1、知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四1第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分1.含 參 量 反 常 積 分 的 定 義2.含參量反常積分一致收斂的定義3.含參量反常積分一致收斂的判別方法4.含參量反常積分一致收斂的性質(zhì)主要內(nèi)容主要內(nèi)容知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四2本節(jié)研究形如本節(jié)研究形如adxyxf),(的含參變量廣義積分的含參變量廣義積分(無窮限積分，無界無窮限積分，無界函數(shù)的積分函

2、數(shù)的積分)的連續(xù)性、可微性與可積性。的連續(xù)性、可微性與可積性。)(,),(為瑕點bdxyxfba知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四3.一含參量反常積分及一致收斂定義設(shè)設(shè) 定義在無界區(qū)域定義在無界區(qū)域 若對每一個固定的若對每一個固定的 , 反常積分反常積分 : ( )( , ), , cI xf x y dyxa b記作x都收斂都收斂,則它的值是則它的值是 在區(qū)間在區(qū)間 上取值的函數(shù)上取值的函數(shù), , ba稱為定義在稱為定義在 上的含參量上的含參量 的無窮限反常積分的無窮限反常積分, 或或 x, ba

3、 簡稱為簡稱為含參量反常積分含參量反常積分.( , ),Rx y axb cy , xa b( , )cf x y dy( , )f x y知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四4含參量反常積分一致收斂的定義對于含參量反常積分對于含參量反常積分 與函數(shù)與函數(shù) )(xIcdyyxf),(00 , 0,( ),Ac AxaA Ab 若都有 則稱含參量反常積分則稱含參量反常積分 在在 上上一致收斂一致收斂于于 .( )I x( , )cf x y dy , a b( , )( , ),AAAf x y dyf

4、 x y dy或(1). 含參量無窮廣義積分知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四5(2). 含參量瑕積分( , ) , dcf x y dyxa byd 設(shè)I(x)=對于有奇點，又對每一個x，這個有奇點的瑕積分存在，）無關(guān)），（與若bax)(, 00時，使當)(,00,),(),(dddddyyxfdyyxf或( , ).dcf x y dyab則稱含參瑕積分I(x)=在 ， 上一致收斂知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日

5、星期四日星期四6二.含參量反常積分一致收斂的判別方法 一致收斂的柯西準則:含參量反常積分含參量反常積分 在在 上一致收斂的上一致收斂的cdyyxf),(, ba120, , ,McA AMxa b 充要條件是都有.),(21AAdyyxf知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四7 一致收斂的柯西準則:含參量反常積分含參量反常積分 在在 上一致收斂的上一致收斂的( , )af x y dx , c d120, , ,MaA AMyc d 充要條件是都有21( , ).AAf x y dx知難而進知難而進 ,

6、 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四8魏爾斯特拉斯（魏爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法）判別法|( , )|( ),f x yF xaxcyd , .yc d關(guān)于一致收斂若 收斂，則 ( )( , )aI yf x y dx( )aF x dx設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) ,使得使得( )F x(1).af xydx對于含參量積分I(y)=（ ， ）有知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四9證明證明AAAAAAdxxFdxyxfdx

7、yxf)(| ),(|),(adxxF)(因為 收斂，所以由廣義積分一致收斂的柯西準則，有|)(|, 000AAdxxFAAAaA從而,dcyAAAAdxxFdxyxf)(),(所以 關(guān)于,dcy一致收斂。adxyxf),(知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四10 魏爾斯特拉斯判別法魏爾斯特拉斯判別法:設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) ,使得使得( )F y( , )( ),.f x yF y axb cy ( )cF y dy若收斂，( , ) , .cf x y dya b則I(x)=關(guān)于x上一致收斂(2).cf

8、 xydy對于含參量積分I(x)=（ ， ）有知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四11證明證明( , )| ( , )|( )AAAAAAf x y dyf x y dyF y dy因為 收斂，所以由廣義積分一致收斂的柯西準則，有( )cFy dy000,|( )|AAAcA AAF y dy 從而 , xa b ( , )( )AAAAf x y dyF y dy所以 關(guān)于 , xa b一致收斂。( , )cf x y dy知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含

9、參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四12 阿貝耳判別法:;,),()(上上一一致致收收斂斂在在若若badyyxfic ( ) , ,( , ),iixa bg x yyx 函數(shù)為 的單調(diào)函數(shù), 且對參量則含參量反常積分 cdyyxgyxf),(),(.,上上一一致致收收斂斂在在ba( , ) , g x ya b在上一致有界知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四13.,上一致收斂在ba則含參量反常積分( ) , ,( ), ( , )0,iixa bg xyyx g x y 函數(shù)關(guān)于

10、是單調(diào)遞減 且當時對參量一致地收斂于cdyyxgyxf),(),( 狄利克雷判別法狄利克雷判別法; , ,xa b對參數(shù) 在上一致有界( ),( , )NciNcf x y dy若含參量反常積分知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四14三、含參量反常積分一致收斂的性質(zhì)1. 連續(xù)性定理( , ) , ,)f x ya bc設(shè)在上連續(xù),( )( , ) , ,( )( , ) , .ccI xf x y dya bI xf x y dya b+,在上一致收斂 則函數(shù)在上連續(xù)( )( , ) , ,aI yf

11、 x y dxc d+a在上一致收斂 則函數(shù)I(y)=f(x,y)dx在c,d上連續(xù).( , )( , )|,f x yx yaxcyd 設(shè)在上連續(xù)(1)(2)知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四15:注連續(xù)性定理說明,在一致收斂的條件下,極限運算與積分運算可以交換順序000lim( , )( , )lim ( , )cccx xx xf x y dyf x y dyf x y dy知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期

12、四日星期四16證明證明:因為 在 內(nèi)一致收斂，所以adxyxf),(,dc000, , ,|( , )|AAaAAyc df x y dx 因此，當 時，, dcyAdxyyxf),(又 在 上連續(xù)，所以作為 的函數(shù)在 連續(xù)，于是),(yxf,;,dcAaAadxyxf),(y,dc(就就(1)的情況的情況)知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四17,|, 0, 0時當yAaAadxyxfdxyyxf),(),(從而，當 時，有 | y3),(),(),(),(| )()(|AAAaAadxyxfdxy

13、yxfdxyxfdxyyxfyIyyI定理證畢。知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四182. 積分順序交換定理adcdcadyyxfdxdxyxfdy),(),(設(shè) 在 上連續(xù)， 關(guān)于在 上一致收斂，則 在可積，并且),(yxf,;,dcay,dcadxyxf),(adxyxfyI),()(,dc即積分順序可以交換即積分順序可以交換.證明證明(從略從略)(1).af xydx對于含參量積分I(y)=（ ， ）有可積性定理可積性定理知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積

14、分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四19(2).cf xydy對于含參量積分I(x)=（ ， ）有 可積性定理可積性定理若上連續(xù)在區(qū)域設(shè)，cbayxf),),(cdyyxfxI),()(且上可積在則上一致收斂在，baxIba,)(,( , )( , ) .bbaccadxf x y dydyf x y dx 知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四203. 積分號下求導的定理aadxyxfydxyxfdyd),(),(設(shè) 在 上連續(xù)， 收斂， 關(guān)于 在 上一致收斂，則),(),(yx

15、fyxfy,;,dcay,dcadxyxf),(aydxyxf),(adxyxfyI),()(在 可導，且,dc即求導和積分順序可以交換即求導和積分順序可以交換.可微性定理可微性定理(1).af xydx對于含參量積分I(y)=（ ， ）有知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四21可微性定理可微性定理若上連續(xù)在區(qū)域與設(shè)，cbayxfyxfx),),(),(,上收斂在bacdyyxfxI),()(且上可微在則致收斂，baxI,)(,cxdyyxf),(上一在, ba.),()(cxdyyxfxI.),()

16、,(dyyxfxdyyxfdxdcc(2).cf xydy對于含參量積分I(x)=（ ， ）有知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四22證明證明:aydxyxfy),()(因為 在 連續(xù)，由連續(xù)性定理),(yxfy,;,dca在 連續(xù)，,dc 沿區(qū)間 積分 ，得到)(,dycyc)(y( )( , )( , )( , )( , )( )( )yyyyyccaacaay dydyfx y dxdxfx y dyf x y dxf x c dxI yI cadxyxfdydy),()(在上式兩端對 求導，得

17、y定理證畢。(就就(1)的情況的情況)知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四23知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四24:1例:證明,111cos22xxxyRy有由于收斂而反常積分021xdx故有魏爾斯特拉斯判別法知20cos1xydxx證明反常積分證明反常積分20cos1xydxx在在 R上一致收斂上一致收斂.含參量反常積分含參量反常積分在在R上一致收斂上一致收斂.知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十

18、八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四252:例:證收斂由于反常積分dxxx0sin), 0,(上一致收斂它在對于參量當然dy，單調(diào)且對任何對每個函數(shù), 0),(dxeyxgxy0,0( , )1.xyyd xg x ye都有（有界）由知,含參阿貝耳判別法量反常積分0sinxyxedxx證明含參量反常積分證明含參量反常積分在在0,d上一致收斂上一致收斂. 0sinxyxedxx在在0,d上一致收斂上一致收斂. 知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四263

19、:例:證明.),22axuxeeau有收斂而無窮積分02dxeax魏爾斯特拉故有斯判別法知20uxedx證明含參量反常積分證明含參量反常積分在在 上一致收斂上一致收斂 . ),a)0( a含參量反常積分含參量反常積分 20uxedx在在 上一致收斂上一致收斂 . ),a)0( a知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四27例例4 證明證明證明: （1）用分段處理的方法. |sin|2Ayxydxe|sin|2Aytdteyy02|sin|dteyyt|sin|2yy()知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不

20、摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四28因為 0sinlim0yyy|sin|2Ayxydxesin|(1)2yy22|sin|yxxeyey又知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四292|sin|2yxAeydxy ，（ ）|sin|2Ayxydxe), 0 y知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四30例例5 計算積分 0) , 0 ( , sinsin

21、abpdxxaxbxeIpx解解 00sinsincosbpxpxabxaxIedxexydy dxxsinsincosbabxaxxydyx0cosbpxadxexydy220cosbbpxaapdyexydxdypyarctanarctanbapp知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四31例例 6 利用積分號下求導求積分 012)()(nnaxdxaI解解 因為 10212)(1)(1nnaxax00 aa012)()(nnaxdxaI因為 aaxaaxdx2arctan1|002故 02axdxdad022)(axdx2/ 3)21(2a知難而進知難而進 , 無堅不摧無堅不摧第十八章第十八章 含參變量的反常積分含參變量的反常積分2022年年3月月17日星期四日星期四320222axdxdad032)(2axdx2/5)23)(21(2a由數(shù)學歸納法易證02axdxdadnn012)(!) 1(nnaxdxn2122!)!12() 1(2nnnan于是 012)()(nnaxdxaI212!)!2