1、西南財(cái)經(jīng)大學(xué)西南財(cái)經(jīng)大學(xué)省級(jí)精品課程省級(jí)精品課程經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)分析經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)分析課題組版權(quán)所有課題組版權(quán)所有 請(qǐng)勿外傳請(qǐng)勿外傳 第二十一章第二十一章 重積分重積分 1 二重積分的概念二重積分的概念 2 直角坐標(biāo)系下重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)系下重積分的計(jì)算 4 重積分的變量變換重積分的變量變換 6 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)分析經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)分析1 二重積分的概念二重積分的概念經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)分析經(jīng)濟(jì)管理數(shù)學(xué)分析 第二十一章重積分第二十一章重積分 設(shè)設(shè) f (x,y) 為定義在可為定義在可求面積的有界閉區(qū)域求面積的有界閉區(qū)域D上上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)的非負(fù)連續(xù)函數(shù). 求以曲面求以曲面 z=f(x,y)

2、 為為頂，頂，D為底的柱體的體積為底的柱體的體積(如圖所示如圖所示). 1. 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積二二 二重積分的定義及其存在性二重積分的定義及其存在性(P225)oxyzDz =f(x,y)* *一一 平面圖形的面積平面圖形的面積(P223)第二十一章重積分第二十一章重積分 1二重積分的概念二重積分的概念(,)iiiiVf 分分割割取取近近似似求求和和取取極極限限1niiVV | |01lim(,)niiiTiVf yxzz=f(x,y)oD( i, i) i1(,)niiiif 第二十一章重積分第二十一章重積分 1二重積分的概念二重積分的概念一般地，求曲頂柱體體積的步驟如下：一般地

3、，求曲頂柱體體積的步驟如下：(1)分割：將底面區(qū)域分割：將底面區(qū)域 D 任意分為任意分為 n 塊可求面積的小塊塊可求面積的小塊12,n 其面積仍記為其面積仍記為 . . 相應(yīng)地將曲頂柱體分割相應(yīng)地將曲頂柱體分割成成 n 個(gè)小曲頂柱體，分別記為個(gè)小曲頂柱體，分別記為12,n 12,.nVVV (2)近似代替：在每一小塊上任意取一點(diǎn)近似代替：在每一小塊上任意取一點(diǎn) 則則小曲頂柱體的體積小曲頂柱體的體積 可用直柱體的體積近似代替，即可用直柱體的體積近似代替，即(,),iiiM iV (,)iiiiVf 第二十一章重積分第二十一章重積分 1二重積分的概念二重積分的概念 (3)求和：把求和：把 n 個(gè)小

4、曲頂柱體的體積相加，便得到所求曲個(gè)小曲頂柱體的體積相加，便得到所求曲頂柱體體積的近似值頂柱體體積的近似值11(,)nniiiiiiVVf 上述和式取極限，如果該極限存在，那末此極限值就定義為上述和式取極限，如果該極限存在，那末此極限值就定義為曲頂柱體的體積，即曲頂柱體的體積，即曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積| |01lim(,).niiiTiVf (4)取極限：記取極限：記 令令1| max,iiii nTd d 為為的的直直徑徑|0T 第二十一章重積分第二十一章重積分 1二重積分的概念二重積分的概念2( 227) ( , )zf x yPD 設(shè)設(shè)是是定定義義在在可可求求面面積積的的有有義義界界

5、閉閉區(qū)區(qū)域域定定1(,),niiiifJ ( , )( , )f x yDJf x yD則則稱稱在在 上上, ,數(shù)數(shù) 稱稱為為函函可可積積二二重重積積數(shù)數(shù)在在 上上的的分分, ,記記作作( , ).DJf x y d 2. 二重積分的概念二重積分的概念| |01( , )lim(,)niiiTiDf x y df 即即. 00JD 上上的的函函數(shù)數(shù)是是一一個(gè)個(gè)確確定定的的數(shù)數(shù)，若若，使使得得對(duì)對(duì) 的的任任何何分分TTT 割割 ，當(dāng)當(dāng)它它的的細(xì)細(xì)度度 時(shí)時(shí)，屬屬于于 的的所所有有積積分分和和都都有有注注(3)二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義:當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是曲頂柱體的體積當(dāng)被積

6、函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是曲頂柱體的體積;當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是曲頂柱體的體積的負(fù)值當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是曲頂柱體的體積的負(fù)值;(1)在二重積分的定義中，對(duì)閉區(qū)域的劃分是任意的在二重積分的定義中，對(duì)閉區(qū)域的劃分是任意的; (2)當(dāng)當(dāng)f(x,y)在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)，定義中和式的極限必存在，即在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在二重積分必存在. (4)在直角坐標(biāo)系下用平行在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D，( , )( , ).DDf x y df x y dxdy ddxdy 故二重積分可寫(xiě)為故二重積分可寫(xiě)為xyo則面積元

7、素為則面積元素為第二十一章重積分第二十一章重積分 1二重積分的概念二重積分的概念1. 當(dāng)當(dāng) k 為常數(shù)時(shí)，為常數(shù)時(shí)，( , )( , ).DDkf x y dkf x y d 2. ( , )( , )Df x yg x y d ( , )( , ).DDf x y dg x y d(二重積分與定積分有類似的性質(zhì)二重積分與定積分有類似的性質(zhì))三三 二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)(P228)*3. 二元函數(shù)可積性定理二元函數(shù)可積性定理(P227)3. 對(duì)區(qū)域具有可加性對(duì)區(qū)域具有可加性12( , )( , )( , ).DDDf x y df x y df x y d4. 若在若在D上上( , )( , ),f x yg x y ( , )( , ).DDf x y dg x y d 12()DDD 則有則有第二十一章重積分第二十一章重積分 1二重積分的概念二重積分的概念8(補(bǔ)充補(bǔ)充) 若若 SD 為為D 的面積，的面積，1.DDDSdd5.( , )( , ).DDf x y df x y d ( , ).DDDmSf x y dMS ( , )( , ).DDf x y dfS 6. 設(shè)設(shè)M、m分別是分別是f(x,y)在閉區(qū)域在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，上的最大值和最小值，SD為為D的面積，則的面積，則