1、1999年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題、填空題(本題共5個(gè)小題，每小題3分,滿分15分。把正確答案填寫(xiě)在題中橫線上。)(1)lim丄丄x0xxtanxdxsin(xdx0dxsin(xdx02t)dt2x(3)y4ye的通解為y(4) 設(shè)n階矩陣A的元素全為1,則A的n個(gè)特征值是設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件A,B和C滿足條件：1 9ABC,P(A)P(B)P(C),P(ABC),2 16則P(A)，只有一個(gè)是符合題目，只有一個(gè)是符合題目二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分。每小題給出得四個(gè)選項(xiàng)中要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在提后的括號(hào)內(nèi)。)(1)設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)是f(

2、x)的原函數(shù)，則()(A) 當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是偶函數(shù)。(B) 當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是奇函數(shù)。(C) 當(dāng)f(x)是周期函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是周期函數(shù)。(D) 當(dāng)f(x)是單調(diào)增函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是單調(diào)增函數(shù)。1 cosx-,x0設(shè)f(x)x其中g(shù)(x)是有界函數(shù)，則f(x)在x0處()2xg(x),x0(A)極限不存在(C)連續(xù),但不可導(dǎo)(A)極限不存在(C)連續(xù),但不可導(dǎo)(B)極限存在，但不連續(xù)(D)可導(dǎo)(3)設(shè)f(x)x,0x42，S(x)122x,x12Oo2ancosnx,n1其中1an20f(x)cosnxdx,(n0,1,2,),則S1(A)21(A)2(B

3、)2(C)3(D)設(shè)A是mn矩陣，B是nm矩陣，則(A)當(dāng)mn時(shí)，必有行列式AB0(C)當(dāng)nm時(shí)必有行列式AB0設(shè)A是mn矩陣，B是nm矩陣，則(A)當(dāng)mn時(shí)，必有行列式AB0(C)當(dāng)nm時(shí)必有行列式AB0(B)當(dāng)mn時(shí)必有行列式AB0(D)當(dāng)nm時(shí)，必有行列式AB0設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y分別服從正態(tài)分布N(0,1)和N(1,1)，則1(A)PXY0.21(C)PX-Y0-.21(B)PX+Y1.21(D)PX-Y1-.2三、(本題滿分5分)設(shè)yy(x),zz(x)是由方程zxf(xy)和F(x,y,z)=O所確定的函數(shù)，其中f和F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)dx四、(本題滿分

4、5分)求Ilexsinyb(xy)dx曲線y=J2ax-x2到點(diǎn)0(0,0)的弧.excosyaxdy,其中a,b為正常數(shù)丄為從點(diǎn)A2a,0沿五、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)yxx0二階可導(dǎo)，且yx0,y01.過(guò)曲線yyx上任意一點(diǎn)Px,y作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S,區(qū)間0,x上以yyx為曲邊的曲邊梯形面積記為5,并設(shè)20S恒為1,求此曲線yyx的方程.六、(本題滿分6分)試證：當(dāng)x0時(shí)，x21Inx七、(本題滿分6分)為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口見(jiàn)圖，已知井深30m30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N抓斗抓起的污泥重2

5、000N,提升速度為3m/s,在提升過(guò)程中，污泥以20N/S的速度從抓斗縫隙中漏掉，現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口，問(wèn)克服重力需作多少焦耳的功？(說(shuō)明：1N1m1J;其中m,N,s,J分別表示米,牛頓渺，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長(zhǎng)度忽略不計(jì).)八、(本題滿分7分)2設(shè)S為橢球面21的上半部分，點(diǎn)P(x,y,z)S,為S在點(diǎn)P處的切平(x,y,z)為點(diǎn)O(0,0,0)到平面n的距離，求S(x,y,z)dS.九、(本題滿分7分)設(shè)an04tannxdx,1（1）求一a.a.2的值；n1na試證：對(duì)任意的常數(shù)入0,級(jí)數(shù)收斂十、（本題滿分8分）a設(shè)矩陣A5十、（本題滿分8分）a設(shè)矩陣A5n1

6、nc3,其行列式A1,又A的伴隨矩陣A*有一個(gè)特征值0,屬a于0的一個(gè)特征向量為(1,1,1)T,求a,b,c和的值.十一、（本題滿分6分）設(shè)A為m階實(shí)對(duì)稱矩陣且正定陣的充分必要條件是B的秩rBf(x)6X(30,x),0x其他,B為m呦實(shí)矩陣,Bt為B的轉(zhuǎn)置矩陣試證：BTAB為正定矩n.十二、（本題滿分8分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量X,Y聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處.y1y2y3PX人PiX118X218PYyjPj161十三、（本題滿分6分）設(shè)總體X的概率密度為X1,X2,Xn是取自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本（1）求B的

7、矩估計(jì)量求的方差D1999年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析、填空題(本題共5個(gè)小題，每小題3分,滿分15分.把正確答案填寫(xiě)在題中橫線上.)(1)【答案】-3【分析】利用x0的等價(jià)變換和洛必達(dá)法則求函數(shù)極限11方法1:lim-2-x0xxtanx【詳解】tanxxtanxxlim2tanx_xlim3x0xtanxx0x222secx1廣tanx丄x1洛lim2lim廠tanx-xlim2-x03x2x03x2x03x2311方法2lim-2-x0xxtanx1cosxlim2x0xxsinxxm0sinxxcosx2.xsinxsinx-xlimx0sinxxcosxx洛limx0c

8、osxcosx3x2xsinxsinx1limx03x32(2)【答案】sinx2(2)【答案】sinxdb【分析】欲求(x,t)dt,唯一的辦法是作變換，使含有dxa(x,t)中的x轉(zhuǎn)移”到之外【詳解】令uxt,則dtdu,所以有ddxddxxosin(xt)2dtd0dxxsinu2dudx.22sinudusinxdx0【答案】yC1e2xC2e2x,其中C1,C2為任意常數(shù).4【分析】先求出對(duì)應(yīng)齊次方程的通解，再求出原方程的一個(gè)特解【詳解】原方程對(duì)應(yīng)齊次方程y”4y0的特征方程為：240,解得12,22,故y4y0的通解為Y1Ge2xC2e2x,由于非齊次項(xiàng)為f(x)e2x,*2x因此

9、原方程的特解可設(shè)為yAxe，代入原方程可求得A1，故所求通解為yy1y*2x12xGeC2xe44【詳解】因?yàn)閮蛇吶⌒辛惺剑?(對(duì)應(yīng)元素相減)把第2,n列加到第例EA和0(n-1)重)EA和0(n-1)重)提取第1列的公因子(11.12行1行11.111.13行1行0.0.-(n)11.1n行1行00.111nn)n-1(n-1(n)n)0，得1n(1重)20(n1)重)，故矩陣A的n個(gè)特征值是n(5)【答案】14【詳解】根據(jù)加法公式有p(aUbUc)P(AC)因?yàn)镻(A)P(B)P(C),設(shè)P(A)P(B)P(C)pP(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(ABC)P(AB)P(A)P

10、(B)pp2p，P(AC)P(A)P(C)pp2p，P(BC)P(B)P(C)pp2p，又由于ABC,因此有P(ABC)P()0，p(aUbUc)p(A)P(B)P(C)P(AC)P(AB)P(BCpp2pp2pp203p3p2又p(aUb9C)，從而16p(aUbUc)293p3p，則有3p16由于代B,C兩兩相互獨(dú)立，所以有所以)P(ABC)3p21602p0,解得p或p164因P(A)P(B)P(C)p丄,故p丄,即P(A)2 4二、選擇題(1)【答案】(A)【詳解】應(yīng)用函數(shù)定義判定函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性f(x)的原函數(shù)F(x)可以表示為F(x)f(x)的原函數(shù)F(x)可以表示為F

11、(x)x0f水C,于是F(x)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)x0f(t)dt，f(u)x0f(f(u)，從而有u)dC.F(x)x0f(u)duxC0f(t)dtCF(x)即F(x)為偶函數(shù)故(A)為正確選項(xiàng)(B)、(C)、(D)可分別舉反例如下：f(x)x2是偶函數(shù)，但其原函數(shù)F(x)1不是奇函數(shù)，可排除(B);f(x)cos2x是周期函數(shù)，但其原函數(shù)F(x)1sin2x不是周期函數(shù)，可排除(C)；4f(x)x在區(qū)間()內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，但其原函數(shù)F(x)丄x2在區(qū)間(2)內(nèi)非單調(diào)增函數(shù)，可排除(D).【答案】(D)【詳解】由于可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)則極限必存在，可以從函數(shù)可導(dǎo)性入手因?yàn)閒(0)limf(x)

12、f(0)1cosx12xlimlim2_0,x0x0x0X”xx0x.Xf(0)limf(x)f(0)x2g(x)limxg(x)0,limx0x0x0xx0從而，f(0)存在,且f(0)0，故正確選項(xiàng)為(D).(3)【答案】(C)【詳解】由題設(shè)知，應(yīng)先將f(x)從0,1)作偶延拓，使之成為區(qū)間-1,1上的偶函數(shù)，然后再作周期(周期2)延拓,進(jìn)一步展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù),5111S()S(2-)S()SH)22221而x2是f(x)的間斷點(diǎn)，按狄利克雷定理有1 1f(20)f(20)2【答案】B【詳解】方法1:A是m方法1:A是mn矩陣，B是nm矩陣，則AB是m階方陣，因r(AB)minr(A),r

13、(B)minm,n.當(dāng)mn時(shí),有r(AB)minr(A),r(B)nm.(AB)x0的系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)),故有行列式AB0，故應(yīng)選(B).方法2：B是nm矩陣，當(dāng)mn時(shí)，則r(B)n(系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù))，方程組Bx0必有非零解，即存在X)Bx0必有非零解，即存在X)0,使得Bx00，兩邊左乘A，得ABX)0，即ABx0有非零解，從而AB0，故選(B).(A)mn,取Amn0Bnm(C)nm取Amn10,Bn(D)nm，取Amn10,Bn【答案】B方法3：用排除法10mm根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì):0，AB01，AB10,AB0,AB1,AB【詳解】因X和Y相互獨(dú)立，且XN(0,

14、1),YN(1,1),所以，AB0，(A)不成立0，(C)不成立1，(D)不成立，故選(B).服從正態(tài)分布的獨(dú)立隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布E(XY),22D(XY)EX1EY011,EXEY011D(XY)DXDY112D(XY)DXDY112T1XYN(U1,12),T2XYN(u2,22)其中U1E(XY),12D(XY),u2由期望的性質(zhì)：EfTJE(XY)E(T2)E(XY)由獨(dú)立隨機(jī)變量方差的性質(zhì)：D(T1)D(T2)所以TiXYN(1,2),T2XYN(1,2)(一般來(lái)說(shuō)遇到正態(tài)分布的小題，主要就考兩點(diǎn)，標(biāo)準(zhǔn)化和對(duì)稱性，考慮問(wèn)題也是從這兩點(diǎn)出發(fā))1A選項(xiàng)：PXY0因XYN(1

15、2)2由標(biāo)準(zhǔn)化的定義：若XN(u,2),則N(0,1)x丫1所以，一N(0,1)，將其標(biāo)準(zhǔn)化有PXY0PX_Y0V2V2XY1P212(保證變換過(guò)程中概率不變，所以不等號(hào)的左邊怎么變又因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱，所以(保證變換過(guò)程中概率不變，所以不等號(hào)的左邊怎么變又因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱，所以，右邊也同樣的變化)1212丄，所以A錯(cuò).2B選項(xiàng)：PB選項(xiàng)：P將其標(biāo)準(zhǔn)化有:1(根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對(duì)稱性)C選項(xiàng)：P將其標(biāo)準(zhǔn)化有:將其標(biāo)準(zhǔn)化有:(1)廠(1)D選項(xiàng):將其標(biāo)準(zhǔn)化有:XY(1)1_(_1)廠-，故D錯(cuò).20的兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得三【詳解】分別在zxf(xy)和F(x，y，

16、z)dzdxf(x,y)x1dx(x,y)FydxFz乎dx整理后得Fydydzxf(x，y)-dxdx巴Fz空Fdxdx解此方程組，得f(x,y)xf(x,y)xffxfdzFyFx(fxf)FyxfFzdxxf1FyxfFzFyFz,(Fy四【詳解】方法1:湊成閉合曲線，應(yīng)用格林公式xfFz0)添加從點(diǎn)0(0,0)沿y0到點(diǎn)A2a,0的有向直線段L1,如圖，則LLexsinyb(xy)dxxecosyaxdyI1exsinyb(xy)dxL1利用格林公式，前一積分dxdy(bdxydxecosyaxdy2a)dxdya(ba)其中D為L(zhǎng)i+L所圍成的半圓域，后一積分選擇x為參數(shù)，得Li:x

17、0,02a,可直接積分I22a0(2bx)dx2ab，故IiI2a2ba3.2方法2:將曲線積分分成兩部分，其中一部分與路徑無(wú)關(guān)，余下的積分利用曲線的參數(shù)方程計(jì)算xIlesinyb(xy)dxxecosyaxdyLexsinydxexcosydyLb(xy)dxaxdy前一積分與路徑無(wú)關(guān)，所以Lexsinydxexcosydyxesin(0,0)hy(2a，0)0對(duì)后一積分，取L的參數(shù)方程xaacostdxasintdt，則,t從0到，得yasintdyacostdtLb(xy)dxaxdy22223320(absintabsintcostabsintacostacost)dt1 2.132a

18、baba2 211從而I0(2a2ba2ba3)2a2ba32222五【詳解】如圖，曲線y五【詳解】如圖，曲線yy(x)上點(diǎn)P(x,y)處的切線方程為所以切線與x軸的交點(diǎn)為由于y(x)0,y(0)x,0y1,因此y(x)0(x0)c1S12yxyy2y2yx又S20y(t)dt,根據(jù)題設(shè)2S1S21,22丄2y0y(t)dt1,兩邊對(duì)x求導(dǎo)并化簡(jiǎn)得yy2y這是可降階得二階常微分方程，令py,則y蟲(chóng)亞Jydxdydxp乎dy則上述方程可化為yp蟲(chóng)dyp2,分離變量得並p業(yè)解得pyGy,即氏Gy,從而有yC1exC2,根據(jù)y(0)1,y(0)1,可得G1,C20,故所求曲線得方程為六【詳解】構(gòu)造函

19、數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證法1:令f(x)2x1Inx2x1.易知f(1)0又f(x)2xlnxx12-,f(1)x0f(x)2lnx112,f(1)2x0f(x)2(x21)3x可見(jiàn)，當(dāng)0x1時(shí),f(x0；當(dāng)1Xf(x)可見(jiàn)，當(dāng)0x1時(shí),f(x0；當(dāng)1Xf(x)時(shí),f(x)0f(x)/因此，f(1)2為f(x)的最小值，即當(dāng)0x因此，f(1)2為f(x)的最小值，即當(dāng)0x時(shí)，f(x)f(1)20,所以f(x)為單調(diào)增函數(shù)又因?yàn)閒(1)0,所以有0x1時(shí)f(x)0；1x0x1時(shí)f(x)0；1x時(shí)f(x)0,所以利用函數(shù)單調(diào)性可知，f(1)為f(x)的最小值，即f(x)f(1)0所以利用函數(shù)單調(diào)性可

20、知，f(1)為f(x)的最小值，即f(x)f(1)0所以有x0時(shí)，x21Inx當(dāng)0x1x1時(shí)，原不等式等價(jià)于Inx;x1當(dāng)1x時(shí)，原不等式等價(jià)于x1Inx;x1令X1f(x)Inxx1則12x21f(x)2xx120x0xx1又因?yàn)閒(1)0,利用函數(shù)單調(diào)性可知當(dāng)0x1x1時(shí)，原不等式等價(jià)于Inx;x1當(dāng)1x時(shí)，原不等式等價(jià)于x1Inx;x1令X1f(x)Inxx1則12x21f(x)2xx120x0xx1又因?yàn)閒(1)0,利用函數(shù)單調(diào)性可知證法2:先對(duì)要證的不等式作適當(dāng)變形,當(dāng)x1時(shí)，原不等式顯然成立;x當(dāng)0x1時(shí)，f(x)綜上所述，當(dāng)x0時(shí)，X2x10,即Inx；當(dāng)1x1時(shí),f(x)0,即

21、Inx21Inxx1七【詳解】建立坐標(biāo)軸如圖所示，wW2%,其中W是克服抓斗自重所作的解法1:將抓起污泥的抓斗提升至井口需做功功；W2是克服纜繩重力作的功；W3為提出污泥所作的功.由題意知W400N30m12000J.將抓斗由x處提升到xdx處，克服纜繩重力所作的功為dW2=纜繩每米重?zé)肜K長(zhǎng)褪升高度50(30x)dx,30從而W050(30x)dx22500J.在時(shí)間間隔t,tdt內(nèi)提升污泥需做功為dW3(原始污泥重漏掉污泥重)提升高度(3dt)(200020t)3dt將污泥從井底提升至井口共需時(shí)間0m10s,3m/s10所以W33(200020t)dt57000J.解法2：將抓起污泥的抓斗提

22、升至井口需做功記為W,當(dāng)抓斗運(yùn)動(dòng)到x處時(shí),作用力f(x)包括抓斗的自重400N,纜繩的重力50(30x)N,污泥的重力(2000-20)N,320170即f(x)40050(30x)2000x3900x,3303900017085230xdx3900xx2003 3八【分析】先寫(xiě)出切平面方程，然后求(x,y,z)，最后將曲面積分化成二重積分【詳解】點(diǎn)P(x,y,z)S,S在點(diǎn)P處的法向量為n【詳解】點(diǎn)P(x,y,z)S,S在點(diǎn)P處的法向量為nx,y,2z,設(shè)(X,Y,Z)為上任意一點(diǎn)，則的方程為x(Xx)y(Yy)2z(Zz)0,化簡(jiǎn)得fXzZ由點(diǎn)到平面的公式，0(0,0,0)到的距離(x，y

23、，z),a2AxByCzB2C2；yQ22z22y4122z從而zdSS(x,y,z)(x,y)|x2y22用投影法計(jì)算此第一類曲面積分，將S投影到xOy平面,其投影域?yàn)橛汕娣匠讨獄,(x,y)D,于是x2x2因此故有2zx24x2y2ddSs(x,y,z)144d2(4r)rdr九【詳解】（1）因?yàn)閍nan又由部分和數(shù)列因此所以所以由于Snai腳去1tan2x)dxtafxdtanxtanxt11tndt0i(i1)1(Ttannxsecxdxn(n1_1)limSnn1,先估計(jì)anan3n_nanan1.an的值，因?yàn)?4tann1tn01t21n(n10,所以n1xdx，令ttanx，

24、則dt2secxdx,即dxdtT1)ndt0收斂,從而也也收斂.n1n十【詳解】根據(jù)題設(shè)，A有一個(gè)特征值0,屬于o的一個(gè)特征向量為1,1,1）T，根據(jù)特征值和特征向量的概念，有A*把A1代入AAAE中，得AA*AEE,則AA*代入，于是AA*A0A,即Aa1c11a1c1也即05b311,05b311c0a11(1c)a1a1c常數(shù)0乘以矩陣5b3，需用0乘以矩陣的每一一個(gè)兀素(1c)a兩邊同除整理得ao(ao，得1c)o(ca),1ca)1代入中得b31.又由AA(其中(313(a1)2aa再把oC,代入(1)中，得01)31故ac2,因此a2,b3,c2,01.由(1),(3)兩式得a1

25、c0(a1c)105b30(5b3)1(1c)a0(1c)a1矩陣相等，則矩陣的對(duì)應(yīng)兀素都相冋，可得0(a1c)1(1)0(5b3)1(2)0(1ca)1因A10,A的特征值*0,A的特寺征值*A0,故00十一【詳解】“必要性”.設(shè)btAB為正定矩陣，則由定義知，對(duì)任意的實(shí)n維列向量x0,有TTTxBABx0,即BxABx0,于是,Bx0,即對(duì)任意的實(shí)n維列向量x0,都有唯一零解的充要條件是rBn）.Bx0.(若Bx0,則A(Bx)A00矛盾).因此,Bx0只有零解,故有rBn(Bx0有“充分性”.因A為m階實(shí)對(duì)稱矩陣，則AA,故BTAB丁BTATBBTAB,根據(jù)實(shí)對(duì)稱矩陣的定義知BtAB也為

26、實(shí)對(duì)稱矩陣.若rBn,則線性方程組Bx0只有零解，從而對(duì)任意的實(shí)n維列向量x0,有Bx0.又A為正定矩陣，所以對(duì)于Bx0有BxTABxxTBtABx0,故BTAB為正定矩陣（對(duì)任意的實(shí)n維列向量x0,有xTBTABx0）.十二【詳解】離散型隨機(jī)變量邊緣分布律的定義：PiPXPX冷丫jyjPij，ij1,2，PjPYyjPXxi，YyjPij，j1,2，ii（通俗點(diǎn)說(shuō)就是在求關(guān)于X的邊緣分布時(shí)，就把對(duì)應(yīng)x的所有y都加起來(lái)，同理求關(guān)于丫的邊緣分布時(shí)，就把對(duì)應(yīng)y的所有x都加起來(lái)）故PYyiPiPXi,YYiPiii即PYyiPXN,丫YiPXx2,YYi而由表知PYyi丄,PXx2,Yyi1，所以68PXXi,YyiPYyipXX2,YYi1116824又根據(jù)X和Y相互獨(dú)立,則有：PXXi,YyjPXXiPYyj即pijpiPj廠11因PXxi，Yyi，PYyi-，而PX為，丫PXxiPYy246丄所以pxPXXi，Yyi刃