1、第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述第一節(jié)第一節(jié) 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二節(jié)第二節(jié) 常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法第一節(jié)第一節(jié) 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在控制系統(tǒng)的研究中有著控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在控制系統(tǒng)的研究中有著相當(dāng)重要的地位，要對系統(tǒng)進(jìn)行仿真處理，首相當(dāng)重要的地位，要對系統(tǒng)進(jìn)行仿真處理，首先應(yīng)當(dāng)知道系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后才可以對系先應(yīng)當(dāng)知道系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后才可以對系統(tǒng)進(jìn)行模擬。同樣，如果知道了系統(tǒng)的模型，統(tǒng)進(jìn)行模擬。同樣，如果知道了系統(tǒng)的模型，才可以在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一個(gè)合適的控制器，使才可以在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一個(gè)合適的控制器，使得系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到預(yù)期

2、的效果，從而符合工程實(shí)得系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到預(yù)期的效果，從而符合工程實(shí)際的需要。際的需要。 在線性系統(tǒng)理論中，一般常用的數(shù)學(xué)模型形式在線性系統(tǒng)理論中，一般常用的數(shù)學(xué)模型形式有：微分方程模型、傳遞函數(shù)模型（系統(tǒng)的外有：微分方程模型、傳遞函數(shù)模型（系統(tǒng)的外部模型）、狀態(tài)方程模型（系統(tǒng)的內(nèi)部模型）、部模型）、狀態(tài)方程模型（系統(tǒng)的內(nèi)部模型）、零極點(diǎn)增益模型和部分分式模型等。這些模型零極點(diǎn)增益模型和部分分式模型等。這些模型之間都有著內(nèi)在的聯(lián)系，可以相互進(jìn)行轉(zhuǎn)換。之間都有著內(nèi)在的聯(lián)系，可以相互進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 微分方程模型是控制系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)，一般來微分方程模型是控制系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)，一般來講，利用機(jī)械學(xué)、電學(xué)、力學(xué)等物

3、理規(guī)律，便講，利用機(jī)械學(xué)、電學(xué)、力學(xué)等物理規(guī)律，便可以得到控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程，這些方程對于可以得到控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程，這些方程對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)而言是一種常系數(shù)的線性微線性定常連續(xù)系統(tǒng)而言是一種常系數(shù)的線性微分方程。分方程。1.1 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的表示形式 微分方程形式微分方程形式1)1(2)(11)1(1)(mmmmnnnnbubububyayayay系統(tǒng)在MATLAB中可以方便地由輸入和輸出系數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)向量唯一地確定出來，這兩個(gè)向量分別用num和den表示。num=b1, b2,bm, bm+1den=1, a1, a2, an 傳遞函數(shù)形式傳遞函數(shù)形式nnnnnmmmmasasas

4、asbsbsbsbsG122111121)( 系統(tǒng)在MATLAB中可以方便地由分子和分母系數(shù) 構(gòu)成 的兩個(gè)向量 唯一地確定出來，這兩個(gè)向量分別用num和den表示。num=b1,b2,bm,bm+1den=1,a1,an-1,an注意：它們都是按s的降冪進(jìn)行排列的?？梢姡⒎址匠绦问降哪Ｐ秃蛡鬟f函數(shù)模型是一致的可見，微分方程形式的模型和傳遞函數(shù)模型是一致的舉例：傳遞函數(shù)描述 1）num=12,24,0,20;den=2 4 6 2 2;2）借助多項(xiàng)式乘法函數(shù) conv 來處理：num=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6);den=conv(1,0,conv(1,1,conv

5、(1,1,conv(1,1,1,3,2,5);22642202412)(23423sssssssG)523() 1()66)(2(4)(23322sssssssssG 零極點(diǎn)增益形式零極點(diǎn)增益形式)()()()()(2121nmpspspszszszsKsG 零極點(diǎn)模型實(shí)際上是傳遞函數(shù)模型的另一種表現(xiàn)形式，其原理是分別對原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母進(jìn)行分解因式處理，以獲得系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的表示形式。 在MATLAB中零極點(diǎn)增益模型用Z,P,K矢量組表示。即： Z=z1,z2,zm P=p1,p2,.,pn K=k 部分分式形式部分分式形式)()(2211shpsrpsrpsrsGnn 在MATL

6、AB中部分分式模型用R,P,H矢量組表示。即：R=r1,r2,rn P=p1,p2,.,pn H=h0,h1,h 狀態(tài)方程形式狀態(tài)方程形式DuCxyBuAxx 系統(tǒng)狀態(tài)空間用（A,B,C,D)矩陣組表示舉例：系統(tǒng)為一個(gè)兩輸入兩輸出系統(tǒng)A=1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14;B=4 6; 2 4; 2 2; 1 0;C=0 0 2 1; 8 0 2 2; D=zeros(2,2);xyuxx220812000122426414131251197486123109611.2 模型的轉(zhuǎn)換與連接 模型轉(zhuǎn)換的函數(shù)包括模型轉(zhuǎn)換的函數(shù)包括：residue：傳遞函

7、數(shù)模型與部分分式模型互換：傳遞函數(shù)模型與部分分式模型互換ss2tf： 狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型ss2zp： 狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型tf2ss： 傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型tf2zp： 傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型zp2ss： 零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型zp2tf： 零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型1.2.1 1.2.1 模型的轉(zhuǎn)換模型的轉(zhuǎn)換狀態(tài)空間SS傳遞函數(shù)tf零極點(diǎn)ZP極點(diǎn)留

8、數(shù)ss2tftf2sszp2ssss2zpzp2tftf2zpresidue用法舉例：1）部分分式展開：num=2,0,9,1;den=1,1,4,4; r,p,k=residue(num,den)44192)(233ssssssG12225. 0225. 02)(sisiisisGp= 0.0000+2.0000i 0.0000-2.0000i -1.0000k= 2r= 0.0000-0.2500i 0.0000+0.2500i -2.0000結(jié)果表達(dá)式：2）已知系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為：A=0 1; -1 -2; B=0;1; C=1,3; D=1;num,den=ss2tf(A,B,C,D,

9、iu)iu 用來指定第n個(gè)輸入，當(dāng)只有一個(gè)輸入時(shí)可忽略。num=1 5 2; den=1 2 1;z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu)z= -4.5616 p= -1 k=1 -0.4384 -1uxyuxx311021103）已知一個(gè)單輸入三輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為：num=0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0;den=1 6 11 6;A,B,C,D=tf2ss(num,den)A= -6 -11 -6 B= 1 C= 0 0 -2 D= 0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1 2 0 0 61162)(61165)(61162)()()(23231232

10、123111ssssssGsssssGssssusysG4）系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型：z=-3;p=-1,-2,-5;k=6;num,den=zp2tf(z,p,k)num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10a,b,c,d=zp2ss(z,p,k)a= -1.0000 0 0 b=1 2.0000 -7.0000 -3.1623 1 0 3.1623 0 0 c= 0 0 1.8974 d=0 注意：零極點(diǎn)的輸入可以寫出行向量，也可以寫出列注意：零極點(diǎn)的輸入可以寫出行向量，也可以寫出列向量。向量。 )5)(2)(1()3(6)(sssssG5）已知部分分式：r=-0.25i,0.25

11、i,-2;p=2i,-2i,-1;h=2;num,den=residue(r,p,h)num= 2 0 9 1den= 1 1 4 412225. 0225. 02)(sisiisisG利用LTI對象進(jìn)行模型轉(zhuǎn)換 首先利用LTI對象數(shù)據(jù)形式建立系統(tǒng)模型 G=tf (num, den) G=zpk (z, p ,k) G=ss (A,B,C,D) 再利用以下的函數(shù)語句實(shí)現(xiàn)不同模型的轉(zhuǎn)換 G1= tf (G) G2= zpk (G) G3= ss (G) 利用以下的函數(shù)語句獲取模型參數(shù) num, den= tfdata (G) z, p, k= zpkdata (G) A, B, C, D = s

12、sdata (G)1.2.2 1.2.2 模型的連接模型的連接(1) 并聯(lián)：parallel sys=parallel(sys1, sys2) 并聯(lián)連接兩個(gè)系統(tǒng)。 sys=parallel(sys1, sys2,inp1,inp2,out1,out2) inp1和inp2分別指定兩系統(tǒng)中要連接在一起的輸入端編號，從u1,u2,un依次編號為1,2,n； out1和out2分別指定要作相加的輸出端編號，編號方式與輸入類似。inp1和inp2既可以是標(biāo)量也可以是向量。out1和out2用法與之相同。如inp1=1,inp2=3表示系統(tǒng)1的第一個(gè)輸入端與系統(tǒng)2的第三個(gè)輸入端相連接。 若inp1=1

13、3,inp2=2 1則表示系統(tǒng)1的第一個(gè)輸入與系統(tǒng)2的第二個(gè)輸入連接，以及系統(tǒng)1的第三個(gè)輸入與系統(tǒng)2的第一個(gè)輸入連接。(2)串聯(lián)：seriessys=series(sys1, sys2) 串聯(lián)連接兩個(gè)系統(tǒng)。Sys=series(sys1, sys2,out1,in2) out1和in2分別指定系統(tǒng)1的部分輸出和系統(tǒng)2的部分輸入進(jìn)行連接。(3) 反饋：feedback sys=feedback(sys1, sys2) 將兩個(gè)系統(tǒng)按反饋方式連接，一般而言，系統(tǒng)1為對象，系統(tǒng)2為反饋控制器。 sys=feedback(sys1, sys2,sign)系統(tǒng)1的所有輸出連接到系統(tǒng)2的輸入，系統(tǒng)2的所有輸

14、出連接到系統(tǒng)1的輸入，sign用來指示系統(tǒng)2輸出到系統(tǒng)1輸入的連接符號，sign缺省時(shí)，默認(rèn)為負(fù)，即sign= -1?？傁到y(tǒng)的輸入/輸出數(shù)等同于系統(tǒng)1。 sys=feedback(sys1, sys2,inp1,out1) 部分反饋連接，將系統(tǒng)1的指定輸出out1連接到系統(tǒng)2的輸入，系統(tǒng)2的輸出連接到系統(tǒng)1的指定輸入inp1，以此構(gòu)成 閉環(huán)系統(tǒng)。第二節(jié) 常微分方程的數(shù)值解法常微分方程的數(shù)值解法 數(shù)字仿真就是對系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型即微分方程求數(shù)值解的過程，常用的方法： 常微分方程數(shù)值解； 連續(xù)系統(tǒng)離散相似法2.1 常微分方程數(shù)值解設(shè)常微分方程：00)(),(ytyytfdtdy求解微分方程滿足初始條件

15、的特解問題，即常微分方程的初值問題。使用數(shù)值解法求常微分方程的初值問題的方法： 離散點(diǎn)tk(k=1,2,n)，為計(jì)算方便，通常假設(shè)t1t2tn-1tn；相鄰兩點(diǎn)的距離為步長，即h=tk-1-tk 求近似解是一步一步進(jìn)行的，依據(jù)給定的(t0,y0)求y1，再由(t1,y1)求y2，然后求y3，稱為步進(jìn)法。 尋求數(shù)值解的方法，就是尋求由yk計(jì)算出yk+1（K=0,1,n)的遞推公式，稱為計(jì)算格式。2.2 數(shù)值積分法2.2.1 歐拉法設(shè)00)(),(ytyytfdtdy從微分的定義出發(fā)：取增量；求比值；取極限()( )limh0dyy thy tdth當(dāng)th足夠小時(shí)，由差商代替微商：htyhtyty

16、dtdy)()(),()()(ytfttytty整理得到：)(,)()(tytfttytty將初始條件代入：)(,)(,)()(0000000tytftytytfttytty例：0)()(2tyty1 . 0h10y)()(,2tytytf10y9 . 0) 1(1 . 01)(0201tyhyy819. 0)9 . 0(1 . 09 . 022y4627810. 010ytty11)(精確解t00.10.20.31.0精確解10.90909090.83333330.76923070.5數(shù)值解10.90.8190.75190.4627810歐拉法迭代公式001)(),(ytyytfhyykkkkdtdykf1kfkt1ktt如何提高精度？2.2.2 預(yù)估-校正法先用歐拉法預(yù)估：),(00*1ytfhyykk再用梯形公式校正：),(),(2*111kkkkkkytfytfhyy00)(yty將 簡寫