1、概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)不等式-.不等式的性質(zhì)：1 .同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若ab,cd,則acbd（若ab,cd,則acbd）,但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；2 .左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若ab0,cd0,則acbd（若ab0,0cd,ab、貝U）;cd3 .左右同正不等式：兩邊可以同時(shí)乘方或開方：若ab0,則an-或11.11.4 .右ab0,ab,則右ab0,ab,則一一。如abab（1）對于實(shí)數(shù)a,b,c中，給出下列命題：若a b,貝1Jac2bc2;若a b Q則a2 ab b2

2、 ;ba右a b 0,則一一； a ba b右c a b Q則；c a c b其中正確的命題是(2)已知 1 x y 1 , 1 x y 3,22 一 .右acbc ,則a b ;一.一 1 1若a b 0,則； a b若a b 0,則a b ；11-右a b,- 一，則 a 0,b 0。a b(答：)；則3x y的取值范圍是（答：13xy7）；（3）已知abc,且abc0,則2的取值范圍是a,1（答：2,-）2.不等式大小比較的常用方法：1 .作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；2 .作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的代數(shù)式）；3 .分析法；4 .平方法；5 .分子（或分母）有理

3、化；6 .利用函數(shù)的單調(diào)性；7 .尋找中間量或放縮法；8 .圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如1一t1一.，(1)設(shè)a0且a1,t0,比較logat和loga的大小22一 1(答：當(dāng) a 1 時(shí)，510gatloga1 ., t 1 /,-lOg at lOga(t 221時(shí)取等號）;2,_22 a 4a 2 ,試比較p,q的大?。ù穑簆（3）比較q);1 + logx3 與 210gx2(x0且x 1）的大小t1（t1時(shí)取等號）；當(dāng)0a1時(shí),21) (2,)44.x1或x時(shí)，1+l0gx3>210gx2；當(dāng)1x時(shí)，1+l0gx3V33210gx 2;當(dāng) x4-一時(shí)，1+

4、logx3=2log*2)3正二定三相等，和定積.利用重要不等式求函數(shù)最值時(shí)，你是否注意到:最大，積定和最小”這17字方針。如(1)卜列命題中正確的是1 一一 ，一一x 1的最小值是2x2=L的最小值是2x23x3x24(x x4(x x0）的最大值是2 4730）的最小值是2 473（答：C）；(2)2y4y的最小值是（答:2企）;(3)正數(shù)x,y滿足x 2y一，111,則-的最小值為,一 ab4.常用不等式有:的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用）；（2） a、b、c R, a2 時(shí)，取等號）；（3）若a b 0, m 0 ,b2則b ac2 abb ma m（答：3 2五）；三2（根據(jù)目標(biāo)不等式左右 a bb

5、c ca （當(dāng)且僅當(dāng)a b c（糖水的濃度問題）。如如果正數(shù)a、b滿足ab a b 3 ,則ab的取值范圍是（答：9,五.證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法（比較法的步驟是:作差（商）后通過分解因式、 然后作出結(jié)論。）.常用的放縮技巧有：1n配方、通分等手段變形判斷符號或與2n(n 1) n n(n 1) n 11的大小,如(1)已知 a b c,求證：a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 ；(2)已知a,b,cR,求證：a2b2b2c2c2a2abc(abc)；11xy(3)已知a,b,x,yR,且，xy,求證：abxayb(4)若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：a

6、bbccalglglglgalgblgc；222(5)已知a,b,cR,求證：a2b2b2c2c2a2abc(abc)；(6)若nN,求證：y(n?)21(n1)4n1n;已知|a|b|,求證：1a|b|1a|1b|;|ab|ab|(8)求證：14!”I口2。2232n2六.簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：(1)分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；(2)將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如(1)解不等式(x1)(x2)200(答：xx1或x

7、2);(2)不等式(x2)Jx22x30的解集是(答：xx3或x1)；(3)設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R,且f(x)0的解集為x|1x2,g(x)0的解集為,則不等式f(x)|g(x)0的解集為(答：(，1/2，)；(4)要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x29xa0(解集非空)的每一個(gè)x的值至少滿足不等式x24x30和x26x80中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(答：喂)七.分式不等式的解法分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母包為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。如(1)解不等式

8、25x1x22x3(答：(1川(2,3);(2)關(guān)于x的不等式axb0的解集為(1,),則關(guān)于x的不等式ax b0的解集為八.絕對值不等式的解法：1.分段討論法(最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集)：如解不等式|23x|2|x-|42(答：xR);(2)利用絕對值的定義；(3)數(shù)形結(jié)合；如解不等式|x|x1|3(答：(，1業(yè)2，)(4)兩邊平方：如若不等式|3x2|2xa|)CtxR包成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為。(答：如3九.含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵.”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但

9、若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.如，一2(1)若log。21、則a的取值范圍是3.、2(答：a1或0a-)；32(2)解不等式-aJx(aR)ax11.、一1(答：a0時(shí)，x|x0；a0時(shí)，x|x-或x0；a0時(shí)，x|-x0aa或x0)提醒：(1)解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；(2)不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。如關(guān)于x的不等式axb0的解集為(,1),則不等式工20的解集為axb(答：(1,2)H一.含絕對值不等式的性質(zhì)：a、b同號或有0|ab|a|b|a|b|ab|;a、b異號或有0|ab|a|b|a|b|ab|.如設(shè)f(x)x2

10、x13,實(shí)數(shù)a滿足|xa|1,求證：|f(x)f(a)|2(|a|1)十二.不等式的包成立，能成立，恰成立等問題：不等式包成立問題的常規(guī)處理方式(常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法)1).包成立問題若不等式fxA在區(qū)間D上包成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上fxminA若不等式fxB在區(qū)間D上包成立，則等價(jià)于在區(qū)間D±fxmaxBiiiax如(1)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足x2(y1)21,當(dāng)xyc0時(shí)，c的取值范圍是灰1,);(2)不等式|x4x3a對一切實(shí)數(shù)x包成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍(答：a1)；(3)若不等式2x1m(x21)對滿足|m2的所有m都成立，則x的取值范圍)；(4)若不等式值范圍是(5)若不等式 取值范圍.(1)na2-x 2mx2).能成立問題若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)maxA;若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)(1)n 12對于任意正整數(shù)n包成立，則實(shí)數(shù)a的取 n,3(答：2-);22m 1 0對0 x 1的所有實(shí)數(shù)x都成立，