1、初中常見(jiàn)輔助線作法任何幾何題目都需分析題目條件和結(jié)論找到解題思路，本講從常見(jiàn)的條件和結(jié)論出發(fā)說(shuō)明50種輔助線作法，分三角形部分、四邊形部分、解直角三角形部分、圓。每種輔助線作法均配備了例題和練習(xí)。三角形部分1在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來(lái)，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)造三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再利用三邊關(guān)系定理及不等式性質(zhì)證題.例：如圖，已知D、E為ABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證：ABACBDDECE. 證法（一）：將DE向兩邊延長(zhǎng)，分別交AB、AC于M、N 在AMN中， AM ANMDDENE 在BDM中，MBMDBD 在CEN中，CNNECE 得AMANMB

2、MDCNNEMDDENEBDCEABACBDDECE證法（二）延長(zhǎng)BD交AC于F，延長(zhǎng)CE交BF于G,在ABF和GFC和GDE中有，ABAFBDDGGFGFFCGECEDGGEDE有ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDECE注意：利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時(shí)，常通過(guò)引輔助線，把求證的量（或與求證有關(guān)的量）移到同一個(gè)或幾個(gè)三角形中去然后再證題.練習(xí)：已知：如圖P為ABC內(nèi)任一點(diǎn)， 求證：(ABBCAC)PAPBPCABBCAC2.在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來(lái)，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角

3、形外角的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題.例：已知D為ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：BDCBAC證法（一）：延長(zhǎng)BD交AC于E，BDC是EDC 的外角，BDCDEC同理：DECBACBDCBAC證法（二）：連結(jié)AD，并延長(zhǎng)交BC于FBDF是ABD的外角，BDFBAD同理CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC3.有角平分線時(shí)常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形. 例：已知，如圖，AD為ABC的中線且1 = 2，3 = 4，求證：BECFEF證明：在DA上截取DN = DB，連結(jié)NE、NF，則DN = DC 在BDE和NDE中，DN = DB1 = 2ED = EDBDE

4、NDEBE = NE同理可證：CF = NF在EFN中，ENFNEFBECFEF4. 有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍延長(zhǎng)此線段構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為ABC的中線，且1 = 2，3 = 4，求證：BECFEF證明：延長(zhǎng)ED到M，使DM = DE，連結(jié)CM、FMBDE和CDM中， BD = CD1 = 5ED = MDBDECDMCM = BE又1 = 2，3 = 4 123 4 = 180o3 2 = 90o即EDF = 90oFDM = EDF = 90oEDF和MDF中ED = MDFDM = EDFDF = DFEDFMDFEF = MF在CMF中，CFCM MFBEC

5、FEF（此題也可加倍FD，證法同上） 5. 在三角形中有中線時(shí)，常加倍延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為ABC的中線，求證：ABAC2AD證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE = AD，連結(jié)BEAD為ABC的中線BD = CD在ACD和EBD中BD = CD 1 = 2AD = EDACDEBDABE中有ABBEAEABAC2AD6.截長(zhǎng)補(bǔ)短作輔助線的方法截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等.這兩種方法統(tǒng)稱截長(zhǎng)補(bǔ)短法.當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時(shí)用此種方法：aba±b = ca±b = c±

6、d例：已知，如圖，在ABC中，ABAC，1 = 2，P為AD上任一點(diǎn)，求證：ABACPBPC證明：截長(zhǎng)法：在AB上截取AN = AC，連結(jié)PN在APN和APC中，AN = AC1 = 2AP = APAPNAPCPC = PNBPN中有PBPCBNPBPCABAC補(bǔ)短法：延長(zhǎng)AC至M，使AM = AB，連結(jié)PM在ABP和AMP中AB = AM 1 = 2AP = APABPAMPPB = PM又在PCM中有CM PMPCABACPBPC練習(xí)：1.已知，在ABC中，B = 60o,AD、CE是ABC的角平分線,并且它們交于點(diǎn)O求證：AC = AECD2.已知，如圖，ABCD1 = 2 ,3 =

7、4. 求證：BC = ABCD 7.條件不足時(shí)延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形.例：已知AC = BD，ADAC于A，BCBD于B求證：AD = BC證明：分別延長(zhǎng)DA、CB交于點(diǎn)EADAC BCBDCAE = DBE = 90o在DBE和CAE中DBE =CAEBD = ACE =EDBECAEED = EC，EB = EAEDEA = EC EBAD = BC8.連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形來(lái)解決問(wèn)題.例：已知，如圖，ABCD，ADBC 求證：AB = CD 證明：連結(jié)AC（或BD）ABCD，ADBC1 = 2 在ABC和CDA中，1 = 2 AC = CA3 = 4 ABCCDAAB

8、 = CD練習(xí)：已知，如圖，AB = DC，AD = BC，DE = BF，求證：BE = DF9.有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)?？蓺w結(jié)為“垂直加平分出等腰三角形”.例：已知，如圖，在RtABC中，AB = AC，BAC = 90o，1 = 2 ，CEBD的延長(zhǎng)線于E求證：BD = 2CE證明：分別延長(zhǎng)BA、CE交于FBECFBEF =BEC = 90o在BEF和BEC中1 = 2 BE = BEBEF =BECBEFBECCE = FE =CFBAC = 90o , BECFBAC = CAF = 90o 1BDA = 90o1BFC = 90oBDA = BFC在ABD和A

9、CF中BAC = CAFBDA = BFCAB = ACABDACFBD = CFBD = 2CE練習(xí)：已知，如圖，ACB = 3B，1 =2,CDAD于D，求證：ABAC = 2CD10.當(dāng)證題有困難時(shí)，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點(diǎn)連接起來(lái)構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD，求證：A = D證明：（連結(jié)BC，過(guò)程略）11.當(dāng)證題缺少線段相等的條件時(shí)，可取某條線段中點(diǎn)，為證題提供條件.例：已知，如圖，AB = DC，A = D 求證：ABC = DCB 證明：分別取AD、BC中點(diǎn)N、M，連結(jié)NB、NM、NC（過(guò)程略）12.有角平分線時(shí)，常過(guò)

10、角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等證題.例：已知，如圖，1 = 2 ，P為BN上一點(diǎn)，且PDBC于D，ABBC = 2BD，求證：BAPBCP = 180o證明：過(guò)P作PEBA于EPDBC，1 = 2 PE = PD在RtBPE和RtBPD中BP = BPPE = PDRtBPERtBPDBE = BDABBC = 2BD，BC = CDBD，AB = BEAEAE = CDPEBE，PDBCPEB =PDC = 90o在PEA和PDC中PE = PDPEB =PDCAE =CDPEAPDCPCB = EAPBAPEAP = 180oBAPBCP = 180o練習(xí)

11、：1.已知，如圖，PA、PC分別是ABC外角MAC與NCA的平分線，它們交于P，PDBM于M，PFBN于F，求證：BP為MBN的平分線2. 已知，如圖，在ABC中，ABC =100o，ACB = 20o，CE是ACB的平分線，D是AC上一點(diǎn)，若CBD = 20o，求CED的度數(shù)。13.有等腰三角形時(shí)常用的輔助線作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線例：已知，如圖，AB = AC，BDAC于D，求證：BAC = 2DBC證明：（方法一）作BAC的平分線AE，交BC于E，則1 = 2 = BAC又AB = ACAEBC2ACB = 90oBDACDBCACB = 90o2 = DBCBAC = 2DB

12、C（方法二）過(guò)A作AEBC于E（過(guò)程略）（方法三）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE（過(guò)程略）有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，D為BC中點(diǎn)，DEAB于E，DFAC于F，求證：DE = DF證明：連結(jié)AD.D為BC中點(diǎn)，BD = CD又AB =ACAD平分BACDEAB，DFACDE = DF將腰延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造直角三角形解題例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，在BA延長(zhǎng)線和AC上各取一點(diǎn)E、F，使AE = AF，求證：EFBC證明：延長(zhǎng)BE到N，使AN = AB,連結(jié)CN,則AB = AN = ACB = ACB, ACN = ANCBACBACNANC = 180

13、o2BCA2ACN = 180oBCAACN = 90o即BCN = 90oNCBCAE = AFAEF = AFE又BAC = AEF AFEBAC = ACN ANCBAC =2AEF = 2ANCAEF = ANCEFNCEFBC常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線例：已知，如圖，在ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延長(zhǎng)線上，且BD = CE，連結(jié)DE交BC于F求證：DF = EF證明：（證法一）過(guò)D作DNAE，交BC于N，則DNB = ACB，NDE = E，AB = AC，B = ACBB =DNBBD = DN又BD = CE DN = EC在DNF和ECF中1 =

14、2NDF =EDN = EC DNFECFDF = EF（證法二）過(guò)E作EMAB交BC延長(zhǎng)線于M,則EMB =B（過(guò)程略）常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線例：已知，如圖，ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延長(zhǎng)線上，且AD = AE，連結(jié)DE求證：DEBC證明：（證法一）過(guò)點(diǎn)E作EFBC交AB于F，則AFE =BAEF =CAB = ACB =CAFE =AEFAD = AEAED =ADE又AFEAEFAEDADE = 180o2AEF2AED = 90o 即FED = 90o DEFE又EFBCDEBC（證法二）過(guò)點(diǎn)D作DNBC交CA的延長(zhǎng)線于N，（過(guò)程略）（證法三）過(guò)點(diǎn)A作AM

15、BC交DE于M，（過(guò)程略）常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形-等邊三角形例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，BAC = 80o ,P為形內(nèi)一點(diǎn)，若PBC = 10o PCB = 30o 求PAB的度數(shù).解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結(jié)CE則BAE =ABE = 60oAE = AB = BEAB = ACAE = AC ABC =ACBAEC =ACEEAC =BACBAE = 80o 60o = 20oACE = (180oEAC)= 80oACB= (180oBAC)= 50oBCE =ACEACB = 80o50o = 30oPCB = 30oPCB = BCEABC =A

16、CB = 50o, ABE = 60oEBC =ABEABC = 60o50o =10oPBC = 10oPBC = EBC在PBC和EBC中PBC = EBCBC = BCPCB = BCEPBCEBCBP = BEAB = BEAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10o = 40oPAB = (180oABP)= 70o解法二：以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。解法三：以BC為一邊作等邊三角形BCE，連結(jié)AE,則EB = EC = BC，BEC =EBC = 60oEB = ECE在BC的中垂線上同理A在BC的中垂線上EA所在的直線是BC的中垂線EABCAEB

17、 = BEC = 30o =PCB由解法一知：ABC = 50oABE = EBCABC = 10o =PBCABE =PBC,BE = BC,AEB =PCBABEPBCAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10o = 40oPAB = (180oABP) = (180o40o)= 70o14.有二倍角時(shí)常用的輔助線構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角例：已知，如圖，在ABC中，1 = 2，ABC = 2C，求證：ABBD = AC證明：延長(zhǎng)AB到E，使BE = BD，連結(jié)DE則BED = BDEABD =EBDEABC =2EABC = 2CE = C

18、在AED和ACD中E = C1 = 2AD = ADAEDACDAC = AEAE = ABBEAC = ABBE即ABBD = AC平分二倍角例：已知，如圖，在ABC中，BDAC于D，BAC = 2DBC求證：ABC = ACB證明：作BAC的平分線AE交BC于E，則BAE = CAE = DBCBDACCBD C = 90oCAEC= 90o AEC= 180oCAEC= 90oAEBCABCBAE = 90oCAEC= 90oBAE = CAEABC = ACB加倍小角例：已知，如圖，在ABC中，BDAC于D，BAC = 2DBC求證：ABC = ACB證明：作FBD =DBC,BF交A

19、C于F（過(guò)程略）15.有垂直平分線時(shí)常把垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連結(jié)起來(lái).例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，BAC = 120o，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F，交AB于E求證：BF =FC證明：連結(jié)AF，則AF = BFB =FABAB = ACB =CBAC = 120oB =CBAC =(180oBAC) = 30oFAB = 30oFAC =BACFAB = 120o30o =90o又C = 30oAF = FCBF =FC練習(xí)：已知，如圖，在ABC中，CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)D，DMAB于M，DNAC延長(zhǎng)線于N求證：BM = CN16. 有垂

20、直時(shí)常構(gòu)造垂直平分線.例：已知，如圖，在ABC中，B =2C，ADBC于D求證：CD = ABBD證明：（一）在CD上截取DE = DB，連結(jié)AE，則AB = AEB =AEBB = 2CAEB = 2C又AEB = CEACC =EACAE = CE又CD = DECECD = BDAB（二）延長(zhǎng)CB到F，使DF = DC，連結(jié)AF則AF =AC（過(guò)程略）17.有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線.例：已知，如圖，在ABC中，BC = 2AB, ABC = 2C,BD = CD求證：ABC為直角三角形證明：過(guò)D作DEBC，交AC于E，連結(jié)BE，則BE = CE，C =EBCABC = 2CABE =EB

21、CBC = 2AB，BD = CDBD = AB在ABE和DBE中AB = BDABE =EBCBE = BEABEDBEBAE = BDEBDE = 90oBAE = 90o即ABC為直角三角形18.當(dāng)涉及到線段平方的關(guān)系式時(shí)常構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理證題.例：已知，如圖，在ABC中，A = 90o，DE為BC的垂直平分線求證：BE2AE2 = AC2證明：連結(jié)CE，則BE = CEA = 90o AE2AC2 = EC2AE2AC2= BE2BE2AE2 = AC2練習(xí)：已知，如圖，在ABC中，BAC = 90o，AB = AC，P為BC上一點(diǎn)求證：PB2PC2= 2PA219.條件中

22、出現(xiàn)特殊角時(shí)常作高把特殊角放在直角三角形中.例：已知，如圖，在ABC中，B = 45o，C = 30o，AB =，求AC的長(zhǎng). 解：過(guò)A作ADBC于DBBAD = 90o，B = 45o，B = BAD = 45o，AD = BDAB2 = AD2BD2，AB =AD = 1C = 30o，ADBCAC = 2AD = 2四邊形部分20.有平行線時(shí)常作平行線構(gòu)造平行四邊形例：已知，如圖，RtABC，ACB = 90o，CDAB于D，AE平分CAB交CD于F，過(guò)F作FHAB交BC于H求證：CE = BH證明：過(guò)F作FPBC交AB于P，則四邊形FPBH為平行四邊形B =FPA，BH = FPACB

23、 = 90o，CDAB5CAB = 45o，BCAB = 90o5 =B5 =FPA又1 =2，AF = AFCAFPAFCF = FP4 =15，3 =2B3 =4CF = CECE = BH練習(xí)：已知，如圖，ABEFGH，BE = GC求證：AB = EFGH21.有以平行四邊形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)常延長(zhǎng)此線段. 例：已知，如圖，在ABCD中，AB = 2BC，M為AB中點(diǎn)求證：CMDM證明：延長(zhǎng)DM、CB交于N四邊形ABCD為平行四邊形AD = BC，ADBCA = NBA ADN =N又AM = BMAMDBMNAD = BNBN = BCAB = 2BC，AM = BMBM = B

24、C = BN1 =2，3 =N123N = 180o，13 = 90oCMDM22.有垂直時(shí)可作垂線構(gòu)造矩形或平行線.例：已知，如圖，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，且BE = ED，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PFBE于F，PGAD于G求證：PFPG = AB證明：證法一：過(guò)P作PHAB于H，則四邊形AHPG為矩形AH = GP PHADADB =HPBBE = DEEBD = ADBHPB =EBD又PFB =BHP = 90oPFBBHPHB = FPAHHB = PGPF即AB = PGPF證法二：延長(zhǎng)GP交BC于N，則四邊形ABNG為矩形，（證明略）23.直角三角形常用輔助線方法：作斜邊上

25、的高例：已知，如圖,若從矩形ABCD的頂點(diǎn)C作對(duì)角線BD的垂線與BAD的平分線交于點(diǎn)E求證：AC = CE證明：過(guò)A作AFBD，垂足為F，則AFEGFAE = AEG四邊形ABCD為矩形BAD = 90o OA = ODBDA =CADAFBDABDADB = ABDBAF = 90oBAF =ADB =CADAE為BAD的平分線BAE =DAEBAEBAF =DAEDAC即FAE =CAECAE =AEGAC = EC作斜邊中線，當(dāng)有下列情況時(shí)常作斜邊中線：有斜邊中點(diǎn)時(shí)例：已知，如圖，AD、BE是ABC的高， F是DE的中點(diǎn)，G是AB的中點(diǎn)求證：GFDE證明：連結(jié)GE、GDAD、BE是ABC

26、的高，G是AB的中點(diǎn)GE = AB，GD = ABGE = GDF是DE的中點(diǎn)GFDE有和斜邊倍分關(guān)系的線段時(shí)例：已知，如圖，在ABC中，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DABA于A，AC = BD求證：ACB = 2B證明：取BD中點(diǎn)E，連結(jié)AE，則AE = BE = BD1 =BAC = BDAC = AEACB =2 2 =1B2 = 2BACB = 2B24.有正方形一邊中點(diǎn)時(shí)常取另一邊中點(diǎn).例：已知,如圖，正方形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，MNMD，BN平分CBE并交MN于N求證：MD = MN證明：取AD的中點(diǎn)P，連結(jié)PM，則DP = PA =AD四邊形ABCD為正方形AD = AB, A

27、 =ABC = 90o1AMD = 90o，又DMMN2AMD = 90o1 =2M為AB中點(diǎn)AM = MB = ABDP = MB AP = AMAPM =AMP = 45oDPM =135oBN平分CBECBN = 45oMBN =MBCCBN = 90o45o= 135o即DPM =MBNDPMMBNDM = MN注意：把M改為AB上任一點(diǎn)，其它條件不變，結(jié)論仍然成立。練習(xí)：已知，Q為正方形ABCD的CD邊的中點(diǎn)，P為CQ上一點(diǎn)，且AP = PCBC求證：BAP = 2QAD25.利用正方形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換 旋轉(zhuǎn)變換就是當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時(shí)，可以把圖形的某部分繞相等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

28、到另一位置的引輔助線方法. 旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通過(guò)旋轉(zhuǎn)集中起來(lái)，從而為證題創(chuàng)造必要的條件. 旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中.例：已知，如圖，在ABC中，AB = AC，BAC = 90o，D為BC邊上任一點(diǎn)求證：2AD2 = BD2CD2證明：把ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o得ACEBD = CE B = ACEBAC = 90oDAE = 90oDE2 = AD2AE2 = 2AD2BACB = 90oDCE = 90oCD2CE2 = DE22AD2 = BD2CD2 注意：把ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o 也可，方法同上。練習(xí)：已知，如圖，在正方形ABCD中，E為

29、AD上一點(diǎn)，BF平分CBE交CD于F求證：BE = CFAE26.有以正方形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常把這條線段延長(zhǎng)，構(gòu)造全等三角形.例：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是CD、DA的中點(diǎn)，BE與CF交于P點(diǎn)求證：AP = AB 證明：延長(zhǎng)CF交BA的延長(zhǎng)線于K四邊形ABCD為正方形BC = AB = CD = DA BCD =D =BAD = 90o E、F分別是CD、DA的中點(diǎn)CE = CD DF = AF = ADCE = DFBCECDFCBE =DCF BCFDCF = 90o BCFCBE = 90oBECF又D =DAK = 90o DF = AF 1 =2CDFKAFCD

30、= KABA = KA又BECFAP = AB練習(xí)：如圖，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ = QC，P在BC上，且AP = CDCP求證：AQ平分DAP27.從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線，把梯形分成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形.例：已知，如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，AD = 3，AB = 4，BC = 7求B的度數(shù)解：過(guò)A作AECD交BC于E，則四邊形AECD為平行四邊形AD = EC， CD = AEAB = CD = 4, AD = 3, BC = 7 BE = AE = AB = 4ABE為等邊三角形B = 60o 28.從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)

31、化成一個(gè)矩形和兩個(gè)三角形.例：已知，如圖，在梯形ABCD中，ADBC，AB = AC，BAC = 90o，BD = BC，BD交AC于O求證：CO = CD證明：過(guò)A、D分別作AEBC，DFBC，垂足分別為E、F則四邊形AEFD為矩形AE = DFAB = AC，AEBC，BAC = 90o，AE = BE = CE =BC，ACB = 45o BC = BDAE = DF = BD又DFBCDBC = 30oBD = BCBDC =BCD = (180oDBC)= 75oDOC =DBCACB = 30o45o = 75oBDC =DOCCO = CD29.從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行

32、線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形.例：已知，如圖，等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC = 10，DEBC于E求DE的長(zhǎng).解：過(guò)D作DFAC，交BC的延長(zhǎng)線于F，則四邊形ACFD為平行四邊形AC = DF， AD = CF四邊形ABCD為等腰梯形AC = DBBD = FDDEBC BE = EF =BF=(BCCF) =(BCAD)=×10 = 5ACDF，BDACBDDFBE = FEDE = BE = EF = BF = 5答：DE的長(zhǎng)為5.30.延長(zhǎng)梯形兩腰使它們交于一點(diǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形.例：已知，如圖，在四邊形ABCD中，有AB = DC，B =C，ADB

33、C求證：四邊形ABCD等腰梯形證明：延長(zhǎng)BA、CD，它們交于點(diǎn)EB =CEB = EC又AB = DCAE =DE EAD =EDAEEADEDA = 180o BCE = 180o EAD =BADBCADBC，B =C四邊形ABCD等腰梯形（此題還可以過(guò)一頂點(diǎn)作AB或CD的平行線；也可以過(guò)A、D作BC的垂線）31.有梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)此中點(diǎn)作另一腰的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形.例：已知,如圖，梯形ABCD中，ADBC，E為CD中點(diǎn)，EFAB于F求證：S梯形ABCD = EF·AB證明：過(guò)E作MNAB，交AD的延長(zhǎng)線于M，交BC于N，則四邊形ABNM為平行四邊形EFABSAB

34、NM = AB·EFADBCM =MNC 又DE = CE 1 =2CENDEMSCEN = SDEMS梯形ABCD = S五邊形ABNEDSCEN = S五邊形ABNEDSDEM = S梯形ABCD = EF·AB32. 有梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，也常把一底的端點(diǎn)與中點(diǎn)連結(jié)并延長(zhǎng)與另一底的延長(zhǎng)線相交，把梯形轉(zhuǎn)換成三角形.例：已知,如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，ABAD于A，DE = EC = BC求證：AEC = 3DAE證明：連結(jié)BE并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于NADBC3 =N又1 =2 ED = ECDENCEBBE = EN DN = BCABADAE = EN = BE

35、N =DAEAEB =NDAE = 2DAEDE = BC BC = DNDE = DNN =11 =2 N =DAE2 =DAEAEB2 = 2DAEDAE即AEC = 3DAE33.梯形有底的中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)中點(diǎn)做兩腰的平行線.例：已知,如圖，梯形ABCD中，ADBC，ADBC，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，且EFBC求證：B =C證明：過(guò)E作EMAB, ENCD,交BC于M、N，則得ABME，NCDEAE = BM，AB= EM，DE = CN，CD = NEAE = DEBM = CN又BF = CFFM = FN又EFBCEM = EN1 =2ABEM， CDEN1 =B 2 =CB =

36、 C34.有線段中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)中點(diǎn)作平行線，利用平行線等分線段定理的推論證題.例:已知：ABC中，D為AB中點(diǎn)，E為BC的三等分點(diǎn)，（BECE）AE、CD交于點(diǎn)F 求證：F為CD的中點(diǎn)證明：過(guò)D作DNAE交BC于ND為AB中點(diǎn)BN = EN又E為BC的三等分點(diǎn)BN = EN = CEDNAEF為CD的中點(diǎn)35.有下列情況時(shí)常作三角形中位線.有一邊中點(diǎn)；有線段倍分關(guān)系；有兩邊（或兩邊以上）中點(diǎn).例：如圖，AE為正方形ABCD中BAC的平分線，AE分別交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O求證：OF =CE證明：取AE的中點(diǎn)N，連結(jié)ON,則ON為ACE的中位線ONCE，ON =CE6 =ONE四邊

37、形ABCD為正方形3 =4 = 45o5 =31, 6 =421 =2 5 =66 =ONEONE =5ON = OFOF =CE36.有下列情況時(shí)常構(gòu)造梯形中位線有一腰中點(diǎn)有兩腰中點(diǎn)涉及梯形上、下底和例1：已知,如圖，梯形ABCD中，ADBC，DAB = 90o ,E為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE、BE求證：AE = BE 證明：取AB的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，則EFADDAB =EFB =90oEFABEF為AB的中垂線AE = BE例2：從ABCD的頂點(diǎn)ABCD向形外的任意直線MN引垂線AA、BB、CC、DD，垂足分別為A、B、C、D求證：AACC = BBDD證明：連結(jié)AC、BD，它們交于點(diǎn)O，過(guò)O

38、作OEMN于E，則AAOECC四邊形ABCD為平行四邊形AO = COAE = CE AACC = 2OE同理可證：BBDD = 2OEAACC = BBDD相似形和解直角三角形部分37.當(dāng)圖形中有叉線（基本圖形如下）時(shí)，常作平行線.例：已知，如圖，AD為ABC的中線，F(xiàn)為AB上任一點(diǎn)，CF交AD于E求證：證明：過(guò)F作FNBC交AD于N 又CD = BD38.有中線時(shí)延長(zhǎng)中線（有時(shí)也可在中線上截取線段）構(gòu)造平行四邊形.例：AD為ABC的中線，E為AD上一點(diǎn)，BE、CE的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于點(diǎn)M、N求證：MNBC 證明：延長(zhǎng)AD至F，使DF = DE，連結(jié)BF、CF，則四邊形BFCE為平行四

39、邊形BFCN CFBM MNBC39.當(dāng)已知或求證中，涉及到以下情況時(shí)，常構(gòu)造直角三角形.有特殊角時(shí)，如有30o、45o、60o、120o、135o角時(shí).涉及有關(guān)銳角三角函數(shù)值時(shí).構(gòu)造直角三角形經(jīng)常通過(guò)作垂線來(lái)實(shí)現(xiàn).例：一輪船自西向東航行，在A處測(cè)得某島C在北偏東60o的方向上，船前進(jìn)8海里后到達(dá)B，再測(cè)C島在北偏東30的方向上，問(wèn)船再前進(jìn)多少海里與C島最近？最近距離是多少？解：由題可作圖，且CAB = 60o ，ABC = 120o ，AB = BC = 8（海里）在RtABC中，BC = 8，CBD = 60o ，BD = BC·cos60o = 8×= 4（海里）CD

40、 = BC·sin60o = 8×= 4（海里）答：船再前進(jìn)4海里就與C最近，最近距離是4海里.倍.圓 部 分40.圓中解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)，常常需要作出圓心到弦的垂線段（即弦心距）這一輔助線，一是利用垂徑定理得到平分弦的條件，二是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題.例：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D二點(diǎn).求證：AC = BD證明:過(guò)O作OEAB于EO為圓心，OEABAE = BE CE = DEAC = BD練習(xí)：如圖，AB為O的弦，P是AB上的一點(diǎn)，AB = 10cm，PA = 4cm.求O的半徑.41.有等弧或證弧等時(shí)常連等弧所對(duì)的弦或作等弧

41、所對(duì)的圓心角.例：如圖，已知AB是O的直徑，M、N分別是AO、BO的中點(diǎn)，CMAB,DNAB,求證： 證明：（一）連結(jié)OC、ODM、N分別是AO、BO的中點(diǎn)OM = AO、ON = BOOA = OBOM = ONCMOA、DNOB、OC = ODRtCOMRtDONCOA = DOB（二）連結(jié)AC、OC、OD、BDM、N分別是AO、BO的中點(diǎn)AC = OC BD = ODOC = ODAC = BD42.有弦中點(diǎn)時(shí)常連弦心距例：如圖，已知M、N分別是O 的弦AB、CD的中點(diǎn),AB = CD，求證：AMN = CNM證明：連結(jié)OM、ONO為圓心，M、N分別是弦AB、CD的中點(diǎn)OMAB ONCDAB = CDOM = ONOMN = ONMAMN = 90oOMN CNM = 90oONMAMN =CNM43.證明弦相等或已知弦相等時(shí)常作弦心距.例：如圖，已知O1與O2為等圓，P為O1、O2的中點(diǎn)，過(guò)P的直線分別交O1、O2于A、C、D、B.求證：AC = BD證明：過(guò)O1作O1MAB于M,過(guò)O2作O2NAB于N，則O1MO2NO1P = O2PO1M = O2NAC = BD44.有弧中點(diǎn)（或證明是弧中點(diǎn)）時(shí)，常有以下幾種引輔助線的方法：連結(jié)過(guò)弧中點(diǎn)的半徑連結(jié)等弧所對(duì)的弦連