1、v1.0可編輯可修改【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .能從兩角和的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.2 .能熟練運(yùn)用二倍角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式.但不要求記憶)，能靈活地將公式變形并運(yùn)用.3 .通過運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，進(jìn)一步提高運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)、化歸的思想方法處理問題的自覺性，體會(huì)換元思想、方程思想等在三角恒等變換中的作用【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：二倍角的正弦、余弦、正切公式4 .二倍角的正弦、余弦、正切公式sin22sincos(S2)5 .2cos2cossin(C2)2cos2112sin2tan 22 tan1 ta

2、n2(T2 )1歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚要點(diǎn)詮釋:(1)公式成立的條件是：在公式S2,C2中，角可以為任意角，但公式T2中，只有當(dāng)一k及2k(kZ)時(shí)才成立；423(2)倍角公式不僅限于2是的二倍形式，其它如4是2的二倍、金是的二倍、3是的二倍等等都是適用的.要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用好二倍角公式，這是靈活運(yùn)用公式的關(guān)鍵.如：sin2sin cos；22sin2n 2sin2n-rcos-2n-r(n Z)2.和角公式、倍角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系在兩角和的三角函數(shù)公式 S ,C ,T 中，當(dāng)時(shí)，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式,它們的內(nèi)在聯(lián)系如下:以一8代要點(diǎn)二：二倍角公式

3、的逆用及變形1 .公式的逆用2 sintzccisa=sin2a：sinacos=dn2a-a”ffsin(x.=2corcal=1Jan*a=8早2cl.2UD.GE-,it3UlGC1-tan-a2,公式的蟒1sin2cx=(siuacosa)；阪京八-kr1+8$2c,=應(yīng)哥白式；cos-lc=.sitr&=升品公式；1-r然？療=1m/#17,制it叮要點(diǎn)三：兩角和與差的三角函數(shù)公式能夠解答的三類基本題型湊項(xiàng)、添項(xiàng)、求值題、化簡(jiǎn)題、證明題1 .對(duì)公式會(huì)“正著用”，“逆著用”，也會(huì)運(yùn)用代數(shù)變換中的常用方法：因式分解、配方換元等;2 .掌握“角的演變”規(guī)律，尋求所求結(jié)論中的角與已知條件中的

4、角的關(guān)系，如也要抓住角之(),2()()等等，把握式子的變形方向，準(zhǔn)確運(yùn)用公式,間的規(guī)律(如互余、互補(bǔ)、和倍關(guān)系等等)；3 .將公式和其它知識(shí)銜接起來使用，尤其注意第一章與第三章的緊密銜接【典型例題】類型一：二倍角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1.化簡(jiǎn)下列各式:(1)4sincos；(2)22.2sin82,、cos.；(3)tan37.51tan237.5v1.0可編輯可修改【思路點(diǎn)撥】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式.【答案】（1）2sin（2）走（3）-3(1) 4sin cos 2sin cos 2sin，一、.22(2) sin cos 882cos 一82sincos42(3)tan 37.5,

5、2 _1 tan 37.522sin 37.521 tan 37.51 tan 752,325歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚【總結(jié)升華】本題的解答沒有去就單個(gè)角求其函數(shù)值，而是將所給式子作為一個(gè)整體變形，逐步向二倍角公式的展開形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔細(xì)體會(huì)本題中的解題思路.8 sstn -1212COS SLU 12121答案（1）苴；（2）正：3）一有22t何斤oas:sinL2=ODS 126jSt=cosf2x-)cos84C3)rt=tanl50=tan(180-30)-ran3T-y類型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函數(shù)值例 2.求 sin10sin30sin50sin7

6、0 的值.【思路點(diǎn)撥】解這類題型有兩種方法:sin2,八.、入，、萬法一：適用sin,不斷地使用二倍角的正弦公式2cos方法二：將正弦題目中的正弦形式全部轉(zhuǎn)化為余弦形式，利用cossin 2進(jìn)行化簡(jiǎn).2sin-1【答案】116sin20sin50sin702cos10【斛析】方法一：sin10sin50sin70sin 20 cos20 sin 50 sin 40 sin502cos104cos101sin10 sin30 sin50 sin70161 一 一萬法一：原式 cos20 cos40 cos802sin 40 cos40 cos80 sin80 cos804sin 202sin 2

7、0sin40 cos404cos10sin80 18cos1082sin 20 cos20 cos40 cos804sin 201 sin160116 sin2016【總結(jié)升華】本題是二倍角公式應(yīng)用的經(jīng)典試題.方法一和方法二通過觀察角度間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其特征（二倍角形式），逆用二倍角的正弦公式，使得問題出現(xiàn)連用二倍角的正弦公式的形式.在此過程中還應(yīng)該看到化簡(jiǎn)以后的分子分母中的角是互余（補(bǔ)）的關(guān)系，從而使最終的結(jié)果為實(shí)數(shù).利用上述思想，我們還可以把問題推廣到一般的情形:般地，若sin 0,則 cos cos2 cos4 |cos2nn 1sin 2on 12 sin舉一反三：2sin 20 cos

8、 20 cos40 cos802sin 20cos80【變式1求值：sin10cos40sin70【解析】原式cos20cos40cos802sin40cos40cos802sin804sin208sin20sin160sin2018sin208sin208類型三：利用二倍角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式例3.化簡(jiǎn)下列各式：小sinsin2(1) (2),1sin4【思路點(diǎn)撥】（1）觀察式子分析,1 coscos2利用二倍角公式把倍角展開成單角,(2)觀察式子分析，利用二倍角公式把倍角展開成單角,利用平方差公式進(jìn)行化簡(jiǎn).【答案】(1) tan (2) sin2cos2sin sin 2解析(1)1 cos

9、 cos 2sin 2 sin cos-2cos 2 cossin (1 2 coscos (1 2 cos(2) , 1 sin 4sin22 2sin2 cos2 cos22(sin 2 cos2)2| sin 2 cos2 |sin 2 cos2.【總結(jié)升華】余弦的二倍角公式的變形形式:1 cos22cos2 ,1到消除式子中1的作用.由于sin22sincos,從而1sin2(sincos)2,可進(jìn)行無理式的化簡(jiǎn)和運(yùn)算.例4.化簡(jiǎn):2/2cos 12 tan 4sin2 4原式2sin 42cos2cos一4cos-4cos2cos22sincossin2442cos2,1.cos2【

10、總結(jié)升華】三角函數(shù)的化簡(jiǎn)要從減少角的種類、函數(shù)的種類入手.通過切化弦、弦化切、異化同、高次降哥等手段，使函數(shù)式的結(jié)構(gòu)化為最簡(jiǎn)形式.舉一反三：【變式1】(1)J1sin6的化簡(jiǎn)結(jié)果是.(2)已知sin3,且ae(,汽)，則sin2的值為52cos3【答案】(1)sin3cos3(2)32【解析】(1)原式=1sin3cos3= .(sin3cos3)2= |sin3cos3|= sin3cos3v1.0可編輯可修改342sincos(2)因?yàn)閟in一且ae(一，式)，所以cos,原式=22525cos2類型四：二倍角公式在三角函數(shù)式給值求值題目中的應(yīng)用【高清課堂：倍角、半角公式370633例2】

11、例5.求值：3(1)已知sin()-,求cos().已知sin(-)m,求sin2.【思路點(diǎn)撥】觀察所求的角與已知角的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)它們是二倍的關(guān)系，所以用二倍角公式去求解.72【答案】(1)(2)2m2125【解析】(1)cos()coscos2661212sin212225=1_252sin2cos(2)=12sin2=12sin2一42=2m21求解的要點(diǎn)是利用公式溝通已知條件和所求式子之間，求 sin2 , cos2 , tan2 的值.【總結(jié)升華】給值求值是求值問題中常見的題型,的聯(lián)系，考查公式運(yùn)用和變換的技巧.舉一反三：1【變式1】已知sincos3,且0【答案】8至8991713歡迎

12、廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚【解析】由sincos2cos)即12sin1cos一由sincos93,得sin2cos2sincos-2cossin即1sin22.sin3sin2整理得9sin23sin解得sin,17或sin6I（舍去）612sin2sin2cos28.萬17【總結(jié)升華】解題過程中注意角的范圍的判定.【變式2】已知tan(1)（1）求tan的值；（2）求sin22cos,上的值.1cos2tantantan41tantan41tan1tan1一，斛得tan2si12cos2sincos2cos722cos2costan【總結(jié)升華】（1）問中利用了方程的思想求式轉(zhuǎn)化為含tan2

13、sincos2costan的值；對(duì)于第（2）問的題型,的式子求解，或者通過消元轉(zhuǎn)化的方法求解.類型五：二倍角公式的綜合應(yīng)用【高清課堂：倍角、半角公式370633例3】例6.已知f(x)sin2x2sinxcosx3cos2x,求:般需要將分(1) f(x)的最大值以及取得最大值的自變量的集合；(2) f(x)的單調(diào)區(qū)間.【思路點(diǎn)撥】用降哥公式把原式降哥，然后用輔助角公式化成Asin(x)k的形式.z單減區(qū)間【答案】(1)22x|xk-,kz(2)單增區(qū)間k3-,k-,k8885k,k,kz88【解析】(1)原式=1sin2xcos2x1sin2xcos2x2,2sin(2x)24一,k z 時(shí)

14、, 8則當(dāng)2x一2k，即x|xk42fmax(x)22(2) f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：2k2x 2 k ，貝U242xk3,k8f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為：2 k-2x 2k2432x k ,k858縮角升塞公式22cos 一2a b .【總結(jié)升華】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值、兩角和的正弦、二倍角的正弦與余弦公式及yAsin(x)的性質(zhì)等知識(shí).要記住倍角公式兩類重要變形并能熟練應(yīng)用：(1)221 sinsincos,1sinsincos1cos2222221cos2.21cos21cos2sin.(2)擴(kuò)角降哥公式cos,sin.(1)求f (x)的最大值及相應(yīng)的x值;例7.已知向量a

15、(1sin2x,sinxcosx),b(1,sinxcosx),求函數(shù)f(x)(2)若 f()8，.,求cos2 2 的值.【思路點(diǎn)撥】利用向量數(shù)量積公式的坐標(biāo)形式，將題設(shè)條件中所涉及的向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關(guān)系”，從而建立函數(shù)f(x)關(guān)系式.(kZ)1625【解析】(1)因?yàn)閍(1sin2x,sinxcosx),b(1,sinxcosx),所以f(x)1sin2x.22sinxcosx1sin2xcos2x72sin2x1.4因此，當(dāng)2x2k(kZ)時(shí)，f(x)取得最大值J21.8(2)由f(sin2cos2及f()8得sin2cos25-,兩邊平方得1sin4525即sin41625因此,cos2cos2sin4也252 x cos 一21.xx【變式1】已知函數(shù)f(x)sincos22(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間;(n)求函數(shù)f(x)在,上的最小值.【答案】(I)2,2k-,2k4(n)x【斛析】(I)f(x)sin一-sinx2x1cosxcos-2211cosx一22sin(x一)24所以函數(shù)f(x)的最小正周期為由2kx2k24x2k函數(shù)f(x)單調(diào)遞減區(qū)間是2k，3小(n)由一x，得一x422了2k,一,，3521則當(dāng)x，即x時(shí)，f(x)取得取小值.4242【變式2已知向量m=(sinA,cosA),n(J3,1),mrn=1,且A為銳