1、垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)一、知識(shí)梳理(2)兩直線垂直的判定定義：若兩直線成90°角，則這兩直線互相垂直.一條直線與兩條平行直線中的一條垂直，也必與另一條垂直.即若b/c,a±b,則a±c一條直線垂直于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線.即若a,a,bu“，a±b.三垂線定理和它的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，若和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直.如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么這條直線與這個(gè)平面的垂線垂直.即若a/a,b，“，則a±b.三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直，即若a，3,3,丫，丫，a,且aA3=a,3r=b,rA

2、a=c,貝Ua±b,b±c,c±a.(4)直線與平面垂直的判定定義：若一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.即若m=a,n二a,mHn=B,l±m,l，n,則l±a.如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一平面.即若l/a,a±“，則l_La.一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面，即若a/3,l，3,則l，a.如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面，即若a1

3、3,an3=a,lU3,la,貝Ula.如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面，即若a，丫，3，丫，且an3=a，貝Ua,丫.(6)兩平面垂直的判定定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即二面角a-a3=90°Ua±3.如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直，即若l，3,lua,則a，3.一個(gè)平面垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，也垂直于，另一個(gè).即若a/3,則3，丫.二、典例精析考點(diǎn)一：線面垂直的判定及性質(zhì)ABC,AE±例1:如圖所示，AB為。的直徑，C為。上一點(diǎn)，APL面BP于E,A

4、HCP于F.求證：BPL平面AEF(2009北京)如圖，四面體ABCM,O是BD的中點(diǎn)，BCD勻?yàn)榈冗吶切?，AB=2,AC=6.求證：AOL平面BCD.考點(diǎn)二：面面垂直的判定及性質(zhì)例2:如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC虛/DAB=60°且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD若G為AD邊的中點(diǎn).(1)求證：BGL平面PAD(2)求證：AD±PBB平面即時(shí)訓(xùn)練在斜三棱柱A1B1cl-ABC中，底面是等腰三角形,(1)若D是BC的中點(diǎn)，求證：AD±CC1(2)過(guò)側(cè)面BBiCiC的對(duì)角線BCi的平面交側(cè)棱于M,若截面MBCi,側(cè)面B

5、BiCiC.AB=AC側(cè)面BB1GC，底面ABC.AM=MAi,求證:(3)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找一點(diǎn)F,使平面DEFABCD并證明彳的結(jié)論.考點(diǎn)三：平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用例3如圖1,等腰梯形ABCD中,圖2,將4ABE沿AE折起，使二面角P是棱BC的中點(diǎn).(1)求證：AEXBD;(2)求證：平面PEF1平面AECD;AD/BC,AB=AD,/ABO60°,E是BC的中點(diǎn).如B-AE-C成直二面角，連結(jié)BC,BD,F是CD的中點(diǎn),圖1理由.圖2(3)判斷DE能否垂直于平面ABC,并說(shuō)明2、 如圖所示，直三棱柱ABCAB1cl中，B1c1=AC1M、N分別是AB、AB的

6、中點(diǎn).求證：C1M，平面AABB1;（2）求證：A1B±AM;（3）求證：平面AMC"/平面NBC;（4）求AB與BC所成的角3、 如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，BC=33,AB=6,把它折成正三棱柱的側(cè)面（如圖），使AD與BC重合,長(zhǎng)方形的對(duì)角線AC與折痕線EF、GH分別交于M、N,連結(jié)AN.（1）求多面體AMND的體積；（2）求證：平面DMN，側(cè)面ADFE三、模擬演練則下列命題是真命題的是1. （2010年寧波十校聯(lián)考）設(shè)b、c表示兩條直線，%3表示兩個(gè)平面，若b?a,C/a,貝Ub/C若b?a,b/C,貝UC/a若c/a,a_L3,則C_L3若C/a,C_L就則a_L3解析

7、：中，b,c亦可能異面；中，也可能是c?%中，c與3的關(guān)系還可能是斜交、平行或c?3;中，由面面垂直的判定定理可知正確.答案：2. （2010年青島質(zhì)檢）已知直線l,平面“直線m?平面3,下面有三個(gè)命題：all僅l±m;n留l/m;lIIm?8則真命題的個(gè)數(shù)為.解析：對(duì)于，由直線"平面%all&彳導(dǎo)l±氏又直線m?平面3,故Um,故正確；對(duì)于，由條件不一定得到l/m,還有l(wèi)與m垂直和異面的情況，故錯(cuò)誤；對(duì)于，顯然正確.故正確命題的個(gè)數(shù)為2.答案：2個(gè)3. （2009年高考山東卷改編）已知外3表示兩個(gè)不同的平面，m為平面a內(nèi)的一條直線，則“3”是am

8、7;3”的條件.解析：由平面與平面垂直的判定定理知如果m為平面口內(nèi)的一條直線，m，3,則氏反過(guò)來(lái)則不一定.所以“0a3”是“m,1的必要不充分條件.答案：必要不充分4. （2009年高考浙江卷）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=2,BC=1,E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將4AFD沿AF折起，使平面ABDL平面ABC.在平面ABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DKAB,K為垂足.設(shè)AK=t,則t的取值范圍是.DBGK,二.平面ABD,平面解析：如圖，過(guò)D作DGLAF,垂足為G,連結(jié).DKL平面ABC,DK±AF.AFL平面DKG,AFXGK.容易得到，當(dāng)F接近E點(diǎn)時(shí)，K接近AB的中i

9、接近AB的四等分點(diǎn).，t的取值范圍是（2,I）.答ABC,又DKAB,5.（原創(chuàng)題）已知a、b為兩條不同的直線,a±a,b±&則下列命題中假命題的有O'點(diǎn)，當(dāng)F接近C點(diǎn)時(shí)，K-I案：（2，i）為兩個(gè)不同的平面，且若allb,則all3;若/3,則a±b;若a、b相交，則3相交;若“、3相交，則a,b相交.解析：若答案：3相交，則a、b既可以是相交直線,也可以是異面直線.6.（2009年高考山東卷）如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD為等腰梯形，AB/CD,AB=4,BC=CD=2,棱AD,AAi的中點(diǎn).（i）設(shè)F是棱AB的中點(diǎn)，證明：直線EEi/平（

10、2）證明：平面DiAC,平面BBiCiC.證明：（I）法一：取AiBi的中點(diǎn)為Fi,連ZFFi,由于FFI/BBI/cc1?所以FiC平面FCCi.因此平面FCCi即為平面CiCFFi.連結(jié)AiD,FiC,由于AiFi由DiCi觸CD,所以四邊形AiDCFi為平行四邊形，因此AiD/FiC.又EEi/AiD,得EEJ/FiC.而EEi?平面FCCi,FiC?平面FCCi,故EE1/平面FCC1.法二：因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，CD=2,AB=4,AB/CD,所以CD觸AF,因此四邊形AFCD為平行四邊形，所以AD/FC.又CC1/DD1,FCnCC1=C,FC?平面FCC1,出ByAiBiCiDi中

11、，底面AAi=2,E,Ei分別是面FCC1;CiFi.CC1?平面FCC1,ADnDD1=D,AD?平面ADD1A1,DDi?平面ADD1A1.所以平面ADDiA"/平面FCCi.又EEi?平面ADDiAi,所以EE"/平面(2)連結(jié)AC,在4FBC中，F(xiàn)C=BC=FB,又F為AB的中點(diǎn)，所以AF=FC=FB.因止匕/ACB=90°,即ACXBC.又ACCCi,且CCiABC=C,所以AC,平面BBiCiC.而AC?平面DiAC,故平面DiAC,平面BBiCiC.EiA7.設(shè)a,b是兩條不同的直線，%3是兩個(gè)不同的平面，則能得出ab的是a/3FCCi.解析：由a/

12、&b_L3?b_La,又a?a,故a_Lb.答案：8 .設(shè)a,3為不重合的平面，m,n為不重合的直線，則下列命題正確的是.若m?a,n?3,m/n,則a/3若n±a,n±3,m±3,貝Um±a若mIIa,nII3,m±n,則a±3若a±3,aA3=n,m,n,則m±a解析：由n±%n13可得all3,又因m13,所以m±a答案：9 .設(shè)m,n是兩條不同的直線，a,3是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是.m,a,n?8m±n?a±3a"&m±

13、a,n"3?m，na，&m±a,n3?m±na，&aA3=m,n±m?n±3解析：錯(cuò)，不符合面面垂直的判斷定理的條件；由空間想象易知命題正確；錯(cuò)，兩直線可平行；錯(cuò)，由面面垂直的性質(zhì)定理可知只有當(dāng)直線n在平面a內(nèi)時(shí)命題才成立.答案：10 .已知兩條不同的直線m,n,兩個(gè)不同的平面%3,則下列命題中正確的是_.若m±a,n±3,a±&貝Um±n若m±a,nII也&貝Um±n若m/a,n/3,a/&則m/n若mIIa,n±3,&&am

14、p;貝Um“n解析：易知正確.而中a±3且m±a?m/3或mC3,又n/3,容易知道m(xù),n的位置關(guān)系不定，因此錯(cuò)誤.而中分別平行于兩平行平面的直線的位置關(guān)系不定，因此錯(cuò)誤.而中因?yàn)椴粚?duì)，此項(xiàng)也不對(duì).綜上可知正確.答案：11 .設(shè)a,b,c表不二條直線，a,3表布兩個(gè)平面，則下列命題的逆命題不成立的是c_L%若c_L3,貝Uall3b?3,c是a在3內(nèi)的射影，若b±c,則a±bb?3,若b±a,則此ab?a,c?a,若c/a,貝Ub/c解析：當(dāng)b?8若Ha,則未必有b±a答案：12 .已知二面角a-l-3的大小為30°,m、n

15、為異面直線，m,平面a,n，平面氏則m、n所成的角為解析：-.1m±a,n±3,m、n所成的夾角與二面角al3所成的角相等或互補(bǔ).面角al3為30,90°,BCi±AC,則CiAC?平面ABC,平平面的交線AB上.答AD=4,P在AD上運(yùn)垂直于平面BPDC,AC面BCDP.2X4X3cos0Xcos(90°，異面直線m、n所成的角為30°.答案：30°13 .如圖所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，/BAC=在底面ABC上的射影H必在直線上.解析：由ACXAB,AC±BC1,AC,平面ABC1，面ABCJ平面AB

16、C,C1在平面ABC上的射影H必在兩案:AB14 .(2010年江蘇昆山模擬)在矩形ABCD中，AB=3,動(dòng)，設(shè)/ABP=0,將AABP沿BP折起，使得平面ABP長(zhǎng)最小時(shí)0的值為.解析：過(guò)A作AHLBP于H,連CH,，AH，平在RtABH中，AH=3sin0,BH=3cos0.在4BHC中,CH2=(3cos0)2+42九在RtAACH中，AC2=2512sin2為0=45°時(shí)，AC長(zhǎng)最小.答案：45°315.在正四棱錐P-ABCD中，PA=AB,M是BC的中點(diǎn)，G是PAD的重心，則在平面PAD中經(jīng)過(guò)G點(diǎn)且與直線PM垂直的直線有條.解析：設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a,則側(cè)棱長(zhǎng)由

17、PMXBC,pm7豹一0著a連結(jié)PG并延長(zhǎng)與AD相交于N點(diǎn),則PN=%,MN=AB=a,PM2+PN2=MN2,PM±PN,又PM±AD,PM，面PAD,在平面PAD中經(jīng)過(guò)G點(diǎn)的任意一條直線都與16.如圖，在三棱錐SABC中，OA=OB,O為ABC,E為SC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB中點(diǎn).(1)求證：OE/平面SAB;(2)求證：平面SOFL平面SAB.證明：(1)取AC的中點(diǎn)G,連結(jié)OG,EG,.OG/AB,EG/AS,EGnOG=G,SAPAB平面EGO/平面SAB,OE?平面OEGOE/平面SAB(2)SO,平面ABC, SOXOB,SOXOA,又.OA=OB,SA2=SO2+O

18、A2,SB2=SO2+ .SA=SB,又F為AB中點(diǎn)，.-.SF±AB,-.SOXAB, .SFASO=S,，AB，平面SOF, .AB?平面SAB,平面SOF,平面SAB.PM垂直.答案：無(wú)數(shù)BC中點(diǎn)，SOX平面=A,OB2,BBi,AiBi的中點(diǎn). 7.在長(zhǎng)方體ABCDAiBiCiDi中，AA=2AB=2BC,E,F,Ei分別是棱AAi,(1)求證：CE/平面CiEiF;(2)求證：平面CiEiF,平面CEF.證明：(1)取CCi的中點(diǎn)G,連結(jié)BiG交CiF于點(diǎn)小F是BBi的中點(diǎn)，BCCiBi是矩形，1四邊形FGCiBi也是矩形， FCi與BiG相互平分，即Fi是BiG的中點(diǎn).又Ei是AiBi的中點(diǎn)，AiG/EiFi.£又在長(zhǎng)方體中，AAi觸CCi,E,G分別為AAi,，AiE觸CG,四邊形AiECG是平行四邊形，AiG/C