1、黃金分割及其應(yīng)用作者：黃武智俞杰耀江釗凡指導(dǎo)老師：陳俊鑫馬鴻良范世華摘要：本文用迭代法計(jì)算黃金分割數(shù)，并對(duì)黃金分割法的基本思想加以闡述，從冷壓裝配、股票價(jià)格變化、求最優(yōu)值等方面說(shuō)明黃金分割法在生活生產(chǎn)中的實(shí)際應(yīng)用，并通過(guò)對(duì)黃金分割和斐波那契數(shù)列的分析、比較引出它們的關(guān)系最后，介紹了黃金分割的三角表示及黃金圖形。關(guān)鍵詞：黃金分割；斐波那契數(shù)列；迭代把一條線段分成兩段，使其中較大的一段是原線段與較小一段的比例中項(xiàng)，叫做把這條線段黃金分割.如圖1,在線段AB上取點(diǎn)C,使得殷=型，則點(diǎn)C叫線段AB的黃金分割點(diǎn).顯然，從對(duì)稱性上考慮，一條ABAC線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，它們關(guān)于線段的中心對(duì)稱.1、黃金分割

2、1.1黃金分割數(shù)如圖1,設(shè)AB=a,AC=x,則BC=a-x有x2=a(a-x),即x2+ax-a2=0a-a24a2解得，x二2人，5一1舍去負(fù)根，得AC=x=qa2故至=股=/二1,這就是黃金分割數(shù)，以下記為牛，中是一個(gè)無(wú)理ABAC2數(shù).因?yàn)槿魏蔚臒o(wú)理數(shù)都可以用有理數(shù)逼近.現(xiàn)在我們?cè)噲D找出一串分?jǐn)?shù)%(n=1,2,3，)，使得liman=中，而且同是所有分母小于或等于bn的分?jǐn)?shù)bnbnbnn中最接近中的.我們用一種近似方法一一迭代法來(lái)確定求解黃金分割數(shù)中的二次方程式fx=x2x-1=0.1將乂2+乂-1=0改寫成迭代方程乂=，,易知x0,1.迭代函數(shù)1x11g(x)=，g(x)=-工江在區(qū)間

3、(0,1】上怛有g(shù)(x<1.1x1x111因此，迭代公式書對(duì)任意初始值x°W(0,1均收斂于方程的根x“.xn1取初始值a=1,可得x”的一系列近似值(見(jiàn)表1)表1方程x2+x-1=0的根的近似值nxnnxnnxn112=0.55813=0.618955_89=0.6180223=0.66661321=0.6191089144=0.6181335=0.672134=0.617611144233=0.6180458=0.62583455=0.6181從表1可以看出：(1)當(dāng)?shù)螖?shù)n越大時(shí)，xn越接近于0.618,即平定0.618,這就是黃金分割數(shù).(2)xn是x”的一個(gè)漸進(jìn)分?jǐn)?shù)

4、列，且具有以下規(guī)律：設(shè)F1=F2=1,F3F2千1十工2才千1n,F吊，艮Mn=,nwN*Fn.21.2 黃金分割法的基本思想黃金分割法，也叫0.618法，是黃金分割在優(yōu)選法上應(yīng)用的一種方法，是優(yōu)化計(jì)算中的經(jīng)典算法，以算法簡(jiǎn)單、效果顯著而著稱，是許多優(yōu)化算法的基礎(chǔ).它適用于一維區(qū)間a,bl的單峰函數(shù).其基本思想是：依照“去壞留好”原則、對(duì)稱原則、以及等比收縮原則來(lái)逐步縮小搜索范圍.具體地說(shuō)：設(shè)f是定義在區(qū)間Ia,b的下單峰函數(shù)，有唯一的極小點(diǎn)x(即最優(yōu)點(diǎn)).在區(qū)間Ia,b】中取點(diǎn)x1=a+0.382(b-a),x2=a+0.618(b-a)如果f(x1)>f(x2),則令a=x1,取區(qū)間

5、,x1bI;如果f(x1產(chǎn)f(x2),則令b=x2，取區(qū)間一人】.這樣，通過(guò)比較f),f(x2)的大小，就可以將區(qū)間a,b】縮短為區(qū)間b,x21或Ix1,b.因?yàn)樾碌膮^(qū)間內(nèi)包含了一個(gè)已經(jīng)計(jì)算過(guò)函數(shù)值的點(diǎn)，所以再?gòu)钠渲姓页鲆粋€(gè)試點(diǎn)，又可將這個(gè)新的區(qū)間再縮短一次.不斷地重復(fù)這個(gè)過(guò)程,直至最終的區(qū)間長(zhǎng)度縮短到滿足預(yù)先給定的精度為止.目前，由于史文譜、劉迎曦等人的努力，用推廣的黃金分割法已經(jīng)能夠求解部分多維區(qū)域上的函數(shù)的最優(yōu)解了，可參考文獻(xiàn)1.1.3 黃金分割法的應(yīng)用1953年，美國(guó)的弗基提出0.618法獲得大量應(yīng)用，特別是工程設(shè)計(jì)方面.20世紀(jì)70年代初，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚在應(yīng)用優(yōu)選法方面做出了杰

6、出貢獻(xiàn)，使得黃金分割法在我國(guó)得以推廣，并取得了很大的成就21.以下給出黃金分割法在生產(chǎn)生活及計(jì)算數(shù)學(xué)中的應(yīng)用實(shí)例.1.3.1 黃金分割法在冷壓裝配中的應(yīng)用自行車鏈輪（一種板料沖壓）與右軸柄（一種切削件）要裝配成一個(gè)組合件，通過(guò)鏈輪內(nèi)孔與曲柄小臺(tái)階外徑處的冷壓鐘合來(lái)達(dá)到抗扭強(qiáng)度要求：經(jīng)過(guò)2000KN扭力，在1min后，兩者的鐘合處不得發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng).冷壓鐘合前,于鏈輪的內(nèi)孔上須沖壓出一定數(shù)量的不沖通內(nèi)齒形.內(nèi)齒數(shù)太多，冷壓裝配時(shí)曲柄小臺(tái)階外徑處的材料擠壓入其間因量少而鐘合不牢；內(nèi)齒數(shù)太少,材料又難以壓入填滿其間而鐘合不牢.故內(nèi)齒數(shù)目有一個(gè)最佳值的問(wèn)題.（1）確定初始點(diǎn)及可行區(qū)間原有一模具（沖頭），沖出

7、鏈輪內(nèi)齒40牙/周，所有組合件均發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)率100%;后來(lái)加工了一個(gè)10牙/周的沖頭，結(jié)果轉(zhuǎn)動(dòng)率仍為60%之多.經(jīng)分析，小于10牙/周的沖頭也不行.故其實(shí)驗(yàn)的區(qū)間為10,40;精度要求為轉(zhuǎn)動(dòng)率為0.0.618法優(yōu)選齒數(shù)新加工模具（齒數(shù)）=a0.618（b-a）=100.618（40-10）28牙/周實(shí)驗(yàn)結(jié)果:轉(zhuǎn)動(dòng)率為10%.重新加工模具（齒數(shù)）2=a0.618(b-a)=100.618(28-10)21牙/周實(shí)取20牙/周(為使模具更易加工，齒數(shù)要偶數(shù))，實(shí)驗(yàn)結(jié)果：轉(zhuǎn)動(dòng)率為0.按0.618法迭代步驟，當(dāng)出現(xiàn)|b-a|工時(shí)，應(yīng)取兒=(b+a)/2為最佳點(diǎn).此時(shí)應(yīng)取九3=24=?；但工程實(shí)際問(wèn)

8、題不完全是一個(gè)純數(shù)學(xué)問(wèn)題.在這里，還必須考慮模加工所用的成本，以及在實(shí)驗(yàn)中還有可能產(chǎn)生其它問(wèn)題等.故用20牙/周的模具就完全達(dá)到了質(zhì)量要求，就不再繼續(xù)迭代了.黃金分割在股票價(jià)格變化中的應(yīng)用通常，黃金分割法中的黃金點(diǎn)為0.618和0.382但在股票價(jià)格漲幅與跌幅的測(cè)量中，用黃金分割法時(shí)除了用0.618和0.382作為反壓點(diǎn)外，其間還會(huì)用到0.382的一半這個(gè)點(diǎn)作為反壓點(diǎn)，即0.191這一點(diǎn).這是股市中的實(shí)際,也可能是其特點(diǎn).因此，當(dāng)預(yù)測(cè)股價(jià)上升能力與可能反轉(zhuǎn)之價(jià)位時(shí),可用前段下跌行情之最低點(diǎn)值乘以0.191,0.382,0.618,0.809,1.當(dāng)超過(guò)一倍的漲幅時(shí)，其反壓點(diǎn)為1.191,1.3

9、82,1.618,1.809,2,相仿當(dāng)預(yù)測(cè)下跌反壓點(diǎn)時(shí)可乘以0.809,0.618,0.382,0.191.例如，當(dāng)下跌行情結(jié)束前，某股的最低價(jià)為10元，那么，股價(jià)反轉(zhuǎn)上升10*(1+0.382)=13.8元10*(1+0.809)=18.1元10*(1+1.191)=21.9元30元，那么，當(dāng)股價(jià)反轉(zhuǎn)下跌時(shí)30*(1-0.382)=18.5元時(shí)，可預(yù)先計(jì)算出不同反彈價(jià)位：10*(1+0.191)=11.9元10*(1+0.618)=16.2元10*(1+1)=20元當(dāng)上升行情結(jié)束前，某股的最高價(jià)為下跌反壓點(diǎn)可能為：30*(1-0.191)=24.3元30*(1-0.618)=11.5元30

10、*(1-0.809)=5.7元F面列出19701980年臺(tái)灣股票加權(quán)股價(jià)指數(shù)的實(shí)際漲.跌值及按黃金點(diǎn)計(jì)算價(jià)值的對(duì)照情況表（見(jiàn)表2）序號(hào)時(shí)間實(shí)際工價(jià)按黃金分割法計(jì)算價(jià)11973年底一1974年底514.85188.74514.85x0.382=196.7021975年初429.02188.74父(1+1.191)=413.5331976年3月一1976年低417.00257.55417x0.618=257.7041977年5月一1977年10月313.92688.52313.92(1+1.191)=687.8051978年一1981年688.52430688.52/0.618=425.50619

11、82年一1983年7月421.43765.71421.43父(1+0.809)=766.5071983年底一1984年969.25421.43M(1+1.191)=923.30實(shí)際漲跌值與黃金點(diǎn)計(jì)算值對(duì)照表表2黃金分割在求最優(yōu)值方面的應(yīng)用例1求F=100義（x；_X2）2+（1_X1）2,_2.084%，“«2.08最優(yōu)值（即最小值）.解：根據(jù)黃金分割法有如下算法3：41;-_T14k1P7d1,c1UJcP4p6p5Step0給定C0,初始值a=-2.08,b=2.08,c=-2.08,d=2.08.令F的矩形域的直徑為0,中心為My。，該點(diǎn)的函數(shù)值為f?！?；Step1如圖2所示，

12、分別計(jì)算a1,b1,c1,d1,p1,p2,p3,p4,p5,p6,p7,p8勺位置；圖2網(wǎng)格分割圖（在縱橫兩方向分別以0.382和0.618將矩形域分割.）Step2計(jì)算每個(gè)小矩形的直徑，若大于名，則轉(zhuǎn)Step3;否則轉(zhuǎn)Step6;Step3判斷該矩形中心的函數(shù)值是否小于f°*若是則將該中心坐標(biāo)賦予（x0,y0），將f；用該中心處函數(shù)值替換，然后轉(zhuǎn)Step4;否則轉(zhuǎn)Step5;Step4將該小矩形的四角賦予a,b,c,d,車專Step1;Step5估計(jì)F在每個(gè)小矩形的最小值，若小于已有的最優(yōu)解，則將該小矩形的四角賦予a,b,c,d轉(zhuǎn)Step1;Step6判斷該矩形中心的函數(shù)值是否小

13、于f°若是則將該中心坐標(biāo)賦予X0,y0，將f°”用該中心處函數(shù)值替換；Step7打?。▁0,y0）及fo*.根據(jù)以上算法，計(jì)算其結(jié)果（見(jiàn)表3）:表3最優(yōu)值計(jì)算結(jié)果精度1最優(yōu)點(diǎn)最優(yōu)值時(shí)間（秒）0.01(0.9835,0.9668)-2.91E-044.84E-010.001(1.0001,1.0001)3.16E-062.4836而函數(shù)的精確解是：最優(yōu)點(diǎn)（1,1）,最優(yōu)值為0.可見(jiàn)，黃金分割法是種精確度高，計(jì)算速度快的計(jì)算方法.2、黃金分割與斐波那契（Fibonacci）數(shù)列若數(shù)歹IFn存在這樣的遞推關(guān)系：Fi=F2=1,Fn+2=Fn+i+Fn,nwN+）前幾項(xiàng)為1,1,2

14、,3,5,8,13,21,則數(shù)列Fn叫做斐波那契數(shù)列，簡(jiǎn)稱F-數(shù)列.它是13世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家Fibonacci在研究小兔問(wèn)題時(shí)提出的.現(xiàn)在給出F-數(shù)列的通項(xiàng)公式（證明略）：“1、5J-5Fn=-（）-（）、522上式的奇妙在于：Fn的表達(dá)式竟然出現(xiàn)了方程X2+X-1=0的一對(duì)實(shí)數(shù)根,而且無(wú)理數(shù)75在其中出現(xiàn)了三次，而Fn竟是一個(gè)整數(shù)！從高等數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，遞推公式與通項(xiàng)公式存在必然的聯(lián)系.我們把遞推公式用矩陣寫出來(lái)就是：11；*01Fn一而矩陣1J的兩個(gè)特征值就是："5和I5,這兩個(gè)數(shù)真的出現(xiàn)在Fn的表達(dá)式中！我們知道，95=LEG,因此有：21丹二士K（力這就是黃金分割和F-數(shù)列在

15、形式上的聯(lián)系.另外，F(xiàn)-數(shù)列在分析方面有一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)果4】:1仙&=中.這使得n二Fn.1黃金分割與F-數(shù)列的聯(lián)系更加緊密.因此，它們?cè)趹?yīng)用上也有很多共同之處.斐波那契數(shù)列和黃金分割法相似，他們的區(qū)別在于斐波那契數(shù)列每次的縮短率不是常數(shù)，而是由斐波那契數(shù)列決定的例2用黃金分割法和Fibonacci法求函數(shù)f(x)=x2-x十2在區(qū)間-1,3上的極小點(diǎn)，要求最終區(qū)間長(zhǎng)不大于原始區(qū)間長(zhǎng)的0.08.解函數(shù)f(x)=2<-x+狂區(qū)間-1,3上為下單峰函數(shù)，且；<(31)0.08=0.32用黃金分割法求解：取x1=a0.382(b-a)=0.528,x,=a0.618(b-a)=

16、1.472,貝Uf1=1.751,f2=2.695:f1<f2,得到的新區(qū)間為卜1,1.472.仍把此區(qū)間記為a,b,并令x2=x1,取x1=a+0.382(b-a),繼續(xù)迭代，直到滿足精度要求，計(jì)算過(guò)程見(jiàn)表4表4迭代計(jì)算過(guò)程迭代次數(shù)la,bXx2f1f2b-a|<名01-1,30.528,1.4721.751,2.695否11-1,1.472-0.056,0.5282.059,1.1751否2-0.056,10.472】0.528,0.8881.751,1.901否3-0.056,0.888】0.305,0.5281.788,1.751否4b.305,0.888】0.528,0.

17、6651.751,1.777否5b.305,0.665】0.443,0.5281.753,1.751否6b.443,0.665】0.528,0.581.751,1.757是710.443,0.580經(jīng)過(guò)6次迭代已經(jīng)滿足精度要求，最優(yōu)解與最優(yōu)值分別為1-x=”.4430.665=0.554,f=1.571F面用Fibonacci法求解51:.b-a由Fn2=12.6可知，應(yīng)取的試點(diǎn)個(gè)數(shù)n=6。第一次迭代:最初的兩個(gè)試點(diǎn)分別為x1二a14b一a一一1盤4=0.538,x2=aFb-ai1.462F613F6且fi-1.751,f2=2.675.fi<f2,二縮短后的新區(qū)間為1-1,1.462

18、1.第二次迭代:令x2=0.538,f2=1.751，取Xi=1十區(qū)(1.462+1)=0.077F5則f1=2.083.f1Af2,，又得到新區(qū)間為-0.077,1.462.第三次迭代:令X=0.538,)=1.751，取x2=-0.77+.(1.462+0.077)=0.846F4貝Uf2=1.870.丁f1<f2,新區(qū)間為1-0.077,0.8461第四次迭代:令x2=0,538,f2=1.751，取X1=-0.077+反(0.846+0.077尸0.231F5貝Ufl=1.822.丁f1"2,得到新區(qū)間為0.231,0.846.第五次迭代，即最后一次迭代：令X2=0.538,f2=1.751，取x1=x20.1M(0.8460.231)=0.477,f1=1.7511f1=f2,最優(yōu)解可取為：X=萬(wàn)(x1+x2)=0.508,f=1.750由此我們可以看到，這兩種方法都是通過(guò)縮短搜索區(qū)間來(lái)逼