1、待定系數(shù)法在一類數(shù)列求通項(xiàng)問題中地應(yīng)用數(shù)列問題是高中數(shù)學(xué)中極為重要地一個(gè)內(nèi)容,從以往高考來看,數(shù)列往往作為大題地第四題或最后一題出現(xiàn),是高考數(shù)學(xué)中一個(gè)較為困難地考點(diǎn).在高考中數(shù)列地大題往往包括2-3問,主要考察數(shù)列地前n項(xiàng)和或數(shù)列地遞推公式求數(shù)列地通項(xiàng)公式,求出通項(xiàng)公式后,求解數(shù)列地前n項(xiàng)和.無論是考點(diǎn)為以上問題中地哪一類,求解數(shù)列通項(xiàng)公式是其中地必由之路,其根本類型為：一、數(shù)列地前n項(xiàng)和滿足地表達(dá)式,求數(shù)列地通項(xiàng).1、Sn=f(n),(nwN*)(其中f(n)表示地是一個(gè)以n為自變量地函數(shù)),對(duì)于此類問題只需要用an=Sn-Sn求解,即可得到數(shù)列為地通項(xiàng)公式.b5E2RGbCAP2、Sn=f

2、(an),(nwn+)(其中f()表示地是一個(gè)以4為自變量地函數(shù)),對(duì)于此類問題仍只需要用an=Sn-Sn求解,即可得到數(shù)列an地通項(xiàng)公式或者數(shù)列地遞推公式.p1EanqFDPw3、Sn=f(an,n),(nwN)(其中f(an,n)表本地是一個(gè)以an,n為自變量地二元函數(shù)),對(duì)于此類問題仍只需要用an=Sn-Sn求解,即可得到數(shù)列an地通項(xiàng)公式或者數(shù)列地遞推公式.DXDiTa9E3d對(duì)于以上問題,利用4=Sn求解,如果得到了通項(xiàng)公式,問題既得到解決,如果得到地為數(shù)列地遞推公式(第2、3兩種情況),就需要利用遞推公式,求解通項(xiàng)地方法進(jìn)行.RTCrpUDGiT二、遞推公式,求通項(xiàng)公式.如果題目條

3、件給出地是數(shù)列地遞推公式,或者為上述地第2、3兩種情況得到地遞推公式,我們根據(jù)遞推公式地不同,求解策略也有所不同.5PCzVD7HxA根據(jù)歷年高考數(shù)列大題來看,或求解出地遞推公式不外乎為以下6中情況.1、遞推公式為4an=d(n上2,nwN+)其中d為常數(shù),既得到數(shù)列為等差數(shù)列.2、遞推公式為'=q(n"nwN+,q¥1)其中q為常數(shù),既得到數(shù)an列為等比數(shù)列.3、遞推公式為an-an=f(n)(n之2,nwN*),此時(shí)可用疊加法得到數(shù)列地通項(xiàng)公式.4、遞推公式為an=f(n)(n至2,nwN+),此時(shí)可用疊乘法得到數(shù)列an4地通項(xiàng)公式.5、遞推公式為an=pan十

4、q(n至2,nwN+)其中p,q為非零常數(shù),此時(shí)可將數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列來求解.6、遞推公式為an=pan4+f(n)(n之2,nwN*)其中p為非零常數(shù),此時(shí)可將數(shù)列轉(zhuǎn)化,然后利用疊乘法進(jìn)行求解.對(duì)于以上這6中情況,1-4種地解法,學(xué)生較容易掌握,第6種雖然較為困難,但高考中幾乎未曾出現(xiàn),倒是第5種情況,在近幾年地高考中,出現(xiàn)地頻率很高,但學(xué)生在求解過程中,掌握方法上還有所欠缺.下面本人就自己在求解第5種問題中地一些觀點(diǎn)做一介紹.jLBHrnAILg對(duì)于遞推公式為an=panJL+q(nt2,nwN方其中p,q為非零常數(shù)地問題,很多資料以及教師地講解要么采用配湊,要么直接給出變形地公式讓學(xué)生進(jìn)

5、行求解,但本人認(rèn)為,配湊地方法沒有什么規(guī)律性,學(xué)生求解起來具有一定地偶然性,公式法盡管可以直接得到結(jié)果,但很多學(xué)生記不住,尤其在測(cè)試中更容易忘記.XHAQX74J0X公式法是將an=pan,+q變形為an=p0-q)然后轉(zhuǎn)化為1-p1-p等比數(shù)列進(jìn)行求解,為什么這樣變形,或者說變形地過程很多學(xué)生理解不了.本人認(rèn)為在此采用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等地待定系數(shù)法思想,通過假設(shè)未知量可以使變形地過程很清楚,利于學(xué)生理解.方法如下：LDAYtRyKfE對(duì)于遞推公式為an=pan,+q(n>2,nN4)地?cái)?shù)列,可以進(jìn)行如下假設(shè),既設(shè)原式可化為an-x=p(an-x)其中X為未知量,將該式展開得到,an=pan-

6、(1-p)x,將其與an=pan+q做比擬,根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等地原那么,可得x=q帶入%-x=p(an廠x)中即可將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列1-p進(jìn)行求解.Zzz6ZB2Ltk舉例說明：數(shù)列an對(duì)任意地n至2均滿足,an=3an=+5成立,其中a=1,求數(shù)列地通項(xiàng)公式.解：設(shè)an-x=3(an.-x),展開得an=3an-2x與an=3an=+5按對(duì)應(yīng)系數(shù)相等,可得x=-,所以,原式可化為,anT=3(anJ5)222人555令bn=an+2,貝Uan+2=3an+2變形為bn=3bn,既可信0=4*3",又bi=a1+2,a1=1,所以bi=1“冷,所以an7*3"Y通過此題,可以

7、看到,待定系數(shù)法求解這類數(shù)列問題,思路較為清楚,對(duì)于學(xué)生理解較為容易.如果此題采用配湊法,那么不少學(xué)生就較為困難,采用記憶公式地方式,可能會(huì)出現(xiàn)局部學(xué)生記不住地問.dvzfvkwMII當(dāng)然對(duì)于比擬簡(jiǎn)單地問題,如：an=2an+1等,由于配湊可以直接看出結(jié)果,此時(shí)就可采用配湊地方式,將原式變形為an十1=2(an+1),也是較為簡(jiǎn)單地方式.rqyn14ZNXI總之,對(duì)于遞推公式為an=pan,+q(n之2,nwN+)地?cái)?shù)列,可以將待定系數(shù)地方法與配湊法結(jié)合起來使用,根據(jù)問題地難易程度,決定選擇哪一種方式.經(jīng)過本人實(shí)驗(yàn),將待定系數(shù)地方法與配湊法結(jié)合起來使用比直接讓學(xué)生記憶公式求解,學(xué)生掌握地情況更

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