1、四川師范學(xué)院2011屆畢業(yè)生論文目錄中文摘要3Abstract41 引言62 直接積分法6 2.1原函數(shù)和不定積分的定義6 2.2直接積分法的運(yùn)用方法63 換元積分法7 3.1 第一換元積分法7 3.1.1 第一換元積分法的定義與分析7 3.1.2 第一換元積分法的運(yùn)用7 3.2 第二換元積分法10 3.2.1 第二換元積分法的定義和分析10 3.2.2 第二換元積分法的運(yùn)用10 3.3 換元積分法中值得注意的問題124 分部積分法13 4.1分部積分法的定義和分析13 4.2分部積分法的幾種題型和分部積分法中和的選擇145 有理函數(shù)的不定積分15 5.1 有理函數(shù)的不定積分的定義和分析15

2、5.2 待定系數(shù)法在不定積分中的運(yùn)用166 小結(jié)17參考文獻(xiàn)201 引言數(shù)學(xué)分析是師范大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)必修專業(yè)課，微分和積分都是數(shù)學(xué)分析的重點(diǎn)，而不定積分是積分學(xué)的基礎(chǔ)，更是關(guān)鍵，直接關(guān)系到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)。其任務(wù)是掌握邏輯思維方法和提高使用數(shù)學(xué)手段解決問題的能力。一般地，求不定積分要比求導(dǎo)數(shù)難很多，運(yùn)用積分法則和積分公式只能解決一些簡(jiǎn)單的積分，更多的不定積分要因函數(shù)的不同形式和不同類型選用不同的方法，巧妙運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?，可以化難為易，從而簡(jiǎn)單、快捷、準(zhǔn)確的求出不定積分。本文為解決求積分的困難問題給出了相應(yīng)的解決方法，幫助理解不定積分。2 直接積分法2.1 原函數(shù)和不定積分的定義 (1) 原函數(shù)定義

3、:設(shè)函數(shù)f與F在區(qū)間I上都有意義，若F(x)=f(x)，xI，則稱F為f在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)。例如：f(x)是R上的一個(gè)原函數(shù)，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，那么f(x)即為f(x)的原函數(shù)。 注意：初等函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，所以均有原函數(shù)。 (2) 不定積分定義： 函數(shù)f在區(qū)間I上的全體原函數(shù)稱為f在I上的不定積分，記作，其中為積分號(hào)，f(x)是被積函數(shù)，x為積分變量。即=F(x)+C.若F是f的一個(gè)原函數(shù)，則稱y=f(x)的圖像為f的一條積分曲線。即f的不定積分為沿y軸任意平移的曲線族。2.2 直接積分法的運(yùn)用方法 直接積分法就是利用積分公式和積分的基礎(chǔ)性質(zhì)求不定積分的方法。該方法是求不定

4、積分的基本方法，是其它積分方法的基礎(chǔ)，熟練地掌握基本的公式，在記憶基本積分公式時(shí)，一定要把公式的兩邊一起記，這樣就清楚被積函數(shù)變形到怎樣的式子簡(jiǎn)便。 (1) 利用二項(xiàng)式定理將二項(xiàng)式變?yōu)槎囗?xiàng)式，從而變?yōu)槎鄠€(gè)單項(xiàng)式求積分；例1： (2) 利用代數(shù)公式或三角公式將積商形式的被積函數(shù)化為代數(shù)和的形式，并使每一項(xiàng)都符合積分公式；例2： (3) 對(duì)分式函數(shù)還可以根據(jù)分母的情況，將分子拆項(xiàng)或拼湊，化為幾個(gè)分式的代數(shù)和后再約分，使其符合積分公式； 例3： (4) 對(duì)于含有絕對(duì)值的積分問題，要求先處理絕對(duì)值再積分。由此可得，直接積分法使熟練掌握基本公式的基礎(chǔ)。但是，利用積分公式和性質(zhì)，只能求一些簡(jiǎn)單的積分，對(duì)于

5、比較復(fù)雜的積分，需要設(shè)法把它變形為能利用基本積分公式的形式求解積分。3 換元積分法所謂不定積分的換元法，其實(shí)質(zhì)就是：當(dāng)直接求某個(gè)積分有困難時(shí)， ，把原來(lái)的積分轉(zhuǎn)化為對(duì)新變量t的積分。那么，不定積分的換元法有（其逆運(yùn)算）導(dǎo)數(shù)的換元法（即復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法）而來(lái)，它是通過改變積分變量的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)不定積分問題的轉(zhuǎn)化。不定積分的換元法按照換元前后新舊積分變量的關(guān)系可分為：第一類換元積分法和第二類換元積分法。3.1 第一換元積分法3.1.1 第一換元積分法的定義與分析第一類換元積分法，其新的積分變量為原積分變量的函數(shù)，即新的微分元為原積分變量函數(shù)的微分。該方法的基本思路是把所求的被積函數(shù)通過適當(dāng)?shù)淖兞看?/p>

6、換后，化成積分公式中的某一被積形式，然后代入積分公式求出結(jié)果，所以，也稱為“湊微分法”。簡(jiǎn)單的說：第一類換元積分法的基本步驟如下： 1那么，該積分的關(guān)鍵是：將被積表達(dá)式湊成兩部分，一部分是復(fù)合函數(shù)，其中外函數(shù)是基本積分公式中的某一被積形式，另一部分是內(nèi)函數(shù)的微分。其根本就是通過拼湊使原本不能利用公式求的積分變成可應(yīng)用公式求，使用此方法時(shí)，要熟練運(yùn)用，除了要牢固掌握微積分的基本公式以外，還要了解一些常用微分公式。3.1.2 第一換元積分法的運(yùn)用首先，介紹一下基本的一些常微分公式，這些公式對(duì)于求解積分中運(yùn)用換元積分法的題目有重要作用。 (1) 直接“湊”即將被積函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)直接與湊成微分形式；

7、例4：求.分析：其中2x與e湊成微分形式。解：=令u=x 則=e+C將u=x回帶，則e=e,所以= e+C (2) 分部“湊”即被積函數(shù)形式較為復(fù)雜，直接觀察不易湊成微分形式，可先將部分因子化簡(jiǎn)后，分部來(lái)“湊”； 例5：求. 解：由于(1+x)=, (1-x)=- (此類屬于多次湊微分，我們習(xí)慣以x的運(yùn)算模式，現(xiàn)在變成不常見的積分變量，具有一定的迷惑性，要多加小心。) (3) 變形后“湊”即有些積分通過恰當(dāng)?shù)淖冃危?、減、乘、除某些因子）后，可以使用湊微分法。例6：求不定積分2. 解：利用.將原被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形，即： ,就有 注意：湊微分的過程中要小心系數(shù)的調(diào)整。 這其中在于把被積表達(dá)式f

8、(x)湊成g(x)(x)的形式，以便選取變換u=(x)化為易于積分，最終引入將新變量（u）還原為起始變量（x）。例7：求.分析：=，其中外函數(shù)是冪函數(shù). 解：令u=2-3x，= = =技巧：形如、（mn）可用積化和差公式將其變形為、.例8：求. 解： = = =第一類換元積分法是積分中的基本方法，用處很廣，其中最關(guān)鍵的一步是湊微分，即把被積函數(shù)中的一部分送到微分號(hào)里面，湊成基本公式的形式。拼湊時(shí)，不但要熟悉基本的微分公式，還要經(jīng)過一些恒等變換，才能真正運(yùn)用湊微分法的內(nèi)涵。3.2 第二換元積分法3.2.1 第二換元積分法的定義和分析第二類換元積分法，其原積分變量為新的積分變量的函數(shù)。一般地，如果

9、在積分中，令,且可導(dǎo)，(t)0,則有，若該式右端易求出原函數(shù)F(t)，則得第二類換元積分法：。簡(jiǎn)單的說，第二類換元積分法的基本步驟： 3.2.2 第二換元積分法的運(yùn)用一般地，被積函數(shù)中含有根式，采用第二換元積分法，目的是去掉根號(hào)。 (1) 簡(jiǎn)單根式代換：，令。 例9：求. 解：令，則得 = 若被積函數(shù)中含有多個(gè)x的n（n為整數(shù)）次方根，這多個(gè)x的n次方根次數(shù)的最小公倍數(shù)是m，則令，那么。3(2) 三角代換即當(dāng)被積函數(shù)中出現(xiàn)根式、（a>0）時(shí)，可以令x為其一三角函數(shù)，從而使根式有理化。 ，令x= () ，令x= (0) ，令x= ()例10：求. 解：令x= = 通過上述代換將被積函數(shù)變?yōu)?/p>

10、有理分式函數(shù)或三角函數(shù)：a、當(dāng)被積函數(shù)中含有，等因子時(shí)，使用三角代換去掉根號(hào)；b、形如R（、）類型的積分，介紹一種新的方法利用萬(wàn)能公式換元求積分。萬(wàn)能公式為：令，則，這一類的萬(wàn)能公式在運(yùn)用上很廣泛。例11：求. 解：令，則， = = = =萬(wàn)能換元的方法雖然普遍，但計(jì)算量往往比較大，有時(shí)可以根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)，做一些變形后進(jìn)行積分。變形的基本思路是：(1) 盡量使分母簡(jiǎn)單，為此或分子分母乘以某個(gè)因子，把分母化為（或）得單項(xiàng)式，或?qū)⒎帜刚麄€(gè)看成一項(xiàng)。(2)盡量使R（、）得冪降低，為此通常利用倍角公式或者積化和差公式以達(dá)目的。 (3) 倒代換即被積函數(shù)的分母中含有根號(hào)時(shí)，有時(shí)會(huì)用到倒代換，形式為的

11、不定積分。 當(dāng)分母中未知量次數(shù)較高時(shí)，通過變化轉(zhuǎn)換為分子的未知量次數(shù)，就會(huì)有意想不到的結(jié)果，即令。 3.3 換元積分法中值得注意的問題 但是，再換元積分法中值得注意的一個(gè)問題：4 從原函數(shù)的定義即存在定理知，在北極函數(shù)的連續(xù)區(qū)間的原函數(shù)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，不應(yīng)是分段連續(xù)函數(shù)，在碰見這一類的問題時(shí)，應(yīng)該對(duì)該問題進(jìn)行分段處理。對(duì)此，我們解題要加倍小心。如：求，給出一種解法： 解： =· 在其中，被積函數(shù)的定義域是（），二 上述兩種情況是在假定x的情況下計(jì)算出來(lái)的，因此，所得結(jié)果只能在內(nèi)成立，如果把所求的結(jié)果當(dāng)作在（）內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，那么它在x=0處就間斷，因而就是一個(gè)分段連續(xù)函數(shù)，故結(jié)果不能

12、認(rèn)為正確。為使上述被積函數(shù)在（）中的原函數(shù)是連續(xù)的，我們必須考路原函數(shù)在x=0點(diǎn)的連續(xù)性.由于在x=0處的左極限等于，有極限為。因此，F(xiàn)(x)= ， 在（）內(nèi)由定義且連續(xù)，此外，當(dāng)x時(shí)，可以直接求導(dǎo)得到f（x）。利用換元積分法解題明白，但是不能解決所有的題型，下面引入求積分的新方法分部積分法。4 分部積分法4.1分部積分法的定義和分析直接積分法是求積分的基本方法，換元積分法是求積分的重要方法，若這兩種方法均不能得出結(jié)果，就要用到下面的積分方法。分部積分法是化簡(jiǎn)被積函數(shù)為可積形式的重要而有效的方法，可看成微分學(xué)中兩個(gè)函數(shù)乘積運(yùn)算的逆運(yùn)算。分部積分法定義：設(shè)函數(shù)u=u(x),v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)

13、數(shù)，則，那么，該積分法使用的范圍是兩種不同類型函數(shù)乘積形式的不定積分。5其主要用于解決被積函數(shù)是兩種初等函數(shù)的乘積或單一個(gè)函數(shù)（對(duì)數(shù)函數(shù)。反三角函數(shù)，初等函數(shù)）的不定積分。利用此公式求積分的基本步驟是： 分部積分法的基本思想是化繁為簡(jiǎn)，當(dāng)左邊的不定積分不易求解，而右邊的不定積分易求解時(shí)，則可通過該公式使不定積分得以解決。該積分法的關(guān)鍵是選擇哪個(gè)因子當(dāng)作u，哪個(gè)當(dāng)作v，選擇不當(dāng)不僅不會(huì)使積分由復(fù)雜到簡(jiǎn)單，反而更復(fù)雜。那么，通過以上討論，被積函數(shù)應(yīng)該在什么情況下運(yùn)用分部積分法呢？4.2 分部積分法的幾種題型和分部積分法中和的選擇一般被積函數(shù)屬于下列類型之一時(shí)通常使用分部積分法： 被積函數(shù)是兩個(gè)不同

14、類型函數(shù)的乘積； 被積函數(shù)含有對(duì)數(shù)函數(shù)； 被積函數(shù)含有三角函數(shù)。 由以上條件可有三種題型及解法： (1) 形如依次按排列的順序分別變換成. 例12：求積分. 分析：是兩個(gè)不同函數(shù)的乘積，所以可用分部積分法。 解：= (2) 依次按排列的順序 6 例13：求積分. 解：= 合適的運(yùn)用分部積分法來(lái)計(jì)算上述題型,就必須對(duì)其中的u與dv進(jìn)行正確的選擇。如果被積函數(shù)是由“反三角函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)”（后面簡(jiǎn)稱“反，對(duì)，冪，指，三”）中的任意兩個(gè)函數(shù)的乘積時(shí)，按此順序，誰(shuí)在前面，誰(shuí)就做u，其余的與一起做。 例14：求積分. 分析：不定積分中的被積函數(shù)為冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積，有口決“

15、反，對(duì)，冪，指，三”知，將作為u，余下作為。 解：設(shè)u=,有du= = 小結(jié)：要快速的掌握分部積分法，首先必須了解該積分方法的思想比較難求的積分來(lái)計(jì)算；其次，應(yīng)該掌握對(duì)u與的選擇。在積分學(xué)中，分部積分法中有幾種簡(jiǎn)便方法： (1) 當(dāng)一個(gè)積分的被積函數(shù)是“反，對(duì)，冪，指，三”中的任意兩類函數(shù)的乘積時(shí)，按此順序；誰(shuí)排在前，u就選誰(shuí)，可以正確快速地利用分部積分法求出積分； (2) 當(dāng)被積形式為可用斜式相乘法求積分。85 有理函數(shù)的不定積分及待定系數(shù)法5.1 有理函數(shù)的不定積分的定義和分析有理函數(shù)的不定積分不僅是微分學(xué)中的一個(gè)重要內(nèi)容，也是不定積分學(xué)習(xí)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。有理函數(shù)是指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商所

16、表示的函數(shù)，即具有如下形式的函數(shù)：R(x)=.其中有理函數(shù)可以分解為多項(xiàng)式（即有理整式）與真分式之和，多項(xiàng)式易于求積分，而真分式可以化為部分分式的和求積分。在將真分式分解成部分分式的和時(shí)，對(duì)于簡(jiǎn)單的問題，可以用觀察法進(jìn)行拆分；復(fù)雜的則要另尋他法。那么，有理函數(shù)的積分形如的積分，其中；m和n均為非負(fù)整數(shù)；都是實(shí)數(shù)，且.當(dāng)m<n時(shí)，R(x)為有理真分式，否則為有理假分式，因假分式可以化為一多項(xiàng)式與真分式之和，所以只用掌握有理真分式的積分思想。5.2 待定系數(shù)法在不定積分中的運(yùn)用那么，有理真分式的積分該如何求解呢？9 (1) 第一步：對(duì)分母Q（x）在實(shí)數(shù)解內(nèi)作標(biāo)準(zhǔn)分解：，在多項(xiàng)式Q（x）中 均

17、為自然數(shù)，而且的前s項(xiàng)的和與的前t項(xiàng)的和的二倍相加等于m；j=1，2，t.第二步：根據(jù)分母的各個(gè)因式分別寫出與之相應(yīng)的部分分式：對(duì)于每個(gè)形如的因式，它所對(duì)應(yīng)的部分分式是 對(duì)每個(gè)形如的因式，它所對(duì)應(yīng)的部分分式是 .把所有部分分式加起來(lái)，使之等于R（x）。第三步：確定待定系數(shù)：一般方法是將所有部分分式通分相加，所得分式的分母即為原分母Q(x)，而其分子亦應(yīng)與原分子P(x)恒等。于是，按同冪項(xiàng)系數(shù)必定相等，得到一組關(guān)于待定系數(shù)的線性方程，這組方程即為要確定的系數(shù)。 (2) 對(duì)于有理真分式，可以看成以下幾種情況： 當(dāng)分母Q(x)含有單因式x-a時(shí)，分解式中應(yīng)有一項(xiàng)，A為待定系數(shù)；當(dāng)分母Q(x)含有重因

18、式時(shí)，部分分式中相應(yīng)有n個(gè)項(xiàng)，分母按的次數(shù)依次降低為一次，分子為待定系數(shù)； 當(dāng)分母Q(x)中含有質(zhì)因式時(shí)，部分分式中相應(yīng)的有一項(xiàng). 例15：求積分. 解：該被積函數(shù)為假分式，利用多項(xiàng)式除法，得 = 然后再把上面真分式化成部分分式之和，利用待定系數(shù)法，令 去分母，得（x+3）=A(x-3)+B(x-2) 得A=-5、B=6.故= 用待定系數(shù)法將其復(fù)雜的有理函數(shù)變?yōu)橛欣碚娣质降拇鷶?shù)和，然后用前面的方法逐項(xiàng)積分。該方法的基本步驟： 先考察被積有理函數(shù)是真分式，還是假分式。如果是假分式，在通過帶余除法化為多項(xiàng)式和真分式之和；如果是真分式，則進(jìn)行第（2）步; 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把分母多項(xiàng)式分解成若干個(gè)一次因式和二次因式之積; 設(shè)定真分式函數(shù)分解成若干部分分式之和的形式; 利用待定系數(shù)法等方法求出各部分分式的分子所有系數(shù)； 對(duì)多項(xiàng)式（如果有理函數(shù)是假分式）和各部分分式分別進(jìn)行積分并求和。6 小結(jié) 為使復(fù)雜的函數(shù)積分，變得簡(jiǎn)單易學(xué)，根據(jù)直接積分法，換元積分法，分部積分法，等的特點(diǎn).使逐步向基本公式接近。 以下是總結(jié)的一些技巧： 1 補(bǔ)項(xiàng)法即將被積函數(shù)f(x)的某部分“加一項(xiàng)，減一項(xiàng)“后，使不定積分接近積分基本公式，求出結(jié)果； 例1610：求. 解：= = 2 乘除法即將被積函數(shù)f(x)“同乘同除”某式子，經(jīng)過適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算求結(jié)果； 例17：求. 解：= = 3