1、初中數(shù)學(xué)全等三角形解答題二專題訓(xùn)練含答案詳情姓名：_ 班級(jí)：_考號(hào)：_一、解答題（共9題）1、 如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F（1）求證：AE=EF；（2）如圖2，若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn)”，其余條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？；（填“成立”或“不成立”）；（3）如圖3，若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC延長線上的一點(diǎn)”，其余條件仍不變，那么結(jié)論AE=EF是否成立呢？若成立請證明，若不成立說明理由2、 如圖，已知AEFE，垂足為E，且E是DC的中點(diǎn)(1)如圖，

2、如果FCDC，ADDC，垂足分別為C，D，且ADDC，判斷AE是FAD的角平分線嗎？(不必說明理由)(2)如圖，如果(1)中的條件“ADDC”去掉，其余條件不變，(1)中的結(jié)論仍成立嗎？請說明理由；(3)如圖，如果(1)中的條件改為“ADFC”，(1)中的結(jié)論仍成立嗎？請說明理由3、 如圖 1， 已知 A（ ， 0），B（0， ） 分別為兩坐標(biāo)軸上的點(diǎn) ， 且 、 滿足 ， OCOA=13 （ 1） 求 A、B、C 三點(diǎn)的坐標(biāo) ； （ 2） 若 D（1，0）， 過點(diǎn) D 的直線分別交 AB、BC 于 E、F 兩點(diǎn) ， 設(shè) E、F 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 當(dāng) BD 平分 BEF 的面積時(shí) ， 求 的

3、值 ； （ 3） 如圖 2， 若 M（2，4）， 點(diǎn) P 是 軸上 A 點(diǎn)右側(cè)一動(dòng)點(diǎn) ， AHPM 于點(diǎn) H， 在 HM 上取點(diǎn) G， 使 HG=HA， 連接 CG， 當(dāng)點(diǎn) P 在點(diǎn) A 右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí) ， CGM 的度數(shù)是否改變？若不變 ， 請求其值 ； 若改變 ， 請說明理由 4、 （閱讀理解）截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一長邊相等，從而解決問題 （ 1 ）如圖 ， 是等邊三角形，點(diǎn) 是邊 下方一點(diǎn)，連結(jié) ，且 ，探索線段 之間的數(shù)量關(guān)系 解題思路：延長 到點(diǎn) ，使 ，連接 ，根據(jù) ，則 ，

4、因?yàn)?可證 ，易證得 ，得出 是等邊三角形，所以 ，從而探尋線段 之間的數(shù)量關(guān)系根據(jù)上述解題思路，請直接寫出 之間的數(shù)量關(guān)系是 ； （拓展延伸） （ 2 ）如圖 ，在 Rt 中， ， 若點(diǎn) 是邊 下方一點(diǎn)， ，探索線段 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； （知識(shí)應(yīng)用） （ 3 ）如圖 ，兩塊斜邊長都為 2cm 的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知 所對直角邊等于斜邊一半，則 的長為 _cm （結(jié)果無需化簡） 5、 如圖 1 ，在 ABC 中， C =90° ， ABC =30° ， AC =1 ， D 為 ABC 內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)（不在邊上），連接 BD ，將線段 BD 繞點(diǎn) D 逆

5、時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60° ，使點(diǎn) B 到達(dá)點(diǎn) F 的位置；將線段 AB 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60° ，使點(diǎn) A 到達(dá)點(diǎn) E 的位置，連接 AD ， CD ， AE ， AF ， BF ， EF （ 1 ）求證： BDA BFE ； （ 2 ） CD + DF + FE 的最小值為 ； 當(dāng) CD + DF + FE 取得最小值時(shí)，求證： AD BF （ 3 ）如圖 2 ， M ， N ， P 分別是 DF ， AF ， AE 的中點(diǎn)，連接 MP ， NP ，在點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)的過程中，請判斷 MPN 的大小是否為定值若是，求出其度數(shù)；若不是，請說明理由 6、 1)在圖281中，已知MA

6、N120°，AC平分MANABCADC90°，則能得如下兩個(gè)結(jié)論：DC = BC; AD+AB=AC.請你證明結(jié)論；(2) 在圖282中，把（1）中的條件“ABCADC90°”改為ABCADC180°其他條件不變，則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明;若不成立，請說明理由7、 已知MON，用三角尺按下列方法畫圖：在MON的兩邊OM，ON上，分別取OA=OB，再分別過點(diǎn)A，B作ON，OM的垂線AD，BE，交ON，OM于點(diǎn)D，E，兩條垂線相交于點(diǎn)C，作射線OC，則射線OC平分MON問：（1）AOD與BOE全等嗎？（不需證明）（2）請利用（1）的結(jié)

7、論證明射線OC平分MON8、 如圖，在ABC中，AB=AC，D是BA延長線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)(1) 實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母(保留作圖痕跡，不寫作法)作DAC的平分線AM 連接BE并延長交AM于點(diǎn)F (2) 猜想與證明：試猜想AF與BC有怎樣的關(guān)系，并說明理由9、 閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題 : 如圖一， ABC 中， A=90° ， AB=AC ， BD 平分 ABC ，猜想線段 AD 與 DC 數(shù)量關(guān)系 . 小明發(fā)現(xiàn)可以用下面方法解決問題 : 作 DE BC 交 BC 于點(diǎn) E ： (1) 根據(jù)閱讀材料可得 AD 與 DC

8、 的數(shù)量關(guān)系為 _. (2) 如圖二， ABC 中， A=120° ， AB=AC ， BD 平分 ABC ，猜想線段 AD 與 DC 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想 . (3) 如圖三， ABC 中， A=100° ， AB=AC ， BD 平分 ABC ，猜想線段 AD 與 BD 、 BC 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想 . =參考答案=一、解答題1、 （1）證明見解析；（2）成立；（3）成立，證明見解析.【解析】試題分析：（1）取AB中點(diǎn)M，連接EM，求出BM=BE，得出BME=45°，求出AME=ECF=135°，求出MAE=FEC，根據(jù)ASA推出AME

9、和ECF全等即可；（2）截取BE=BM，連接EM，求出AM=EC，得出BME=45°，求出AME=ECF=135°，求出MAE=FEC，根據(jù)ASA推出AME和ECF全等即可；（3）在BA的延長線上取一點(diǎn)N，使AN=CE，連接NE，根據(jù)已知利用ASA判定ANEECF，因?yàn)槿热切蔚膶?yīng)邊相等，所以AE=EF試題解析：（1）證明：取AB中點(diǎn)M，連接EM，AB=BC，E為BC中點(diǎn)，M為AB中點(diǎn)，AM=CE=BE， BME=BME=45°，AME=135°=ECF，B=90°，BAE+AEB=90°，AEF=90°，AEB+FEC

10、=90°，BAE=FEC，在AME和ECF中，AMEECF（ASA），AE=EF；（2）成立，理由是：如圖，在AB上截取BM=BE，連接ME，B=90°，BME=BEM=45°，AME=135°=ECF，AB=BC，BM=BE， AM=EC，在AME和ECF中，AMEECF（ASA），AE=EF；（3）成立證明：如圖，在BA的延長線上取一點(diǎn)N使AN=CE，連接NE，BN=BE，N=NEC=45°，CF平分DCG，F(xiàn)CE=45°，N=ECF，四邊形ABCD是正方形，ADBE，DAE=BEA，即DAE+90°=BEA+90

11、76;，NAE=CEF，ANEECF（ASA），AE=EF點(diǎn)睛：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，閱讀材料，理清解題的關(guān)鍵是去AM=EC，然后構(gòu)造出AME和ECF全等是解題的關(guān)鍵.2、 （1）AE是FAD的角平分線（2）成立（3）成立【解析】見詳解【詳解】（1）AE是FAD的角平分線；（2）成立，如圖，延長FE交AD于點(diǎn)B，E是DC的中點(diǎn)，EC=ED，F(xiàn)CDC，ADDC，F(xiàn)CE=EDB=90°，在FCE和BDE中，,FCEBDE，EF=EB，AEFE，AF=AB，AE是FAD的角平分線；（3）成立，如圖，延長FE交AD于點(diǎn)B，AD=DC，F(xiàn)CE=EDB，在FCE和BDE

12、中，,FCEBDE，EF=EB，AEFE，AF=AB，AE是FAD的角平分線.【點(diǎn)睛】本題主要考察了全等三角形的判定與性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)，延長FE交AD于點(diǎn)B，發(fā)現(xiàn)FCE與BDE一定全等是解決問題的關(guān)鍵.3、 （ 1） A （ 6 ， 0 ）， B （ 0 ， 6 ）， C （ 2 ， 0 ）；（ 2） ；（ 3）不改變 【解析】 試題分析： （ 1 ）由偶次方和算術(shù)平方根的非負(fù)性質(zhì)求出 a 和 b 的值，得出點(diǎn) A、B 的坐標(biāo)，再求出 OC ，即可得出點(diǎn) C 的坐標(biāo)； （ 2 ）作 EG x 軸于 G，F(xiàn)H x 軸于 H ，由三角形的面積關(guān)系得出 DF=

13、DE ，由 AAS 證明 FDH EDG ，得出 DH=DG ，即可得出結(jié)果； （ 3 ）作 MQ x 軸于 Q ，連接 CM、AG、M ，證出 MCQ 是等腰直角三角形，得出 MCQ=45° ，同理： MPQ 是等腰直角三角形， MAQ=45°， AHG 是等腰直角三角形，得出 AGH=45°= MCQ ，證出 A、G、M、C 四點(diǎn)共圓，由圓周角定理即可得出結(jié)論 試題解析 ：（ 1） ， a-b=0，b-6=0， a=b=6， A（6，0），B（0，6）， OA=OB=6， OC：OA=1：3， OC=2， C（2，0） (2) 作 EG x 軸于 G，F(xiàn)H x

14、 軸于 H ，如圖 1 所示： 則 FHD= EGD=90°， BD 平分 BEF 的面積， DF=DE， 在 FDH 和 EDG 中 ， ， FDH EDG(AAS)， DH=DG， 即 x E +1=x F 1， x E +x F =2； （ 3） CGM 的度數(shù)不改變 ， CGM=45°； 理由如下：作 MQ x 軸于 Q ，連接 CM、AG、M ，如圖 2 所示： 則 MQ=4，OQ=2， CQ=2+2=4， MCQ 是等腰直角三角形， MCQ=45°， 同理： MQA 是等腰直角三角形， MAQ=45°， AH PM，HG=HA， AHG 是等

15、腰直角三角形， AGH=45°= MCQ， A、G、M、C 四點(diǎn)共圓， CGM= MAQ=45°. 點(diǎn)睛：本題是三角形綜合題目 ， 考查了偶次方和算數(shù)平方根的非負(fù)性質(zhì) 、 全等三角形的判定與性質(zhì) 、 等腰直角三角形的判定與性質(zhì) 、 四點(diǎn)共圓 、 圓周角定理等知識(shí) . 熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、證明三角形是等腰直角三角形和四點(diǎn)共圓是解決問題的關(guān)鍵 . 4、 （ 1 ） ；（ 2 ）猜想： 證明見解析；（ 3 ） 【分析】 （ 1 ）由等邊三角形知 AB = AC ， BAC =60° ，結(jié)合 BDC =120° 知 ABD + ACD =180

16、76; ，由 ACE + ACD =180° 知 ABD = ACE ，證 ABD ACE 得 AD = AE ， BAD = CAE ，再證 ADE 是等邊三角形得 DA = DE = DC + CE = DC + DB （ 2 ）延長 DC 到點(diǎn) E ，使 CE = BD ，連接 AE ，先證 ABD ACE 得 AD = AE ， BAD = CAE ，據(jù)此可得 DAE = BAC =90° ，由勾股定理知 DA 2 + AE 2 = DE 2 ，繼而可得 2 DA 2 = （ DB + DC ） 2 ； （ 3 ）由直角三角形的性質(zhì)知 QN = MN =1 ， MQ

17、 = ，利用（ 2 ）中的結(jié)論知 PQ = QN + QM =1+ ，據(jù)此可得答案 【詳解】 解：（ 1 ） DA = DC + DB ，理由： ABC 是等邊三角形， AB = AC ， BAC =60° ， BDC =120° ， ABD + ACD =180° ， 又 ACE + ACD =180° ， ABD = ACE ， 在 ABD 和 ACE 中， ， ABD ACE （ SAS ）， AD = AE ， BAD = CAE ， ABC =60° ，即 BAD + DAC =60° ， DAC + CAE =60

18、6; ，即 DAE =60° ， ADE 是等邊三角形， DA = DE = DC + CE = DC + DB ，即 DA = DC + DB ， 故答案為： DA = DC + DB ； （ 2 ） DA = DB + DC 如圖 2 ，延長 DC 到點(diǎn) E ，使 CE = BD ，連接 AE ， BAC =90° ， BDC =90° ABD + ACD =180° ， ACE + ACD =180° ， ABD = ACE ， AB = AC ， CE = BD ， 在 ABD 和 ACE 中， ， ABD ACE （ SAS ）， A

19、D = AE ， BAD = CAE ， DAE = BAC =90° ， DA 2 + AE 2 = DE 2 ， 2 DA 2 = （ DB + DC ） 2 ， DA = DB + DC ； （ 3 ）如圖 3 ，連接 PQ ， MN =2 ， QMN =30° ， QN = MN =1 ， MQ = ， 由（ 2 ）知 PQ = QN + QM =1+ ， PQ = ， 故答案為： 【點(diǎn)睛】 此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵 5、 （ 1 ）見解答； （ 2 ） ； 見解答； （ 3

20、 ）是， MPN =30° 【分析】 （ 1 ）由旋轉(zhuǎn) 60° 知， ABD = EBF 、 AB = AE 、 BD = BF ，故由 SAS 證出全等即可； （ 2 ） 由兩點(diǎn)之間，線段最短知 C 、 D 、 F 、 E 共線時(shí) CD + DF + FE 最小，且 CD + DF + FE 最小值為 CE ，再由 ACB =90° ， ABC =30° ， AC =1 求出 BC 和 AB ，再由旋轉(zhuǎn)知 AB = BE ， CBE =90° ，最后根據(jù)勾股定理求出 CE 即可； 先由 BDF 為等邊三角形得 BFD =60° ，再

21、由 C 、 D 、 F 、 E 共線時(shí) CD + DF + FE 最小， BFE =120°= BDA ，最后 ADF = ADB - BDF =120°-60°=60° ，即證； （ 3 ）由中位線定理知道 MN AD 且 PN EF ，再設(shè) BEF = BAD = ， PAN = ，則 PNF =60° -+ ， FNM = FAD =60° +- ，得 PNM =120° 【詳解】 解：（ 1 ）證明： DBF = ABE =60° ， DBF - ABF = ABE - ABF ， ABD = EBF ，

22、在 BDA 與 BFE 中， ， BDA BFE （ SAS ）； （ 2 ） 兩點(diǎn)之間，線段最短， 即 C 、 D 、 F 、 E 共線時(shí) CD + DF + FE 最小， CD + DF + FE 最小值為 CE ， ACB =90° ， ABC =30° ， AC =1 ， BE = AB =2 ， BC = ， CBE = ABC + ABE =90° ， CE = ， 故答案為： ； 證明： BD = BF ， DBF =60° ， BDF 為等邊三角形， 即 BFD =60° ， C 、 D 、 F 、 E 共線時(shí) CD + DF

23、+ FE 最小， BFE =120° ， BDA BFE ， BDA =120° ， ADF = ADB - BDF =120°-60°=60° ， ADF = BFD ， AD BF ； （ 3 ） MPN 的大小是為定值，理由如下： 如圖，連接 MN ， M ， N ， P 分別是 DF ， AF ， AE 的中點(diǎn)， MN AD 且 PN EF ， AB = BE 且 ABE =60° ， ABE 為等邊三角形， 設(shè) BEF = BAD = ， PAN = ， 則 AEF = APN =60°- ， EAD =60

24、76;+ ， PNF =60°- + ， FNM = FAD =60°+ - ， PNM = PNF + FNM =60°- + +60°+ - =120° ， BDA BFE ， MN = AD = FE = PN ， MPN = (180°- PNM )=30° 【點(diǎn)睛】 本題是三角形與旋轉(zhuǎn)變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、平行線的判定、勾股定理的應(yīng)用、中位線的性質(zhì)及等腰、等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵 6、 7、 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì) 【分析】（1）根據(jù)全等三角形的

25、判定判斷即可；（2）根據(jù)AAS證AODBOE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出OE=OD，證RtCEORtCDO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出EOC=DOC即可【解答】（1）解：AOD與BOE全等；（2）證明：過點(diǎn)A，B作ON，OM的垂線AD，BE，ADO=BEO=90°，在AOD和BOE中AODBOE（AAS），OE=OD，過點(diǎn)A，B作ON，OM的垂線AD，BE，CDO=CEO=90°，在RtCEO和RtCDO中RtCEORtCDO（HL），EOC=DOC，即射線OC平分MON【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能正確運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度適中8

26、、 9、 （ 1 ） CD= AD ；（ 2 ） CD= AD ；（ 3 ） BC=AD+BD. 【解析】 （ 1 ）由角平分線的性質(zhì)可得 AD=DE ，根據(jù) A=90° ， AB=AC ，可得 C=45° ，由 DE BC 可得 DEC 是等腰直角三角形，可得 CD= DE ，進(jìn)而可得答案；（ 2 ）在 BC 上截取 BE=AB ，連接 DE ，利用 SAS 可證明 ABD EBD ，可得 AD=DE ， BED= A=120° ，由等腰三角形的性質(zhì)可得 C=30° ，利用三角形外角性質(zhì)可得 CDE=90° ，利用含 30° 角的直角三角