1、 哥尼斯堡七橋問(wèn)題體現(xiàn)的拓?fù)渌枷?摘要：七橋問(wèn)題是1736年29歲的歐拉向圣彼得堡科學(xué)院遞交哥尼斯堡的七座橋論文時(shí)提出的，在解答問(wèn)題的同時(shí)，開(kāi)創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個(gè)新的分支圖論與幾何拓?fù)?，也由此展開(kāi)了數(shù)學(xué)史上的新進(jìn)程。由哥尼斯堡七橋問(wèn)題出發(fā)，分析其蘊(yùn)含的思想、方法，并引出其中的拓?fù)渌枷?。關(guān)鍵詞： 七橋問(wèn)題； 拓?fù)洌?思想； 拓?fù)鋵W(xué)（英語(yǔ)：topology），幾何拓?fù)鋵W(xué)是十九世紀(jì)形成的一門(mén)數(shù)學(xué)分支，它屬于幾何學(xué)的范疇.拓?fù)鋵W(xué)起源于哥尼斯堡七橋問(wèn)題，以及與此相關(guān)的一筆畫(huà)問(wèn)題。它所研究的是幾何形體在連續(xù)形變，精確地說(shuō)，雙方一一而且雙方連續(xù)的變換（稱為同胚）之下保持不變的性質(zhì)。理解得廣泛些，拓?fù)鋵W(xué)是研究數(shù)學(xué)中

2、連續(xù)性現(xiàn)象的學(xué)科。有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀(jì)就出現(xiàn)了，那時(shí)候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問(wèn)題，后來(lái)在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位。一、哥尼斯堡七橋問(wèn)題簡(jiǎn)介 哥尼斯堡七橋問(wèn)題是歐拉用抽象的方法探究并解決實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)典型實(shí)例，對(duì)開(kāi)創(chuàng)圖論與拓?fù)鋵W(xué)的研究具有重大意義.18世紀(jì)的哥尼斯堡是德國(guó)的一個(gè)美麗的城市，布勒爾河穿城而過(guò)，它有兩個(gè)支流，在哥尼斯堡城中心匯成大河，河中心有一個(gè)小島，河上有七座橋，如圖(1)島上有一座古老的大學(xué)，還有哲學(xué)家康德的墓地及塑像.當(dāng)?shù)氐木用?，特別是大學(xué)生們常常到七橋附近散步，漸漸地大家熱衷于一個(gè)問(wèn)題:一個(gè)人是否能不重復(fù)地一次走遍這七座橋而返回出發(fā)點(diǎn)？很多人做過(guò)嘗試，但都未能實(shí)現(xiàn)，這

3、便產(chǎn)生了數(shù)學(xué)史上著名的“七橋問(wèn)題”，1735年，一群大學(xué)生寫(xiě)信將這個(gè)難題交給了著名的數(shù)學(xué)家歐拉二、問(wèn)題的解決 歐拉解決這個(gè)問(wèn)題的第一步是把它盡量簡(jiǎn)化。他發(fā)現(xiàn)，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，島的大小、陸地的面積、橋的長(zhǎng)短與寬窄等都不影響答案。因此，他用點(diǎn)表示島與陸地，用線表示橋。把“七橋圖”簡(jiǎn)化為一個(gè)幾何圖形如圖（2）。這樣，原題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)幾何問(wèn)題：能否從圖（2），A、B、C、D四點(diǎn)中的某一點(diǎn)出發(fā)，只通過(guò)每條路線一次，而把所有的7條路都走完？或者說(shuō)，能否從圖（2），A、B、C、D四點(diǎn)中的某一點(diǎn)開(kāi)始，不重復(fù)地一筆畫(huà)出這個(gè)圖？弧連接的頂點(diǎn)叫奇頂點(diǎn)。如果一個(gè)網(wǎng)絡(luò)圖只有偶頂點(diǎn)，那么它一定可以一筆畫(huà)，并回到起點(diǎn)；如果一

4、個(gè)網(wǎng)絡(luò)圖只有兩個(gè)奇頂點(diǎn)，那么它可以從一個(gè)奇頂點(diǎn)出發(fā)，到另一個(gè)奇頂點(diǎn)結(jié)束，一筆畫(huà)完；如果一個(gè)網(wǎng)絡(luò)圖只有一個(gè)奇頂點(diǎn)或者多于2個(gè)奇頂點(diǎn)，那么它一定不能一筆畫(huà)。最后，歐拉把上述結(jié)論用于圖2，由于它的頂點(diǎn)都是奇頂點(diǎn)，所欲它一定不能一筆畫(huà)。也就是說(shuō)，“七橋問(wèn)題”的答案是否定的。歐拉通過(guò)對(duì)七橋問(wèn)題的研究，不僅圓滿地回答了哥尼斯堡居民提出的問(wèn)題，而且得到并證明了更為廣泛的有關(guān)一筆畫(huà)的三條結(jié)論，人們通常稱之為“歐拉定理”。對(duì)于一個(gè)連通圖，通常把從某結(jié)點(diǎn)出發(fā)一筆畫(huà)成所經(jīng)過(guò)的路線叫做歐拉路。人們又通常把一筆畫(huà)成回到出發(fā)點(diǎn)的歐拉路叫做歐拉回路。具有歐拉回路的圖叫做歐拉圖。一筆畫(huà)的特征： 凡是由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可

5、以一筆畫(huà)成。畫(huà)時(shí)可以把任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一定能以這個(gè)點(diǎn)為終點(diǎn)畫(huà)完此圖。 凡是只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖(其余都為偶點(diǎn))，一定可以一筆畫(huà)成。畫(huà)時(shí)必須把一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個(gè)奇點(diǎn)終點(diǎn)。 其他情況的圖都不能一筆畫(huà)出。(奇點(diǎn)數(shù)除以二便可算出此圖需幾筆畫(huà)成。) “七橋問(wèn)題”的解決方案均是采用某種捆扎的概念（開(kāi)集）使點(diǎn)集中的點(diǎn)與點(diǎn)之間發(fā)生關(guān)系。“七橋問(wèn)題”的解決歸結(jié)為在七橋問(wèn)題的圖模型中尋找遍歷每一條邊恰好一次而回到原地的途徑。歐拉解決這個(gè)問(wèn)題開(kāi)創(chuàng)了圖論典型的思維方式和論證方式，反思?xì)W拉解決“七橋問(wèn)題”的思路有助于把握?qǐng)D論的本原思想，接受圖論的思維方式和解題技巧。三、體現(xiàn)的拓?fù)渌枷?歐拉為什么能抽象出圖模型并

6、據(jù)此解決七橋問(wèn)題呢？是他利用特征抽象分析法與拓?fù)渌伎挤绞絹?lái)考慮問(wèn)題的結(jié)果。所謂特征抽象分析法就是把研究對(duì)象的本質(zhì)特征抽取出來(lái)舍棄非本質(zhì)特征的分析法。為了解決七橋問(wèn)題，首先要給出問(wèn)題的正確表征，盡量把問(wèn)題簡(jiǎn)化，使得容易抓住問(wèn)題的要點(diǎn)，對(duì)于七橋問(wèn)題，陸地和島的大小，橋的曲直長(zhǎng)短是無(wú)關(guān)緊要的，只要關(guān)心點(diǎn)與點(diǎn)之間是否有線相連，故可用圖來(lái)表征七橋問(wèn)題的情景和結(jié)構(gòu)。所謂拓?fù)渌伎挤绞骄褪侵豢紤]圖形中頂點(diǎn)和邊線的個(gè)數(shù)而不考慮其大小和形狀的思考方式。為了解決七橋問(wèn)題，將圖中頂點(diǎn)和邊線的關(guān)聯(lián)情況（頂點(diǎn)的度數(shù)）作為切入點(diǎn)，尋找有解的必要條件。在尋找有解必要條件的過(guò)程中，這種不考慮所畫(huà)圖的大小和形狀，僅考慮圖中頂點(diǎn)和

7、邊線個(gè)數(shù)的思考方式正是拓?fù)鋵W(xué)的思考方式。特征抽象分析和拓?fù)渌伎挤绞绞前褜?shí)際問(wèn)題變成一個(gè)圖論問(wèn)題研究額關(guān)鍵。如：樹(shù)是圖論中的專有名詞，它的原型就是窗外有枝有葉的綠色樹(shù)木，用特征抽象分析法定義樹(shù)，所謂樹(shù)就是無(wú)圈的連通圖。其中度數(shù)為1的頂點(diǎn)稱為葉，每個(gè)連通片皆為樹(shù)的圖成為林。對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，一個(gè)特定目的，想要研究其存在的規(guī)律，這需要人們對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行深入細(xì)微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識(shí)。 歐拉解決這一問(wèn)題所用的思維方法，就是抽象方法，即從感性認(rèn)識(shí)上升到理性抽象，再由理性抽象升華為理性認(rèn)識(shí)，這也是人們認(rèn)識(shí)事物常用的一種抽象思維方式?！捌邩騿?wèn)題”有力的說(shuō)明，數(shù)學(xué)抽象講實(shí)

8、際問(wèn)題中許多無(wú)關(guān)緊要的東西（如橋的大小、形狀之類）舍去，而緊緊抓住其中帶有本質(zhì)特征的東西，從而構(gòu)造出一些在邏輯上無(wú)矛盾的“純粹”的數(shù)學(xué)關(guān)系。 在我們熟悉的平面幾何里，把平面上的一個(gè)圖形搬到另一個(gè)圖形，如果兩者能夠完全重合，那么這兩個(gè)圖形就叫做全等圖形。可是，在拓?fù)鋵W(xué)里所研究的圖形，在運(yùn)動(dòng)中無(wú)論它的大小或形狀都可以發(fā)生變化，即拓?fù)鋵W(xué)中沒(méi)有不能彎曲的元素，每一個(gè)圖形的大小、形狀都可以改變。歐拉在解決“七橋問(wèn)題”時(shí)，畫(huà)的圖形僅考慮點(diǎn)和線的個(gè)數(shù)，不去考慮它的大小、形狀。這些就是拓?fù)鋵W(xué)思考問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，拓?fù)渚褪茄芯坑行蔚奈矬w在連續(xù)變換下，怎樣還能保持性質(zhì)不變。拓?fù)鋵W(xué)里不討論兩個(gè)圖形全等的概念，

9、但是討論拓?fù)涞葍r(jià)的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓?fù)渥儞Q下，它們都是等價(jià)圖形。換句話講，就是從拓?fù)鋵W(xué)的角度看，它們是完全不一樣的。直線上的點(diǎn)和線的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系，在拓?fù)渥儞Q下不變，這就是拓?fù)湫再|(zhì)，在拓?fù)鋵W(xué)中曲線和曲面的閉合性質(zhì)也是拓?fù)湫再|(zhì)。二十世紀(jì)以來(lái)，集合論被引進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)，為拓?fù)鋵W(xué)開(kāi)拓了新的面貌。拓?fù)鋵W(xué)的研究就變成了關(guān)于任意點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)的概念。拓?fù)鋵W(xué)中一些需要精確化描述的問(wèn)題都可以應(yīng)用集合來(lái)論述。 因?yàn)榇罅孔匀滑F(xiàn)象具有連續(xù)性，所以拓?fù)鋵W(xué)具有廣泛聯(lián)系各種實(shí)際事物的可能性。通過(guò)拓?fù)鋵W(xué)的研究，可以闡明空間的集合結(jié)構(gòu)，從而掌握空間之間的函數(shù)關(guān)系。本世紀(jì)三十年代以后，數(shù)學(xué)家對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的研究更加深入，提出了許多全新的概念。拓?fù)鋵W(xué)是研究曲面的全局聯(lián)系的情況，要想用一兩句話講清楚拓?fù)鋵W(xué)的對(duì)象，看來(lái)不是一件容易的事，不如讓我們來(lái)看看哪一類問(wèn)題有“拓?fù)洹毙再|(zhì)，運(yùn)用了拓?fù)渌枷搿Ｍ負(fù)鋵W(xué)不像數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)和分析學(xué)，它們的對(duì)象比較具體、比較清楚，而拓?fù)鋵W(xué)的問(wèn)題則較為深刻、較為抽象。不過(guò)，自古以來(lái)，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題和物理學(xué)問(wèn)題都涉及到拓?fù)?，它也不是從天上掉下?lái)的。 參考文獻(xiàn)1 王樹(shù)禾.從哥尼斯堡七橋問(wèn)題談起M.長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，1998.2 姜伯駒.一筆畫(huà)和郵遞路線問(wèn)題M.北京：中國(guó)青年出版