重50 千克 ,標(biāo)準(zhǔn)差

8、為 5千克 .如用最大載重量為5 噸的汽車承運,試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱,才能保證不超載的概率大于0.977. 2=0.977其, 中x是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù).十二、 此題滿分 8 分設(shè)隨機變量 X和Y 對聯(lián)和分布是正方形G= x,y|1 x3,1y3 上的勻稱分布，試求隨機變量 U= X- Y的概率密度pu.精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 3 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -2001年全國碩士討論生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題1 【答案】【使

9、用概念】 設(shè) yfx在 x 處可導(dǎo)， 且 fx0 ，就函數(shù) y 關(guān)于 x 的彈性在 x 處的值為Eyx yxfxExyfx【詳解】由 QAL K，當(dāng) Q性為：1 時，即AL K11 ，有 KAL, 于是 K 關(guān)于 L 的彈EKL KELK111dALALL1dLL1ALAL2 【答案】1.2Wt 12【詳解】Wt 表示第 t年的工資總額，就Wt 1 表示第 t1 年的工資總額，再依據(jù)每年的工資總額比上一年增加20的基礎(chǔ)上再追加2百萬，所以由差分的定義可得Wt 滿意的差分方程是：Wt120Wt 121.2Wt 123 【答案】 -3【詳解】方法 1： 由初等變換 既可作初等行變換，也可作初等列變

10、換.不轉(zhuǎn)變矩陣的秩，故對A 進行初等變換k111k1111k1111k11k0k10111k1k00k1A1行1分別加到1kk2,3,4行100精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 4 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -k31112,3,4 列分別加到 1列0k10000k10000k1可見只有當(dāng) k =- 3時， r A=3.故k =- 3.方法 2： 由題設(shè) rA=3， 故應(yīng)有四階矩陣行列式A0 .由k111k1111k1111k11k0k10111k1k00k1A1kk

11、1行1分別加到 2,3, 4行k311110002,3, 4列分別加到 1列k100 k3k130,00k10000解得k =1或k = - 3. 當(dāng)k =1時， 11111111k1111100001111000011110000A1行1分別加到 2，3，4行可知，此時 r A=1，不符合題意，因此肯定有k =- 3.14 【答案】212【所用概念性質(zhì)】切比雪夫不等式為：PXE X D X 期望和方差的性質(zhì)：E XY EXEY ；D XY DX2covX , Y DY【詳解】把 XY 看成是一個新的隨機變量，就需要求出其期望和方差.故E XY EXEY220又相關(guān)系數(shù)的定義： X , Y c

12、ov X , Y DXDY就covX , Y X ,YDXDY0.5141D XY DX2covX ,Y DY12143所以由切比雪夫不等式：精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 5 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -PXY6PXYE XY 6D XY 31 6236125 【答案】 F ； 10,5【所用概念】 1.F 分布的定義：FX2n1其 中 X Yn2 n1 2Y n222. 分布的定義： 如Z1, Zn 相互獨立， 且都聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布nZiN 0,1 ，就2i

13、12 n3. 正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化的定義：如Z N u,2 ，就Zu N 0,1【詳解】由于XN 0,2 2i1,2,15 ， 將其標(biāo)準(zhǔn)化有X i0XiN 0,1，從而根i22據(jù)卡方分布的定義22X1X102 10,2X112X152 5,22222由樣本的獨立性可知，X12X10與2X11X152相互獨立 .2222故，依據(jù) F 分布的定義22X 1X 102210X 2X 2Y110F 10,5.222X 2X 2X11X151115225故 Y 聽從第一個自由度為10，其次個自由度為5的 F 分布 .二、挑選題1 【答案】 B【詳解】方法 1： 由limf 'x1, 知xa xalim

14、f ' xlimf 'xxalimf ' xlimxa1 00xaxa xaxa xaxa又函數(shù)f x 的導(dǎo)數(shù)在xa 處連續(xù)，依據(jù)函數(shù)在某點連續(xù)的定義，左極限等于右極限等于函數(shù)在這一點的值，所以fa0 ，于是有精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 6 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -f ' xf 'af ' xf " a limlim1,xaxaxa xa即 f a0 ， f(a) 10 ，依據(jù)判定極值的其次充分條件

15、：設(shè)函數(shù)f x 在x0 處具有二階導(dǎo)數(shù)且f x0 0 ， fx0 0 ，當(dāng) fx00 時，函數(shù)f x 在x0 處取得極大值 . 知 xa 是 f x 的極大值點，因此，正確選項為B.方法 2： 由limf 'x1, 及極限保號性定理：假如limf xA ，且 A0 或 A0 ，xa xaxx0那么存在常數(shù)0 ，使得當(dāng)0xx0時，有fx0 或 fx0 ，知存在xa 的去心鄰域，在此去心鄰域內(nèi)f ' x0 .于是推知，在此去心鄰域內(nèi)當(dāng)xa 時f x0 ；當(dāng) xa 時 fxa x0. 又由條件知f x 在 xa 處連續(xù)，由判定極值的第一充分條件：設(shè)函數(shù)f x 在 x0 處連續(xù)，且在x

16、0 的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，如xx0, x0時， f x0 ，而xx0 , x0時， f(x) 0 ，就f x 在 x0 處取得極大值，知f a 為f x 的極大值 . 因此，選B.2 【答案】 D【詳解】應(yīng)先寫出gx的表達(dá)式 .12當(dāng) 0x1時，f x x 21) ，有g(shù) xxfu dux 1 u 21du1 u 3 x1 u x1 x31 x,00 2602062當(dāng) 1x2 時，f x1 x31 ，有g(shù) xx1f uduf udux1 12f uduu1dux 1 u1du0010 21 31 u 3 11 u 11 u2 x1 u x21x1 260206131361 x31x,0x1即g

17、x6221x21,1x2由于lim36131g xlimxx2 ， limg xlim2122x1，x1x1623x1x 1363精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 7 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -2122且g 111，363所以由函數(shù)連續(xù)的定義，知g x 在點 x1 處連續(xù)，所以g x 在區(qū)間 0, 2 內(nèi)連續(xù)，選 D.同樣，可以驗證A 、B 不正確， 0x1 時，g x1 x31 x1 x210 ，單6222調(diào)增，所以 B 遞減錯； 同理可以驗證當(dāng)1x2 時，gx

18、21x1 21x10 ，3635單調(diào)增，所以g0g xg2 ，即 0gx與選項 A 無界沖突 .63 【答案】C【詳解】由所給矩陣A, B 觀看，將 A 的 2,3 列互換，再將A 的1, 4 列互換， 可得 B . 依據(jù)初等矩陣變換的性質(zhì)，知將A 的 2,3 列互換相當(dāng)于在矩陣A 的右側(cè)乘以E23 ，將 A 的 1,4 列互換相當(dāng)于在矩陣A 的右側(cè)乘以E14 ，即AE23E14B ，其中E231000001001000001， E140001010000101000由題設(shè)條件知P1E14 , P2E23 ，因此BAP2 P1 .由于對初等矩陣E 有 ， E 1E ， 故 P 1P , P 1

19、P .ijijij1122因此，由BAP2P1 ，及逆矩陣的運算規(guī)律，有B 1AP P1P 1P 1 A 1PP A 1 .2 1121 24 【答案】 D【詳解】 由題設(shè)， A 是 n 階矩陣，是n維列向量， 即T 是一維行向量， 可知A是T0n1 階矩陣 . 明顯有秩A秩 Ann1,即系數(shù)矩陣A非列滿秩， 由T0T0齊次線性方程組有非零解的充要條件：系數(shù)矩陣非列或行滿秩，可知齊次線性方程組精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 8 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -AXT0

20、 必有非零解 .0y5 【答案】A【詳解】擲硬幣結(jié)果不是正面對上就是反面對上，所以XYn ，從而 YnX ，故DYD nX DX由方差的定義：DXEX 2EX 2 ， 所以DYD nX E nX 22E nX En22nXX 2 nEX 2n22nEXEX 2n22nEX EX 2EX 2EX 2DX 由協(xié)方差的性質(zhì)：cov X , c0 c 為常數(shù) ； cov aX , bYab cov X ,Y covX1X 2 ,Y cov X1,Y cov X 2 , Y 所以cov X , Y cov X ,nX cov X , ncov X , X 0DXDX由相關(guān)系數(shù)的定義，得 X ,Y cov

21、 X ,Y DX1DXDYDXDX三【變限積分求導(dǎo)公式】f xag t dt xg fx fx【詳解】依據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有duffdyfdzdxxydxz dx.*在 exyxy2 兩邊分別對x 求導(dǎo)，得exy yx dy yx dy 0,dxdx即dyy .dxx在xx z sin t兩邊分別對 x求導(dǎo)，得edt0txsin xzedz1,dzex xz即1.xzdx將其代入 * 式，得dxsinxzduffdyfdzfyfdxxydxzdxxxyex xzf1.sin xzz精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 9 頁，共 20 頁 - - - - - - -

22、- - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -四 【詳解】由于lim1x1 xe xlimxc xlim xc2c x把 xc 寫成 xc2c xxcxxcx c 2cxlim xc2c 2 c x cx cx把寫成2 cxxxc2 cx c2 cx2cx cx clim1 2 c 利用冪函數(shù)的性質(zhì)amnam n xxc2cx2 c x c x cln 1 2 cx clim ex利用對數(shù)性質(zhì)eln f xf x 2cxln 1x c2c 2 climxx cx ce利用對數(shù)性質(zhì)ln f xg x g xlnf x x c2 cx2climln 1 2 c

23、limf x xx cx cxf x xe利用 ye 函數(shù)的連續(xù)性，limxeelim2 cxlim ln 1x c2 c 2cxx c xx ce當(dāng)各部分極限均存在時，limf xg xlimf x limg x xxxlim2 cx ln lim 1x c2 c 2cxx cxx ce利用 yln x函數(shù)的連續(xù)性， limlnf xlnlimf x e2c ln e 2ce利用 ln elim1x1xx1 xe x又由于f x 在,內(nèi)可導(dǎo)，故在閉區(qū)間 x1, x 上連續(xù)，在開區(qū)間x1, x 內(nèi)可導(dǎo)，那么又由拉格朗日中值定理，有f xf x1f x x1f , x1x左右兩邊同時求極限，于是

24、lim f xf x1limf 'e ，xx由于 x1x ， x 趨于無窮大時，也趨向于無窮大由題意， limxxc xxclimxf xf x1,從而 e2 ce ，故 c12精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 10 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -五 【詳解】積分區(qū)域如下列圖，可以寫成1y1, yx1y11 x2xe2y2 1 x2dxdyydxdyxye2y2 dxdy,DDD其中，ydxdyD11dyydx1y1y11ydy2 ; 31 x2y 2 121

25、1 xy 2 122111 xy xye2Ddxdyydyxe21ydxydye21yd x2 2111 x2y 2 11 1y 2 2ydye21yd 1 x22y2 e 21ye dy111 1e221y2 2e y dy 21111e221y 2 dy211 ey221dy 211 12y2 1211y 2211 y2 121y 2 10ed1y edyee2112211于是y1D1 x2xe2y 2 dxdy23六【詳解】 方法 1： 依題意知，拋物線如下列圖，令 ypx2qxx pxq0 ，求得它與x 軸交點的橫坐標(biāo)為：x0, xq .依據(jù)定積分的定義，面積S 為qpq12pqq31

26、Sppx2qx dxx3x2p注：xndxxn 1C 0326 p2n10精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 11 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -因直線 xy5 與拋物線ypx2qx相切，故它們有唯獨公共點. 由方程組x y52y pxqx求其公共解，消去y ，得px2q1 x50 ，由于其公共解唯獨，就該一元二次方程只有唯獨解，故其判別式必為零，即q1214p5q21220 p0,解得pq1 .20將 p 代入 S 中，得323Sqqq1200q34 .6 p6q20

27、12 23q1依據(jù)函數(shù)除法的求導(dǎo)公式，200q3 3q14 3 q14 200q3 200q2 3qS q 3q14 23q15依據(jù)駐點的定義，令S q0 ，已知有 q0 ，得唯獨駐點q3 .當(dāng)1q3 時，S q0 ； q3 時，S q 0 . 故依據(jù)極值判定的第一充分條件知， q3 時，S q 取唯獨極大值，即最大值.從而最大值為SS3225 .32方法 2： 設(shè)拋物線ypx 2qx 與直線 xy5 相切的切點坐標(biāo)為x , y ，切點既在拋物00線上，也在直線上，于是滿意方程有ypx2qx 和 xy5 .00000拋物線與直線在切點處的切線斜率是相等的，即一階導(dǎo)數(shù)值相等. 在ypx2qx左右

28、兩邊關(guān)于x 求導(dǎo)， 得 y2 pxq ，在 xy5 左右兩邊關(guān)于x 求導(dǎo)， 得 y1 ，把切點坐標(biāo)y x0 , y0 代入，得2 pxq1xq1x x0002 p2由 xy5y5x ，將兩結(jié)果代入ypxqx 得0000000精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 12 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -y5x5q1px2qxpq1 2qq100002 p2 p2 p整理得p1 q2012 .將 p 代入 S 中，得Sq200q34 .3q1依據(jù)函數(shù)除法的求導(dǎo)公式，200q3 3

29、qS q 14 3 q4 214 200q3 200q2 3q53q1 3q1依據(jù)駐點 即使得一階導(dǎo)數(shù)為零的點 的定義，令S q0 ，已知有 q0 ，得唯獨駐點 q3 .當(dāng)1q3 時，S q0; q3 時， S q0; 故依據(jù)極值判定的第一充分條件知， q3 時，Sq 取唯獨極大值，即最大值.從而最大值為SS3225 .32七【詳解】將要證的等式中的換成 x ，移項，并命 xf xx1 f xx問題轉(zhuǎn)化為證在區(qū)間0,1 內(nèi)x 存在零點 . 將f xx1 f xx0看成一個微分方程，用分別變量法求解. 由df xf xx1 dx x兩邊積分得df x x11dx 1d xf xxx利用1 dx

30、xln xC 及xndx1xn 1n1C ，得CexCexlnf xxlnxC1lnf xlnxf x，x精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 13 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -即xex f xC ，命F xxe x f x . 由f 11k0k xe1x f xdx, k1及積分中值定理假如函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，就在積分區(qū)間 a,b 上至少存在一個點，使得bf xdxf baabak1，知至少存在一點0, 1 k0,1 ，使f 1k xe1x f x

31、dxe1f 0且 F e f ， F 1e 1 f1. 把f 1e1f 代入，就F 1e 1 f 1e 1 e1f ef F 那么 F x 在 ,1 上連續(xù)，在 ,1 內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾中值定理知， 至少存在一點 ,10,1，使得F ef ef 0即f 11 f .八【詳解】由已知條件可見fn xf n xxn 1ex ，這是以f n x 為未知函數(shù)的一階線性非齊次微分方程，其中px1, q xxn 1ex ，代入通解公式f xp x dxeq xep x dxdxC得其通解為dxf n xexn 1ex edxxnxdxCeC,nn由條件f 1e , 又 nfn 1e1C n，得 C0 ， 故x

32、n exfn x,nfn xn 1xnxn exn 1n1xnexn 1 n1an11記 Sx, 就 a，limn 1lim1，就其收斂半徑為R1 ，nn 1 nnnann1n收斂區(qū)間為1,1 . 當(dāng) x1,1時，依據(jù)冪級數(shù)的性質(zhì)，可以逐項求導(dǎo)，精選名師 優(yōu)秀名師 - - - - - - - - - -第 14 頁，共 20 頁 - - - - - - - - - -精品word 名師歸納總結(jié) - - - - - - - - - - - -S xxnn 1 nxnn 1nxn 1n 11，其中11x1x1xx2xn故依據(jù)函數(shù)積分和求導(dǎo)的關(guān)系f xdxf xC ，得x x0S xdxS x0SxS00n002又由于S00 ，所以n 1 n12S xS0xx1S xdx0dxln1x ，00 1xxn即有n 1 nln1x, x1,1當(dāng) x1 時，1nn 1nln 2 . 級數(shù)在此點處收斂，而右邊函數(shù)連續(xù)，因此成立的范疇可擴大到xxn1 處，即n 1 nln1x, x1,1于是fnn 1 xex ln1x, x1,1九【詳解】 1 線性方程組AX有解但不唯獨，即有無窮多解r Ar An3 ，將增廣矩陣作初等行變換，得11a111A1a112行1行，3行1行a倍0a11a1a0a11201a1a22a11a12行加到 3行0a11a000