1、第十八章 “勾股定理”簡介課程教材研究所 薛 彬本章主要內(nèi)容是勾股定理及其逆定理。首先讓學生通過觀察得出直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方的結(jié)論并加以證明，從而得到勾股定理，然后運用勾股定理解決問題。在此基礎(chǔ)上，引入勾股定理的逆定理，并結(jié)合此項內(nèi)容介紹逆命題、逆定理的概念。本章教學時間約需8課時，具體安排如下：181勾股定理 4 課時182勾股定理的逆定理 3課時數(shù)學活動小結(jié) 1課時一、教科書內(nèi)容和課程學習目標本章知識結(jié)構(gòu)框圖：直角三角形是一種特殊的三角形，它有許多重要的性質(zhì)，如兩個銳角互余，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性質(zhì)，而

2、且是一條非常重要的性質(zhì)。勾股定理是幾何中幾個最重要的定理之一，它揭示了一個直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，它可以解決許多直角三角形中的計算問題，是解直角三角形的主要依據(jù)之一，在生產(chǎn)生活實際中用途很大。它不僅在數(shù)學中，而且在其他自然科學中也被廣泛地應(yīng)用。目前世界上許多科學家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等。據(jù)說我國著名數(shù)學家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會識別這種“語言”的。這個事實可以說明勾股定理的重大意義，發(fā)現(xiàn)勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。在第一節(jié)中，教科書讓學生

3、通過觀察計算一些直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積與以斜邊為邊長的正方形的面積的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積，從而發(fā)現(xiàn)勾股定理。勾股定理的證明方法很多，教科書正文中介紹的是一種面積證法。其中的依據(jù)是圖形經(jīng)過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變。在教科書中，圖18.13（1）中的圖形經(jīng)過割補拼接后得到圖18.13（3）中的圖形。由此就證明了勾股定理。通過推理證實命題1的正確性后，教科書順勢指出什么是定理。由勾股定理可知，已知兩條直角邊的長a,b，就可以求出斜邊c的長。由勾股定理可得或，由此可知，已知斜邊與一條直角邊的長，就可以求出

4、另一條直角邊的長。也就是說，在直角三角形中，已知兩條邊的長，就可以求出第三條邊的長。教科書相應(yīng)安排了三個探究欄目，讓學生運用勾股定理解決問題。在第二節(jié)中，教科書讓學生畫出一些兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形，可以發(fā)現(xiàn)畫出的三角形是直角三角形。從而猜想如果三角形的三邊滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。這個猜想可以利用全等三角形證明，得到勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理給出了判定一個三角形是直角三角形的方法。教科書安排了兩個例題，讓學生學會運用這種方法。這種方法與前面學過的一些判定方法不同，它通過代數(shù)運算“算”出來。實際上利用計算證明幾何問題學生已經(jīng)見過，計算在幾

5、何里也是很重要的。從這個意義上講，勾股定理的逆定理的學習，對開闊學生眼界，進一步體會數(shù)學中的各種方法有很大的意義。幾何中有許多互逆的命題，互逆的定理，它們從正反兩個方面揭示了圖形的特征性質(zhì)，所以互逆命題和互逆定理是幾何中的重要概念。學生已見過一些互逆命題（定理），例如：“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”與“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”；“全等三角形的對應(yīng)邊相等”與“對應(yīng)邊相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命題。勾股定理與勾股定理的逆定理也是互逆的命題，而且這兩個命題的題設(shè)和結(jié)論都比較簡單。因此，教科書在前面已有感性認識的基礎(chǔ)上，在第二節(jié)中，結(jié)合勾股定理的逆定理的內(nèi)容的展開，穿插介紹了逆命題、逆定理的概

6、念，并舉例說明原命題成立其逆命題不一定成立。為鞏固這些內(nèi)容，相應(yīng)配備了一些練習與習題。本章學習目標如下：1體驗勾股定理的探索過程，會運用勾股定理解決簡單問題；2會運用勾股定理的逆定理判定直角三角形；3通過具體的例子，了解定理的含義，了解逆命題、逆定理的概念，知道原命題成立其逆命題不一定成立。二、本章編寫特點（一）讓學生體驗勾股定理的探索和運用過程勾股定理的發(fā)現(xiàn)從傳說故事講起，從故事中可以發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形有這樣的性質(zhì)：以等腰直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積。再看一些其他直角三角形，發(fā)現(xiàn)也有上述性質(zhì)。因而猜想所有直角三角形都有這個性質(zhì)，即如果直角三角形

7、的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么 （教科書把這個猜想記作命題1，把下節(jié)“如果三角形的三邊長滿足，那么這個三角形是直角三角形”記作命題2，便于引出互逆命題）。教科書讓學生用勾股定理探究三個問題。探究1是木板進門問題。按照已知數(shù)據(jù)，木板橫著、豎著都不能進門，只能斜著試試。由此想到求長方形門框的對角線的長，而這個問題可以用勾股定理解決。探究2是梯子滑動問題：梯子頂端滑動一段距離，梯子的底端是否也滑動相同的距離。這個問題可以轉(zhuǎn)化為已知斜邊與一條直角邊的長求另一條直角邊的長的問題，這也可以用勾股定理解決。探究3是在數(shù)軸上畫出表示的點。分以下四步引導學生：（1）將在數(shù)軸上畫出表示的點的問題轉(zhuǎn)化為畫出長為

8、的線段的問題。（2）由長為的線段是直角邊都為1的直角三角形的斜邊，聯(lián)想到長為的線段能否是直角邊為正整數(shù)的直角三角形的斜邊。（3）通過嘗試發(fā)現(xiàn)，長為的線段是直角邊為2,3的直角三角形的斜邊。（4）畫出長為的線段，從而在數(shù)軸上畫出表示的點。（二）結(jié)合具體例子介紹抽象概念在本章中，結(jié)合勾股定理、勾股定理的逆定理介紹了定理、逆命題、逆定理的內(nèi)容。在勾股定理一節(jié)中，先讓學生通過觀察得出命題1，然后通過面積變形證明命題1。由此說明，經(jīng)過證明被確認正確的命題叫做定理。在勾股定理的逆定理一節(jié)中，從古埃及人畫直角的方法談起，然后讓學生畫一些三角形（已知三邊，并且兩邊的平方和等于第三邊的平方），可以發(fā)現(xiàn)畫出的三角

9、形是直角三角形。因而猜想如果三角形的三邊長滿足，那么這個三角形是直角三角形，即教科書中的命題2。把命題2的條件、結(jié)論與上節(jié)命題1的條件、結(jié)論作比較，引出逆命題的概念。接著探究證明命題2的思路。用三角形全等證明命題2后，順勢引出逆定理的概念。命題1，命題2屬于原命題成立，逆命題也成立的情況。為了防止學生由此誤以為原命題成立，逆命題一定成立，教科書特別舉例說明有的原命題成立，逆命題不成立。（三）注重介紹數(shù)學文化我國古代的學者們對勾股定理的研究有許多重要成就，不僅在很久以前獨立地發(fā)現(xiàn)了勾股定理，而且使用了許多巧妙的方法證明了它，尤其在勾股定理的應(yīng)用方面，對其他國家的影響很大，這些都是我國人民對人類的

10、重要貢獻。本章介紹了我國古代的有關(guān)研究成果。在引言中介紹我國古算書周髀算經(jīng)的記載“如果勾是三、股是四、那么弦是五”。有很多方法可以證明勾股定理。教科書為了弘揚我國古代數(shù)學成就，介紹了我國古人趙爽的證法。首先介紹趙爽弦圖，然后介紹趙爽利用弦圖證明命題1的基本思路。“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國古人對數(shù)學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學的驕傲。正因為此，這個圖案被選為2002年在北京召開的世界數(shù)學家大會的會徽。還在習題中安排我國古代數(shù)學著作九章算術(shù)中的問題，展現(xiàn)我國古人在勾股定理應(yīng)用研究方面的成果。本章也介紹了國外的有關(guān)研究成果。如勾股定理的發(fā)現(xiàn)是從與畢達哥拉斯有關(guān)傳說故事引入的。又如勾股定理的逆定

11、理從古埃及人畫直角的方法引入。再如介紹古希臘哲學家柏拉圖關(guān)于勾股數(shù)的結(jié)論。三、 幾個值得關(guān)注的問題（一）讓學生獲得更多與勾股定理有關(guān)的背景知識與勾股定理有關(guān)的背景知識豐富，除正文介紹的有關(guān)內(nèi)容外，教科書在“閱讀與思考 勾股定理的證明”中介紹了另外幾種證明勾股定理的方法，還安排了一個數(shù)學活動，讓學生收集一些證明勾股定理的方法，并與同學交流。在教學中，應(yīng)注意展現(xiàn)與勾股定理有關(guān)的背景知識，使學生對勾股定理的發(fā)展過程有所了解，感受勾股定理的豐富文化內(nèi)涵，激發(fā)學生的學習興趣。特別應(yīng)通過向?qū)W生介紹我國古代在勾股定理研究方面的成就，激發(fā)學生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想感情，培養(yǎng)他們的民族自豪感，同時教育學生發(fā)奮圖強，努力學習，為將來擔負起振興中華的重任打下基礎(chǔ)。（二）適當總結(jié)與定理、逆定理有關(guān)的內(nèi)容本章中給出了定理、逆定理的概念，可以在小結(jié)中回顧已學的一些結(jié)論。例如，在第七章“三角形”中，“三角形的內(nèi)角和等于180°”是由平行線的性質(zhì)與平角的定義推出的，這個結(jié)論也稱為三角形內(nèi)角和定理。又如，在第十三章“全等三角形”中，都是利用三角形全等證明的，前一個結(jié)論也稱為角的平分線的性質(zhì)定理，而后一個結(jié)論是