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多元函數(shù)的極限與連續(xù)習(xí)題1. 用極限定義證明:。2. 討論下列函數(shù)在（0,0）處的兩個累次極限，并討論在該點處的二重極限的存在性。（1）；(2)；(3)；(4)。3. 求極限 （1）； （2）； （3）； （4）。4. 試證明函數(shù)在其定義域上是連續(xù)的。1. 用極限定義證明:。因為，不妨設(shè)，有，要使不等式成立取，于是， ，：且 ，有，即證。2. 討論下列函數(shù)在（0,0）處的兩個累次極限，并討論在該點處的二重極限的存在性。（1）；， ，二重極限不存在?；?， 。(2) ；可以證明 所以 。當(dāng)，時，極限不存在，因此不存在，同理 不存在。(3) ；，當(dāng) P(x,y)沿著趨于（0,0）時有， 所以 不存在；， 。(4) ， 不存在。3. 求極限 （1）；， 又 ，。 （2）；。 （3）；，而 故 。 （4）。 令，時，。4. 試證明函數(shù)在其定義域上是連續(xù)的。證明：顯然f(x,y)的定義域是xy>-1.當(dāng)時，f(x,y)是連續(xù)的， 只需證明其作為二元函數(shù)在y軸的每一點上連續(xù)。 以下分兩種情況討論。（1） 在原點（0,0）處f(0,0)=0, 當(dāng)時,由于 不妨設(shè) ， ，從而 ， 取，當(dāng)時，于是，無論，當(dāng)時，都有（2） 在處。（當(dāng)時， 當(dāng)x=0時, ,注意到，當(dāng)時 ，于是，無論， 當(dāng)時，即 f(

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