1、解直角三角形解直角三角形 第第30講講考點考點1.1.銳角三角函數(shù)的概念銳角三角函數(shù)的概念正弦：正弦：把銳角把銳角A A的對邊與斜邊的比叫的對邊與斜邊的比叫做做A A的正弦，記作的正弦，記作 caA sin余弦：余弦：把銳角把銳角A A的鄰邊與斜邊的比叫做的鄰邊與斜邊的比叫做A A的的余弦，記作余弦，記作 正切：正切：把銳角把銳角A A的對邊與鄰邊的比叫做的對邊與鄰邊的比叫做A A的的正切，記作正切，記作 cbA cosbaA tan銳角銳角A A的正弦的正弦、余弦余弦、正切、余切都叫做、正切、余切都叫做AA的銳角三角函數(shù)的銳角三角函數(shù). .對這些關(guān)系式對這些關(guān)系式要學(xué)會靈活變要學(xué)會靈活變式運

2、用式運用其中其中0 0sinAsinA1, 01, 0cosAcosA1,tanA1,tanA0,cotA0,cotA0 0 BAC斜邊斜邊c鄰邊鄰邊b對邊對邊a余切：余切：把銳角把銳角A A的鄰邊與對邊的比叫做的鄰邊與對邊的比叫做A A的的余切，記作余切，記作 abA cot增大增大 減小減小 同一銳角的正弦值和余弦值之間的關(guān)系同一銳角的正弦值和余弦值之間的關(guān)系是：正弦值等于它的余角的余弦值，余是：正弦值等于它的余角的余弦值，余弦值等于它的余角的正弦值弦值等于它的余角的正弦值. .即即sinAsinAcoscos（9090一一 A A）cosB cosB cosAcosAsinsin（909

3、0一一A A）sinBsinB思考：同一個銳角的正弦值和余弦值之間有何關(guān)思考：同一個銳角的正弦值和余弦值之間有何關(guān)系？系？A AB BC C2 2三角函數(shù)的關(guān)系式：三角函數(shù)的關(guān)系式：(1)(1)同角關(guān)系：同角關(guān)系：sinsin2 2A Acoscos2 2A A_；tanAtanA_；(2)(2)互余關(guān)系：互余關(guān)系：sinAsinAcos(90cos(90A)A)；cosAcosAsin(90sin(90A)A)1 A AB BC C30300 060600 0A AB BC C45450 0sin30sin300 0 =_=_sin45sin450 0 =_=_ sin60sin600 0

4、=_=_cos30cos300 0 =_=_cos45cos450 0 =_=_cos60cos600 0 =_=_tan30tan300 0 =_=_ tan45tan450 0 =_=_ tan60tan600 0 =_=_cot30cot300 0 =_=_ cot45cot450 0 =_=_ cot60cot600 0 =_=_1 1 考點考點2 2特殊角的三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值考點考點3. 3. 解直角三角形解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形有未知元素的過程，叫做解直角三角形. .

5、1.1.什么叫解直角三角形？什么叫解直角三角形？2.2.直角三角形中的邊角關(guān)系：直角三角形中的邊角關(guān)系：222cbaA A十十B B9090 caA sincbA cosbaA tan歸納：歸納：只要知道其中的只要知道其中的2 2個元素（至少有一個是個元素（至少有一個是邊），就可以求出其余邊），就可以求出其余3 3個未知個未知元素元素. . （1 1）三邊關(guān)系：）三邊關(guān)系：（勾股定理）（勾股定理）（2 2）兩銳角的關(guān)系：）兩銳角的關(guān)系：（3 3）邊角的關(guān)系：）邊角的關(guān)系：abA cot sin2A+cos2A=1 tanAcotA=13 3解直角三角形的一般方法：解直角三角形的一般方法：(1)

6、(1)已知兩邊，先用勾股定理求第三邊，再利用三角函數(shù)求已知兩邊，先用勾股定理求第三邊，再利用三角函數(shù)求兩個銳角的度數(shù)；兩個銳角的度數(shù)；(2)(2)已知一個銳角和一邊，先用互余關(guān)系求另一個銳角，再已知一個銳角和一邊，先用互余關(guān)系求另一個銳角，再利用三角函數(shù)求出另兩邊利用三角函數(shù)求出另兩邊注意：注意：(1)(1)當(dāng)已知條件或待求量中有斜邊時用正弦或余弦，當(dāng)已知條件或待求量中有斜邊時用正弦或余弦，無斜邊時用正切；無斜邊時用正切；(2)(2)當(dāng)原始數(shù)據(jù)和中間數(shù)據(jù)均可參與運算時，用原始數(shù)據(jù)當(dāng)原始數(shù)據(jù)和中間數(shù)據(jù)均可參與運算時，用原始數(shù)據(jù)這樣可以避免這樣可以避免“累積誤差累積誤差”；(3)(3)如果已知直角

7、三角形的中線、高、角平分線、周長、面如果已知直角三角形的中線、高、角平分線、周長、面積等時，一般可將這些元素轉(zhuǎn)化為三角形中的元素或元素間的關(guān)積等時，一般可將這些元素轉(zhuǎn)化為三角形中的元素或元素間的關(guān)系式，通過解直角三角形來進(jìn)行求解系式，通過解直角三角形來進(jìn)行求解考點考點4. 4. 解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用1.仰角和俯角仰角和俯角在進(jìn)行測量時，在進(jìn)行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角俯角. .鉛鉛直直線線水平線水平線視線視線視線視線仰角仰角俯角俯角坡度（坡比）：坡

8、度（坡比）：坡面的鉛坡面的鉛直高度直高度h h和水平距離和水平距離l l的的比叫做坡度，用字母比叫做坡度，用字母i i表表示，則示，則2.2.坡度、坡角坡度、坡角坡角：坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示表示. .tanhilhltanhil坡度通常寫成坡度通常寫成 的形式的形式. .3 3方向角：如圖方向角：如圖7 732324 4，點，點A A位于點位于點O O的北偏西的北偏西3030方向；點方向；點B B位于點位于點O O的南偏東的南偏東6060方向方向圖圖7 732324 4華師大版華師大版解：原式解：原式=2=2 +1 +12121=1+=1

9、+21(1).(1).計算計算 2sin30 2sin30 + tan45 + tan45 cos60cos6023= =步驟：步驟：一一“代代”二二“算算”(2).(2).若若 ，則銳角，則銳角=01tan33030點撥：本題是由特殊角的三角函數(shù)值求角度，首先點撥：本題是由特殊角的三角函數(shù)值求角度，首先將原式變形為將原式變形為tan= tan= ，從而求得，從而求得的度數(shù)的度數(shù). .33練習(xí)練習(xí)華師大版華師大版C C華師大版華師大版華師大版華師大版變式題變式題 20142014濟(jì)寧濟(jì)寧 如圖如圖7 732321212，在，在ABCABC中，中，AA3030，BB4545，ACAC2 2，則，

10、則ABAB的長為的長為_圖圖7 7323212128 8如圖如圖7 732329 9，一堤壩的坡角，一堤壩的坡角ABCABC6262，坡面長度，坡面長度ABAB2525米米( (圖為橫截面圖為橫截面) )，為了使堤壩更加牢固，一施工隊欲改變堤，為了使堤壩更加牢固，一施工隊欲改變堤壩的坡面，使得坡面的坡角壩的坡面，使得坡面的坡角ADBADB5050，則此時應(yīng)將壩底向外，則此時應(yīng)將壩底向外拓寬多少米？拓寬多少米？( (結(jié)果保留到結(jié)果保留到0.010.01米，參考數(shù)據(jù)：米，參考數(shù)據(jù)：sin62sin620.880.88，cos62cos620.470.47，tan50tan501.20)1.20)圖

11、圖7 732329 9第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用 類型之三直角三角形中仰角與俯角的應(yīng)用類型之三直角三角形中仰角與俯角的應(yīng)用第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用圖圖7 732321414第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用變式題變式題5 520142014襄陽襄陽 如圖如圖7 732321515，在建筑平臺，在建筑平臺CDCD的的頂部頂部C C處，測得大樹處，測得大樹ABAB的頂部的頂部A A的仰角為的仰角為4545，測得大樹，測得大樹ABAB的底部的底部B B的俯角為的俯角為3030，已知平臺，已知平臺CD

12、CD的高度為的高度為5 5 m m，則大樹的高度為，則大樹的高度為_m m( (結(jié)果保留根號結(jié)果保留根號) ) 圖圖7 732321515 類型之三直角三角形中仰角與俯角的應(yīng)用類型之三直角三角形中仰角與俯角的應(yīng)用第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用 類型之四直角三角形中坡度與坡角的應(yīng)用類型之四直角三角形中坡度與坡角的應(yīng)用 考點考點 直角三角形中坡度與坡角的應(yīng)用，直角三角形的性直角三角形中坡度與坡角的應(yīng)用，直角三角形的性質(zhì)質(zhì) 分析分析 可用不同方法解決法一，由坡比可知可用不同方法解決法一，由坡比可知A A3030，則則ABAB2BC2BC；法二，利用坡比先求出；法二，利

13、用坡比先求出ACAC的長，再利用勾股定理求的長，再利用勾股定理求出出AB.AB. 點評點評 坡比就是坡角的正切值，可靈活運用解直角三角形坡比就是坡角的正切值，可靈活運用解直角三角形的方法解決實際問題的方法解決實際問題 答案答案 B B3 3如圖如圖7 732326 6，一河壩的橫斷面為等腰梯形，一河壩的橫斷面為等腰梯形ABCDABCD，壩頂，壩頂寬寬1010米，壩高米，壩高1212米，斜坡米，斜坡ABAB的坡度的坡度i i11.511.5，則壩底，則壩底ADAD的長度的長度為為( () )A A2626米米 B B2828米米 C C3030米米 D D4646米米圖圖7 732326 6圖圖

14、7 732326 6D D 類型之五直角三角形中方位角的應(yīng)用類型之五直角三角形中方位角的應(yīng)用海中有一個小島海中有一個小島P P，它的周圍，它的周圍1818海里內(nèi)有暗礁，漁船海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在點跟蹤魚群由西向東航行，在點A A測得小島測得小島P P在北偏東在北偏東6060方向上，航行方向上，航行1212海里到達(dá)海里到達(dá)B B點，這時測得小島點，這時測得小島P P在北偏東在北偏東4545方向上如果漁船不改變航線繼續(xù)向方向上如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有沒有觸礁危險？請說明理由東航行，有沒有觸礁危險？請說明理由D D分析：作分析：作PDBCPDBC，設(shè)，設(shè)PD=x,PD=

15、x,則則BD=x,AD=x+12,BD=x,AD=x+12,根據(jù)根據(jù)AD= PD,AD= PD,得得x+12= x,x+12= x,求出求出x x的值的值, ,再再比較比較PDPD與與1818的大小關(guān)系的大小關(guān)系. .33練習(xí)練習(xí)解：有觸礁危險解：有觸礁危險. .理由：過點理由：過點P P作作PDACPDAC于于D.D.設(shè)設(shè)PDPD為為x x，在，在RtRtPBDPBD中，中，PBD=90PBD=9045454545BDBDPDPDx,AD=12+x.x,AD=12+x.在在RtRtPADPAD中，中，PADPAD909060603030，,3PDAD 漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，有觸礁危險漁

16、船不改變航線繼續(xù)向東航行，有觸礁危險 ,312xx .18) 13(61312xD D第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用易錯題探究易錯題探究例例1 1如圖如圖7 732322020，我國甲、乙兩艘海監(jiān)執(zhí)法船某天在某小，我國甲、乙兩艘海監(jiān)執(zhí)法船某天在某小島島D D處附近海域巡航，某一時刻這兩艘船分別位于該島正西方向處附近海域巡航，某一時刻這兩艘船分別位于該島正西方向的的A A處和正東方向的處和正東方向的B B處，這時兩船同時接到立即趕往處，這時兩船同時接到立即趕往C C處海域巡處海域巡查的任務(wù)，并測得查的任務(wù)，并測得C C處位于處位于A A處北偏東處北偏東5959方向

17、、位于方向、位于B B處北偏西處北偏西4444方向若甲、乙兩船分別沿方向若甲、乙兩船分別沿ACAC，BCBC方向航行，其平均速度分方向航行，其平均速度分別是別是2020海里海里/ /時，時，1818海里海里/ /時，試估算哪艘船先趕到時，試估算哪艘船先趕到C C處處( (參考數(shù)參考數(shù)據(jù)：據(jù)：coscos59590.520.52，sinsin46460.72)0.72) 第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用圖圖7 732322020第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用 分析分析 運用解直角三角形知識解決實際問題的關(guān)鍵是正確運用解直角三角形知識解

18、決實際問題的關(guān)鍵是正確地把實際問題抽象成幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造直角三角形地把實際問題抽象成幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造直角三角形，通過解直角三角形來解決問題，通過解直角三角形來解決問題第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用 易錯分析易錯分析 不能正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形，混淆特不能正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形，混淆特殊角的三角函數(shù)值殊角的三角函數(shù)值第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用考題回歸教材考題回歸教材熱氣球測樓高熱氣球測樓高教材母題教材母題人教版九下人教版九下P75P

19、75例例4 4熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為3030，看這棟樓底部的俯角為，看這棟樓底部的俯角為6060，熱氣球與樓的水平距離為，熱氣球與樓的水平距離為120 m120 m，這棟樓有多高，這棟樓有多高( (結(jié)果取整數(shù)結(jié)果取整數(shù))?)?第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用 點析點析 通過作垂線將實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題通過作垂線將實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，然后利用解直角三角形的知識來解決，這是解此類問題的常規(guī)，然后利用解直角三角形的知識來解決，這是解此類問題的常規(guī)思路思路第第3232課時課

20、時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用 解析解析 我們知道，在視線與水平線所成的角中，視線在水我們知道，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的是仰角，視線在水平線下方的是俯角因此，平線上方的是仰角，視線在水平線下方的是俯角因此，3030，6060. .在在RtRtABDABD中，中，3030，ADAD120120，所以可以利用解直角三，所以可以利用解直角三角形的知識求出角形的知識求出BDBD；類似地可以求出；類似地可以求出CDCD，進(jìn)而求出，進(jìn)而求出BC.BC.第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用聚焦廣西中考聚焦廣西中考C C第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用第第3232課時課時 解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用第