1、鄭州大學 工程力學系 TorsionTorsion2 概述 1 1 扭矩及扭矩圖2 2 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)3 3 圓桿扭轉(zhuǎn)應力 強度度4 4 圓桿扭轉(zhuǎn)變形 剛度 扭轉(zhuǎn)超靜定問題5 5 密圈螺旋彈簧6 6 非圓截面桿自由扭轉(zhuǎn)7 7 薄壁截面自由扭轉(zhuǎn)應力第三章 扭 轉(zhuǎn) 3O軸：軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件. 受力特點受力特點：AB扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角 ：變形特點變形特點:切應變切應變 ：直角的改變量直角的改變量.任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的角位移任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的角位移.外力偶外力偶任意兩截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動任意兩截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動.如：機器中的傳動軸、石油鉆機中的鉆桿等如

2、：機器中的傳動軸、石油鉆機中的鉆桿等. 轉(zhuǎn)動面垂直于桿軸線轉(zhuǎn)動面垂直于桿軸線概述概述( Introduction )4工工 程程 實實 例例電主軸電主軸 螺旋鉆桿螺旋鉆桿 5工工 程程 實實 例例傳動主軸傳動主軸操縱桿操縱桿6工工 程程 實實 例例汽車傳動主軸汽車傳動主軸輪軸輪軸7工工 程程 實實 例例方向盤操縱桿方向盤操縱桿8鉆機鉆機 9石油鉆石油鉆旋挖式入巖鉆機旋挖式入巖鉆機10一一. . 外力偶矩外力偶矩)/(n)kW(N.m)M(kNPe分轉(zhuǎn)559 NP 功率，千瓦功率，千瓦（kW） 馬力馬力（PS） n 轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/ /分分（r/min）)/(n)PS(N.m)M(kNPe分轉(zhuǎn)

3、027 傳遞軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關系：傳遞軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關系：1 1 扭矩扭矩 ( (圖圖) ) 1kW=1.36PS, 1PS=735.5Nm/s Twisting Moment (Diagrams)11扭矩矢扭矩矢 ( (右手螺旋法則定右手螺旋法則定) 拉為正拉為正 二二. .扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 0mx 由由 求出求出1 扭矩扭矩T ：MeMeMexT( 扭矩矢沿外法線方向，背離截面為正扭矩矢沿外法線方向，背離截面為正, 反之為負反之為負 ) 轉(zhuǎn)動面轉(zhuǎn)動面垂直于軸線垂直于軸線 的的內(nèi)力偶矩內(nèi)力偶矩 符號規(guī)定：符號規(guī)定： 12 2 扭矩扭矩圖圖：扭矩變化規(guī)律扭

4、矩變化規(guī)律|T|max 值及其截面位置值及其截面位置, , 強度計算（危險截面）強度計算（危險截面）Me1Me2MeMe3表示沿桿軸線各表示沿桿軸線各橫截面位置橫截面位置-相應截面相應截面扭矩扭矩 的變化關系圖線。的變化關系圖線。13例例1 已知：一傳動軸已知：一傳動軸，n =300 r/min，主動輪輸入主動輪輸入 P1=500kW， 從動輪輸出從動輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖試繪制扭矩圖m2 m3 m1 m4解：解： 計算外力偶矩計算外力偶矩nP55. 9m113001509.55nP55. 9mm2323002009.55nP55. 9m44

5、A B C D3005009.55m)15.9(kN m)(kN 78. 4m)(kN 37. 614 求扭矩求扭矩（按正方向設（按正方向設）078. 4T 1 , T 078.478.42 , T 037.63 mkNT 56. 92 , 0mx 3T6.374.784.784.781T2TmkNT 37.63mkN78. 4T 1T4.789.566.37（kNm）mkN 56. 9Tmax BC段為危險截面段為危險截面6.3715.94.784.78A B C D12315A CB mLM 已知已知例例 鉆機鉆桿，鉆機鉆桿，繪制扭矩圖繪制扭矩圖. 設工件阻力矩設工件阻力矩 m 沿沿桿長度

6、均勻分布長度均勻分布.解解： 求阻力矩求阻力矩整體平衡整體平衡)0M(x MmL 截面法截面法部分平衡部分平衡)x(T)0M(x xT(x)MT 圖圖LMm mxxLMx162 薄壁圓筒受扭薄壁圓筒受扭一、薄壁圓筒受扭一、薄壁圓筒受扭 實驗前實驗前：r101 圓筒壁厚圓筒壁厚（r為平均半徑）為平均半徑）繪縱向線，繪縱向線，r 施加一對外力偶施加一對外力偶 圓周線；圓周線； ( Torsion for Thin-Walled Tube )17實驗后實驗后：( 各各矩形網(wǎng)格均成同樣的矩形網(wǎng)格均成同樣的 歪斜平行四邊形歪斜平行四邊形 ) 各圓周線各圓周線 形狀形狀 大小大小和間距均未改變，和間距均未

7、改變， 變形前為平面的變形前為平面的橫截面變形后橫截面變形后仍為平面仍為平面， 僅繞軸線作僅繞軸線作相對轉(zhuǎn)動相對轉(zhuǎn)動平面假設平面假設： 各縱向線均傾斜各縱向線均傾斜同一同一 微小角度微小角度 僅僅 繞軸線作相對轉(zhuǎn)動繞軸線作相對轉(zhuǎn)動18dxdy 結(jié)論結(jié)論：橫截面橫截面無正應力無正應力, ,僅有切應力僅有切應力觀察分析觀察分析 方向方向垂直于半徑垂直于半徑 大小大小沿圓周和壁厚不變沿圓周和壁厚不變（沿周（沿周向向、徑徑向向均勻分布均勻分布）（左右兩微面無距離改變，僅相對錯動左右兩微面無距離改變，僅相對錯動） (變形極對稱、筒壁很薄)(錯動沿圓周切線方向) 筒壁表面變形筒壁表面變形 橫截面橫截面切應

8、力切應力 分布分布推論：推論：T（轉(zhuǎn)向與截面扭矩一致轉(zhuǎn)向與截面扭矩一致） 19 r 薄壁圓筒薄壁圓筒 大小大?。?( (由合力矩定理由合力矩定理) ) Ad r T 22 Adr A )r 2(r AdA TTTrAd 20dxdy z,二、切應力互等二、切應力互等 0zm 單元體相互垂直兩單元體相互垂直兩微面微面上，切應力必上，切應力必成對出現(xiàn)成對出現(xiàn)，且（數(shù)值），且（數(shù)值）相等相等，（方向）（方向）相反相反 上式稱為上式稱為切應力互等定理切應力互等定理dx)dy( 單元體上只有切應力而無正應力作用，單元體上只有切應力而無正應力作用，稱為純剪切純剪切應力狀態(tài)應力狀態(tài)dy)dx( （都垂直于兩

9、微面交線，方向都同指向或背離該交線）（都垂直于兩微面交線，方向都同指向或背離該交線）各微面各微面切應力關系切應力關系21三、剪切三、剪切HookeHooke定律定律： l TTT T lr切應力不超過材料剪切切應力不超過材料剪切 比例極限時比例極限時（ p p) )， G剪切剪切HookeHooke定律：定律：切應力與切應變成正比切應力與切應變成正比P22 式中式中：G 材料的彈性常數(shù)，稱為材料的彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量剪切彈性模量， 不同材料的不同材料的G 值可通過實驗確定值可通過實驗確定.)1 ( 2EG)(EG 12 剪切彈性模量、彈性模量剪切彈性模量、彈性模量和和泊松比泊松比是表明材

10、料彈性性質(zhì)是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)的三個常數(shù).對各向同性材料可以證明，對各向同性材料可以證明，彈性常數(shù)彈性常數(shù)G、 E、存在關系存在關系 G233 圓桿扭轉(zhuǎn)應力圓桿扭轉(zhuǎn)應力強度條件強度條件 實驗觀察：實驗觀察： 同樣可得可得平面假設平面假設表面變形全同薄壁圓筒表面變形全同薄壁圓筒同樣 可得可得結(jié)論結(jié)論: : 橫截面上無正應力橫截面上無正應力, , 僅有切應力僅有切應力RR( Stresses in Circular Bar under Torsion Strength Condition)24oodx變形幾何關系變形幾何關系一、扭轉(zhuǎn)切應力一、扭轉(zhuǎn)切應力：取微段，兩截面相距取微段，兩截面相距

11、dx.d相對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角 b dba物理關系物理關系靜力學關系靜力學關系eMeMxdx25dxooR1. . 變形幾何關系：變形幾何關系：dx bb xdd 距圓心為距圓心為 任一點處任一點處 xdd 扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角沿長度方向沿長度方向變化率變化率切應變分布規(guī)律切應變分布規(guī)律:dx b d dR b d方向垂直于半徑方向垂直于半徑.與其到圓心的距離與其到圓心的距離 成正比，成正比，262. . 物理關系：物理關系：代入代入Hooke定律定律： Gxdd G 切應力分布規(guī)律切應力分布規(guī)律: :距圓心為距圓心為 任一點處任一點處 與與該點到圓心距離該點到圓心距離 成正比成正比, ,（Note:

12、: 任一直徑，圓點兩側(cè)對稱任一直徑，圓點兩側(cè)對稱 等距離兩點等距離兩點 相等相反、平行相等相反、平行 不共線不共線 而形成力偶而形成力偶 ）方向垂直于半徑方向垂直于半徑.xdd 273. . 靜力學關系：靜力學關系： AxddGI T p pGIT xdd AdI2Ap (令令)dA由合力矩定理得由合力矩定理得: : dA( ( 剪力微分剪力微分 ) )O( 扭矩扭矩 = =AdxddG2A )dA(TxddG 各微剪力對圓形心之矩各微剪力對圓形心之矩 )dxdG 代入關系式代入關系式 ：dxdG Ad2A pIT 28pIT 橫截面上距圓心為橫截面上距圓心為 處處任一點切應力任一點切應力 僅

13、適用于各向同性、線彈性材料，僅適用于各向同性、線彈性材料， 小變形的小變形的 等圓截面直桿等圓截面直桿 式中：式中：T橫截面上扭矩橫截面上扭矩 , AdI2Ap 也適用于空心圓截面桿，也適用于空心圓截面桿， 只是只是Ip 值不同值不同（可仿照實圓桿導出同樣公式）（可仿照實圓桿導出同樣公式）4. 公式說明：公式說明：Ip極慣性矩，幾何量極慣性矩，幾何量 該點到圓心的距離該點到圓心的距離29AdIAp2Dd AdIAp2)Dd( dD32D4 202D)d2( )dD(32 44 22Dd)1(32D44 實心圓截面實心圓截面：空心圓截面空心圓截面：4D1 . 0 OO d Ad)d(223050

14、80 例例 max漿葉攪拌器軸漿葉攪拌器軸 求求n截面截面k點點 和軸的和軸的1KNm3KNm4KNmnk3032)80(I4p pkIT解解： 求求 求求maxPmaxIRT( 1max 2max )(max 661002. 4)30(10446)80(32)40(10446)50(32)25(101MPa9 .29MPa8 .3946mm1002. 4)32/DRT4MPa7 .4031（實心截面）（實心截面）二、扭轉(zhuǎn)強度計算二、扭轉(zhuǎn)強度計算 應力分布應力分布1. 最大切應力：最大切應力： 由截面應力分布可知由截面應力分布可知:（空心截面）（空心截面） 2DR max 出現(xiàn)在截面邊緣出現(xiàn)在

15、截面邊緣 ( )max max 32pmaxIRT Wt 抗扭截面系數(shù)（模量），抗扭截面系數(shù)（模量），RIWpt16)1(DRIW43pt 實心圓截面：實心圓截面：空心圓截面空心圓截面： 2DITp)2DIW (pt令令tmaxWT 3D2 . 0)-(1D2 . 043 幾何量，單位幾何量，單位：mm3 或 m3.D16D333強度條件：強度條件：max WTmaxt(許用切應力許用切應力)強度計算三問題：強度計算三問題： 校核強度校核強度： 設計截面尺寸：設計截面尺寸： 計算許可載荷計算許可載荷：WTtmaxmax TWmaxt WTtmax ）（空：實：433116 16 DDWt即即:

16、2. 強度計算強度計算34 例例2 2 功率為功率為150kW，轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /秒的電動機轉(zhuǎn)子軸如圖秒的電動機轉(zhuǎn)子軸如圖，許用剪應許用剪應力力 =30M Pa, 試校核其強度試校核其強度。nNmTBC55. 9 m)(kN 604 .1515055.9Tm解解：求扭矩及扭矩圖求扭矩及扭矩圖 計算并校核切應力強度計算并校核切應力強度滿足強度要求滿足強度要求D3 =135D2=75D1=70ABCmmpmaxWT MPa23m)(kN55. 1 1607. 01055. 133 35主軸牙嵌式離合器主軸牙嵌式離合器, ,已知已知： = =60MPa,傳遞最大偶矩為傳遞最大偶矩為1.5

17、KNm, 空心圓軸的內(nèi)外徑之比空心圓軸的內(nèi)外徑之比 = 0.8。二軸長度相同。二軸長度相同。 求求: : 實心軸徑實心軸徑d d1 1和空心軸內(nèi)外徑；比較二軸重量比和空心軸內(nèi)外徑；比較二軸重量比 例例 )8 . 0 (22DdTT36解解：TWmaxt 16D31 31T16D 3610511660).(16)1(D432 3216)(1TD4mm48d2 2121AAWW2224860501D2D2d重量比重量比 =60MPaT= 1.5KNm = 0.8222221dDDT T mm50mm602360105116).860(1).(437（實心截面）（實心截面）（空心截面）（空心截面）

18、工程上有時采用空心截面構(gòu)件：以提高強度工程上有時采用空心截面構(gòu)件：以提高強度, ,節(jié)約材料，重量節(jié)約材料，重量輕，輕， 結(jié)構(gòu)輕便，應用廣泛結(jié)構(gòu)輕便，應用廣泛 討論討論:如果其它條件相同如果其它條件相同, ,空心軸比實心軸重量輕空心軸比實心軸重量輕, ,耗材少耗材少. .此現(xiàn)象可用扭轉(zhuǎn)應力分布規(guī)律或截面材料分布來說明此現(xiàn)象可用扭轉(zhuǎn)應力分布規(guī)律或截面材料分布來說明.38車載旋挖鉆機車載旋挖鉆機 但其加工工藝難但其加工工藝難, ,壁厚過薄則易失穩(wěn)壁厚過薄則易失穩(wěn), ,且管若開口且管若開口( (有縫有縫) )則承載力大為降低則承載力大為降低. .39開口開口/ /閉口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)比較閉口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)比

19、較maxmax閉閉開開 30maxmax閉閉開開 30010D 404 圓桿扭轉(zhuǎn)變形圓桿扭轉(zhuǎn)變形 剛度條件剛度條件一一. . 扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形pGIT xdd 若兩截面間若兩截面間 值值 變化，則應分段應用上式變化，則應分段應用上式GITp, 任意相距任意相距 dx 兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角相距相距 l 兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角 dl 若兩截面間若兩截面間 值值 均不變均不變 ( (常數(shù)常數(shù)): ):GITp, dx l eMeMl 0ldxl0 GITl p 代數(shù)求和（離散變化）或積分（連續(xù)變化）代數(shù)求和（離散變化）或積分（連續(xù)變化） ddxGITpxdGITpxd

20、( Deformation of Circular Bar under TorsiowStiffness Cndition )41階梯形圓軸階梯形圓軸, , 求求例例1mm80dmm50d21AC 解解：BCABAC GPa100G 2p221p11GILTGILTT （Nm）mLmL1221)034. 0198. 0(1 . 0m2m1例例（思考：代數(shù)和？）433502000620(32)10100(10)rad(0232. 0)801000140041400620ACB1400Nm620Nm780Nm42ACBLM已已知知m例例2xxT(x)xLM)x(Tmx)x(T 解解：T T 圖前已

21、解出：圖前已解出：dx d (微段微段 dx 的相對扭轉(zhuǎn)角）的相對扭轉(zhuǎn)角）AB L0pGILxdxM ( (A-B相對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角= =無數(shù)微段相對扭轉(zhuǎn)角集合）無數(shù)微段相對扭轉(zhuǎn)角集合）求求A、B 間相對扭轉(zhuǎn)角間相對扭轉(zhuǎn)角鉆桿，鉆桿，AB （已知已知 L 、G 、IP ）設工件阻力矩設工件阻力矩 m 沿桿長度均勻分布沿桿長度均勻分布.（ 思考思考: 如何求如何求A-C之間相對扭轉(zhuǎn)角之間相對扭轉(zhuǎn)角? ）pGI2MLL0pGIdx)x(Tmd pGIdx)x(T43單位扭轉(zhuǎn)角單位扭轉(zhuǎn)角 ：二、剛度條件二、剛度條件pmaxGIT GIp反映截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面反映截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力

22、，稱為截面抗扭剛度抗扭剛度（許用單位扭轉(zhuǎn)角）（許用單位扭轉(zhuǎn)角）剛度條件剛度條件 軸類零件除滿足強度條件外，還不應有過大的扭轉(zhuǎn)變形軸類零件除滿足強度條件外，還不應有過大的扭轉(zhuǎn)變形，如：如：工程中扭轉(zhuǎn)變形可通過工程中扭轉(zhuǎn)變形可通過單位扭轉(zhuǎn)角控制單位扭轉(zhuǎn)角控制 180 /m)( 車床絲杠、磨、鏜床傳動軸若扭角過大，則易影響進刀或引起扭振，車床絲杠、磨、鏜床傳動軸若扭角過大，則易影響進刀或引起扭振，影響加工精度、光潔度影響加工精度、光潔度 xdd GITp (rad/m) 44500400P1P3P2 ACB 例例3 某傳動軸設計要求轉(zhuǎn)速某傳動軸設計要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率，輸

23、入功率P1 = 368 KW， 輸出功率分別輸出功率分別 P2 = 147KW, P3 = 221KW， 已知：已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定：，試確定： AB 段直徑段直徑 d1和和 BC BC 段直徑段直徑 d d2 2 ？ 若全軸選同一直徑，應為多少？若全軸選同一直徑，應為多少？解解： 扭矩圖扭矩圖Tx7.024 4.21(kNm)m)(kN549. 9nNm7.0244.212.814主動輪與從動輪如何安排合理？主動輪與從動輪如何安排合理？45T16d W3t 32T16d GT32d I4 p 31T16d . .由剛度條件由剛度條件：42 G T 3

24、2d 41 G T 32d ,mm85d1 綜上綜上：全軸選同一直徑時全軸選同一直徑時 mm85d . .由強度條件由強度條件：mm6 .841108014. 3180702432492mm80107014. 370241636mm4 .67107014. 342101636mm5 .741108014. 31804210324927.024 4.21G=80GPa ， =70M Pa， =1/m(kNm) mm75d 2T46Tx 4.21(kNm)2.814T7.0244.21(kNm)500400 ACB 500400 ACB 軸上的軸上的絕對值絕對值最大最大的的扭矩扭矩越小越越小越合理

25、，所以，合理，所以，1輪和輪和2輪應輪應 該該換換位位.7.0244.212.8147.0244.212.814換位后換位后,扭矩圖扭矩圖所所示示, 軸此時最大直徑為軸此時最大直徑為 75mm47三、扭轉(zhuǎn)超靜定問題三、扭轉(zhuǎn)超靜定問題MeMAMB（基本方法步驟同拉壓（基本方法步驟同拉壓,以例說明）以例說明）解解：軸力偶平衡軸力偶平衡0 eBAMMM 變形幾何關系變形幾何關系: :0 AB 力偶力偶- -變形關系變形關系 GITl p GILM pA11 聯(lián)立聯(lián)立122121LILIMLIM PPePA 122112LILIMLIM PPePB CBAC （ T1= MA ）1L 2L ACBMe

26、022 GILMpB481 L2 L 2. . 二軸因扭轉(zhuǎn)變形各企圖回彈二軸因扭轉(zhuǎn)變形各企圖回彈, ,但受另端但受另端( (固端固端) )阻抗阻抗; ;3. . 二軸間有相互作用力偶二軸間有相互作用力偶( (相等相反相等相反), ),即二軸的扭矩即二軸的扭矩 裝配后裝配后,1.二軸端必在兩孔間某一位置相聯(lián)二軸端必在兩孔間某一位置相聯(lián); ; 分析思考分析思考:2P1P21IIGLL 、 （已知（已知 ）管管1與軸與軸2相互套接相互套接，端部銷釘孔相差角端部銷釘孔相差角 求兩構(gòu)件裝配后所受扭矩求兩構(gòu)件裝配后所受扭矩例例5 1 2 49 力偶平衡力偶平衡變形幾何關系變形幾何關系:裝配后裝配后, 1.

27、, 1.二軸端必在兩孔間某一位置相聯(lián)二軸端必在兩孔間某一位置相聯(lián); ; 力偶力偶- -轉(zhuǎn)角關系轉(zhuǎn)角關系 GITl p 21 聯(lián)立聯(lián)立21TT GILT GILT 2p221p111P22P12P1P21ILILIGITT 2.2.二軸因扭轉(zhuǎn)變形二軸因扭轉(zhuǎn)變形各企回彈各企回彈, , 但受另但受另一端一端( (固端固端) )阻抗阻抗; ; 3 3 二軸間有相互作用力偶二軸間有相互作用力偶 ( (相等相反相等相反), ), 即為二軸的扭矩即為二軸的扭矩1 L2 L 1 2 解解：50平衡方程平衡方程；幾何方程（變形協(xié)調(diào)方程）；幾何方程（變形協(xié)調(diào)方程）；物理方程物理方程平衡平衡- -補充方程聯(lián)立求解補

28、充方程聯(lián)立求解補充方程補充方程：( (由幾何方程和物理方程得由幾何方程和物理方程得) )扭轉(zhuǎn)超靜定問題求解方法步驟：扭轉(zhuǎn)超靜定問題求解方法步驟：51(功之微分功之微分)(體積微分體積微分)dVdVv dxdyyzxdz 21v)dydz(21dW dzdydxdV 考慮純剪切狀態(tài)的一單元體考慮純剪切狀態(tài)的一單元體 ，計算其，計算其應變能密度應變能密度四、剪切應變能四、剪切應變能dVdW,)dx( )dx( 52 例例 長為長為L L=2m =2m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 mm=20Nm/m =20Nm/m 的作用，若桿的作用，若桿 內(nèi)外徑之比內(nèi)外徑之比 =0.8 =0.8 ，G G=

29、80GPa =80GPa ，許用切應力，許用切應力 =30MPa=30MPa， 試設計桿的外徑；試設計桿的外徑； =2/m /m ，試校核此桿剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。，試校核此桿剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解解：計算桿外徑計算桿外徑maxTWt 116D W43t）（ 314max 1T16D ）（2mm = 20Nm/m53314max 1T16D ）（40NmxT代入數(shù)值代入數(shù)值得得：D 0.0226m。 剛度條件校核剛度剛度條件校核剛度180maxmaxPGIT2mm = 20Nm/m5440NmxT 180GITPmaxmax 89. 1)1(D108018040324429右端面轉(zhuǎn)角右端面轉(zhuǎn)

30、角為為： 033. 0 )xx4(GI10dxGIx2040dxGIT202P20PL0P (弧度弧度)55 例例5 長為長為 L=2m L=2m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m m=20Nm/m 的作用，如圖，的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 =0.8 ，外徑，外徑 D=0.0226m D=0.0226m ，G=80GPaG=80GPa，試求固端反力偶。試求固端反力偶。平衡方程為：平衡方程為：0mm2mBA幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程0BA mm=20Nm/m2mABmAmB受力圖如圖示，受力圖如圖示， 一次超靜定問題一次超靜定問題

31、解：解：56 綜合物理方程與幾何方程綜合物理方程與幾何方程補充方程：補充方程： L0PBAdxGIT mN 20 Am 由平衡方程和補充方程得由平衡方程和補充方程得：另另: : 此題可由對稱性直接求得結(jié)果此題可由對稱性直接求得結(jié)果mN 20Bm0GI40m2dxGIx20mPA20PA O57 常用于常用于緩沖減振緩沖減振 （ 機車底盤壓簧、 振動機械的緩沖簧、 沙發(fā)壓簧 ）；5 圓柱形密圈螺旋彈簧圓柱形密圈螺旋彈簧緩沖減振、制動緩沖減振、制動圓柱形螺旋彈簧工程應用廣泛：圓柱形螺旋彈簧工程應用廣泛：58機車底盤機車底盤復位彈簧復位彈簧刀桿刀桿凸輪機構(gòu)頂桿凸輪機構(gòu)頂桿 又多用于控制機械的返回運動

32、又多用于控制機械的返回運動 （凸輪機構(gòu)頂桿彈簧、氣閥彈簧、 剎車制動系統(tǒng)的復位彈簧）； 另外，還可用于測力另外，還可用于測力 （彈簧秤中的拉、壓、扭簧）59 螺旋彈簧其軸線為空間螺線，所以應力、變形精確分析很復雜螺旋彈簧其軸線為空間螺線，所以應力、變形精確分析很復雜. . 固工程計算一般近似處理：固工程計算一般近似處理：當螺旋角當螺旋角 很小，可近似認為簧絲橫截面與簧圈軸線在很小，可近似認為簧絲橫截面與簧圈軸線在 同一平面同一平面 當簧絲直徑當簧絲直徑d d 遠小于遠小于簧圈平均簧圈平均 直徑直徑D D 時，可略去時，可略去簧絲曲率簧絲曲率 影響，影響， 近似用直桿公式計算近似用直桿公式計算F

33、 d(絲徑絲徑)D(圈徑圈徑)60一一. . 簧絲橫截面應力簧絲橫截面應力16d2FD4dF32/ +1 2 =Q T（平移剪切平移剪切）( (旋轉(zhuǎn)剪切旋轉(zhuǎn)剪切) )（截面周邊截面周邊）21max 近似值：近似值：)(1D2ddFD83 3dFD8 max當 時：可省略：10dD，相比與512DdTF Dd(絲徑絲徑)(圈徑圈徑)F D/2Q tWTAQSF 61 簧絲強度條件簧絲強度條件: : dFD8K3max其中：dDc cccK615. 04414稱為彈簧指數(shù)稱為彈簧指數(shù)稱為曲度系數(shù)稱為曲度系數(shù)（修正公式）修正公式）當當可省略：可省略：10dD，相比與512Dd3dFD8 max3ma

34、xdFD8K 考慮彈簧曲率及切應力不均勻影響考慮彈簧曲率及切應力不均勻影響62二二. .簧圈變形簧圈變形( (能量法）能量法）（外力功外力功）（應變能應變能）VVdV p2p2GI2nR2FRGI2LT)( WV （L簧絲全長）（n 有效圈數(shù)）dVG212V F21W 43GdnFR64 ) (VW 思考：思考： 欲彈簧欲彈簧 形變小？形變?。?形變大形變大？ （V V 簧絲體積） CF nR64GdC34)( 彈簧常數(shù)F R2D d(絲徑絲徑) F V2pAdLITG21)( VVd21 63C ABDEa/2a/2bL F Fd（軸承軸承）（軸承）（軸承） 軸軸ABAB 兩端與兩端與 兩剛

35、桿（兩剛桿（變形不計變形不計） 剛性連接，兩根彈簧剛度皆為剛性連接，兩根彈簧剛度皆為C C . . 加載前加載前 軸與兩桿都在軸與兩桿都在 水平面內(nèi)水平面內(nèi). . 例例 1 F1 F分析思考分析思考: :C C點位移是因軸點位移是因軸B B點轉(zhuǎn)動引起點轉(zhuǎn)動引起:軸軸ABAB自身扭轉(zhuǎn)自身扭轉(zhuǎn)變形變形;軸軸ABAB因因彈簧變形彈簧變形剛體轉(zhuǎn)動剛體轉(zhuǎn)動 求求 力力F F 作用點位移作用點位移.64C ABDEa/2a/2bL F Fd解解：PPGIFblGITl 軸軸扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形：)0M(X aFbF1aFbF1 acFbcF1 (彈簧位移彈簧位移)(彈簧桿轉(zhuǎn)角彈簧桿轉(zhuǎn)角)caFb22a2/ 軸

36、剛體轉(zhuǎn)動軸剛體轉(zhuǎn)動 )GIlca2(FbP2 總轉(zhuǎn)角總轉(zhuǎn)角C點位移點位移 bC1 F1 F )(P22GIlca2Fb65 例例 圓柱形密圈螺旋彈簧的平均直徑為：圓柱形密圈螺旋彈簧的平均直徑為：DD=125mm=125mm，簧絲直，簧絲直 徑為：徑為：d d =18mm=18mm，受拉力，受拉力 P P=500N =500N 的作用，的作用，試求最大剪應力的近似值試求最大剪應力的近似值和精確值；若和精確值；若 G G =82GPa=82GPa，欲使彈簧變形等于，欲使彈簧變形等于 6mm6mm， 問彈簧至問彈簧至少應有幾圈？少應有幾圈？解：最大剪應力的近似值最大剪應力的近似值：MPa3 .290

37、18. 0500125. 08)1125218( dFD8)1D2d(33max 66最大剪應力的精確值最大剪應力的精確值：09. 1C615. 04C41C4K ; 63.1518125 dDCMPa2 .33018. 0500125. 0809. 1dFD8K33max 彈簧圈數(shù)彈簧圈數(shù)： 6612505006410188266436434.PRGdn（圈）67各截面發(fā)生各截面發(fā)生翹曲翹曲不保持平面不保持平面 . . 非圓截面桿非圓截面桿的翹曲情況，的翹曲情況，隨桿端約束情況不同而不同隨桿端約束情況不同而不同6 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)非圓截面桿扭轉(zhuǎn)非圓截面桿：平面假設不成立非圓截面桿：平面假設不成立.一一、自由和約束扭轉(zhuǎn)、自由和約束扭轉(zhuǎn)由等直圓桿扭轉(zhuǎn)推出的由等直圓桿扭轉(zhuǎn)推出的 應力、變形公式不再適用應力、變形公式不再適用.須由須由 彈性力學彈性力學 方法方法 求解求解( Noncircular Bar under Torsion )68（各截面翹曲不受約束）（各截面翹曲不受約束）（截面翹曲受約束）（截面翹曲受