1、第十三章第十三章 能能 量量 法法 概述概述 應(yīng)變能應(yīng)變能余能余能 卡氏定理卡氏定理 用能量法解超靜定系統(tǒng)用能量法解超靜定系統(tǒng) 虛位移原理及單位力法虛位移原理及單位力法 本章主要介紹用能量法計(jì)算桿或簡(jiǎn)單桿系的本章主要介紹用能量法計(jì)算桿或簡(jiǎn)單桿系的位移或變形。位移或變形。 是固體力學(xué)的重要原理，它不僅可用是固體力學(xué)的重要原理，它不僅可用于分析構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的于分析構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的與與，還可用于分析，還可用于分析的其它問(wèn)題。的其它問(wèn)題。 利用功和能的概念求解可變形固體的位移、利用功和能的概念求解可變形固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法變形和內(nèi)力等的方法能量法能量法一、應(yīng)變能一、應(yīng)變能OD DFABF1D D1

2、OD DFF1D D11121FW DD101dFWlFV21EAlF22Ne21MVp22GIlTxEIxMVlMd2)(2xGAxFVld2)(2SsSSS通常，梁的剪切應(yīng)變能遠(yuǎn)小于彎曲應(yīng)變能。通常，梁的剪切應(yīng)變能遠(yuǎn)小于彎曲應(yīng)變能。Me在線彈性、小變形的條件下，每一基本變形的內(nèi)力僅在線彈性、小變形的條件下，每一基本變形的內(nèi)力僅在其相應(yīng)的基本變形上作功，在其他基本變形上不作功。在其相應(yīng)的基本變形上作功，在其他基本變形上不作功。xGIxTxEAxFVlld2)(d2)(0p202NxGAxFxEIxMlld2)(d2)(02Ss02，是，是或或的的。非線性函數(shù)非線性函數(shù)應(yīng)變能恒為應(yīng)變能恒為DD

3、10dFW一般情況：一般情況：s ss s1e ee e1s ss s1e ee e1s se ede eDD10dFWVe10deesW取取單元體單元體外力作功：外力作功：) 11 ( sF1De10deeesvzyxvVddddeeVVvVVddeee邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為dx、dy、dz的單元體：的單元體：桿：桿：11021d1eseseev11021d1ev2121eE2121sE2121G2121G的應(yīng)變能一般算式的應(yīng)變能一般算式 各外力按各外力按由零逐漸增加至由零逐漸增加至 為外力為外力沿沿的位移的位移nnFFFWVDDD2121212211DniiiF121 應(yīng)變能的大小由各力的應(yīng)變能的大

4、小由各力的決定，決定，與外力作用的與外力作用的無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 在線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)變能是在線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)變能是或或的的，應(yīng)變能的計(jì)算，應(yīng)變能的計(jì)算疊疊加原理。加原理。 ABl0.5 l F、M 由零逐由零逐漸增加到最終值漸增加到最終值A(chǔ)CMFV2121D應(yīng)變能：應(yīng)變能：EIMlEIFlC164823DEIMlEIFlA3162)16696(12232MFllMlFEI 驗(yàn)證驗(yàn)證AB 加加F，加加M)21(21AMCMCFMFFVDD應(yīng)變能：應(yīng)變能：EIFlCF483DEIMlAM3)16696(12232MFllMlFEIEIMlCM162DAB 加加M，加加F)21(21AFCFAMMFMVD

5、應(yīng)變能：應(yīng)變能：EIFlCF483DEIMlAM3)16696(12232MFllMlFEIEIFlAF162MFVVAB M、F 應(yīng)變能之和：應(yīng)變能之和：EIFlCF483DEIMlAM3)696(1232lMlFEIABAMCFMF2121DV例例1 1：完全相同的兩根桿原位于水平位置，桿：完全相同的兩根桿原位于水平位置，桿長(zhǎng)均為長(zhǎng)均為l，截面面積均為，截面面積均為A，彈性模量均為，彈性模量均為E，且，且均為線彈性的。在結(jié)點(diǎn)均為線彈性的。在結(jié)點(diǎn) B承受鉛垂荷載承受鉛垂荷載 F，試求力，試求力 F與結(jié)點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)B鉛垂位移鉛垂位移 D D 間的關(guān)系及桿系的應(yīng)變能。間的關(guān)系及桿系的應(yīng)變能。llBD

6、 DP5757 例例3-33-3llBD DB0sin2N FFB EAlFlNDsin2NFF CD變形后桿長(zhǎng)為：變形后桿長(zhǎng)為：lEAFll)1 (ND在三角形在三角形BCD中：中：22)(lllDDllD222lllDDEAFlN2lDtansin3 DlEAFllBD D CD3 DlEAF力力F 與變形與變形 D D 不是線性關(guān)系不是線性關(guān)系材料是線彈性的，但變形材料是線彈性的，但變形 D D 與力與力F 不是線性的不是線性的材料是非線性彈性的材料是非線性彈性的DD0dFVe應(yīng)變能：應(yīng)變能：DD D03dlEA3441lEADDF41二、余能二、余能DD10dFWD10cdFFW11c

7、DFWWD10ccdFFWVVcV10cdssevVVvVdcc外力：外力：F1、F2 Fn位移：位移：D D1、D D2 D Dn梁：梁：梁的梁的：),(21niVDDDD一、卡氏第一定理一、卡氏第一定理設(shè)外力按比例同設(shè)外力按比例同時(shí)由零增加到時(shí)由零增加到DniiiifWV10de加載過(guò)程中力加載過(guò)程中力和位移的和位移的ifi位移位移 D Di 有一有一dD Di 其它位移均保持不變其它位移均保持不變 ),(21niVVDDDD梁的應(yīng)變能也有一梁的應(yīng)變能也有一dVe eiiVVDDddeeiiFWDddWVdde外力功的外力功的iiVFDe下的彈性體下的彈性體iiVFDe卡氏第一定理卡氏第一

8、定理Fi ：廣義力：廣義力D Di ：廣義位移：廣義位移對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)卡氏第一定理的卡氏第一定理的：線性彈性體線性彈性體非線性彈性體非線性彈性體線位移線位移角位移角位移相對(duì)線位移相對(duì)線位移相對(duì)角位移相對(duì)角位移集中力集中力集中力偶集中力偶一對(duì)集中力一對(duì)集中力( (等量、反向等量、反向) )一對(duì)集中力偶一對(duì)集中力偶( (等量、反向等量、反向) )廣義力的量綱與廣義位移的量綱的乘積廣義力的量綱與廣義位移的量綱的乘積為為若廣義力為若廣義力為，則廣義位移為，則廣義位移為 ？ 例例1 1：圖示懸臂梁，長(zhǎng)為：圖示懸臂梁，長(zhǎng)為 l，彎曲剛度為，彎曲剛度為 EI，在自由端作用一力偶矩在自由端作用一力偶矩 Me，若已知

9、自由端的轉(zhuǎn)角，若已知自由端的轉(zhuǎn)角 ，梁材料為線彈性，試求力偶矩，梁材料為線彈性，試求力偶矩 Me。lEIP62 62 例例3-73-7lEI eVMe純彎曲純彎曲橫截面上只有彎矩橫截面上只有彎矩 MMMelxEIMV02d2r rrl撓曲線為撓曲線為EIMr1且且lEI22lEIlxEIlEI02d2)/(rEIM lEI位移：位移：D D1、D D2 D Dn二、卡氏第二定理二、卡氏第二定理梁：梁：外力：外力：F1、F2 Fn設(shè)外力按比例同設(shè)外力按比例同時(shí)由零增加到時(shí)由零增加到梁的梁的：),(21cniFFFFVniFiiifWV10ccd加載過(guò)程中位移加載過(guò)程中位移和力的和力的iif外力外

10、力 Fi 有一有一dFi 其它外力均保持不變其它外力均保持不變 ),(21ccniFFFFVV梁的余能也有一梁的余能也有一dVciiFFVVddcciiFWddcDccddWV 余功的余功的iiFVDcccWV ；卡氏第一定理、余能；卡氏第一定理、余能定理適用于定理適用于，卡氏第二定理適用于，卡氏第二定理適用于。iiFVDeiiFVDc余能定理余能定理余能定理余能定理：下的彈性體下的彈性體線性彈性體線性彈性體非線性彈性體非線性彈性體eVV c卡氏第二定理是余能定理的特例卡氏第二定理是余能定理的特例iiFVDe卡氏第二定理卡氏第二定理Fi ：廣義力：廣義力D Di ：廣義位移：廣義位移對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)0

11、00DFFV某點(diǎn)某點(diǎn)廣義力作用廣義力作用在該點(diǎn)在該點(diǎn)一廣義力一廣義力 F0計(jì)算應(yīng)變能計(jì)算應(yīng)變能 Ve e 例例2 2：直角曲拐：直角曲拐 ABC 各段各段 EI 和和 GIp 均為均為常數(shù)，試求常數(shù)，試求 C 處的鉛直位移。處的鉛直位移。M1(x)F xM2(x)F xT (x)F aBC 段：段：AB 段：段：利用內(nèi)力利用內(nèi)力 計(jì)算應(yīng)變能計(jì)算應(yīng)變能BC 段：對(duì)稱彎曲段：對(duì)稱彎曲AB 段：彎扭組合變形段：彎扭組合變形FVCVDxGIxTxEIxMxEIxMVllad2)(d2)(d2)(0p2022021axFxMEIxM011d)()(lxFxMEIxM022d)()(p2333)(GIlF

12、aEIlaF位移為位移為實(shí)際位移與力實(shí)際位移與力xFxTGIxTld)()(0p 例例3 3：平面剛架如圖所示，已知：平面剛架如圖所示，已知M、a，彎曲彎曲剛度為剛度為EI，試求截面，試求截面A的鉛垂位移。的鉛垂位移。ACaBMaACaBMaxFMxM01)(aFMxM02)(02N)(FxFxFxM01)(1)(02NFxFaFxM02)(000DFAVFV鏈接鏈接EIMa232EIMa232D DAV 與與 F0axFxMEIxM0011d)()(000DFAVFV00022002N2N0d)()(d)()(FaaxFxMEIxMxFxFEIxF返回返回 例例4 4：圖示桿系的各桿：圖示桿

13、系的各桿EA皆相同，桿長(zhǎng)皆相同，桿長(zhǎng)均為均為a。求桿系內(nèi)。求桿系內(nèi) A、B兩點(diǎn)的水平相對(duì)線位兩點(diǎn)的水平相對(duì)線位移移 D DAB 。AFCaDaBFaaaAFCaDaBFaaaniiiiiAElFV12N2niiiiiiFFAElF1NNFVABDEAFa35D DAB 方向水平方向水平A點(diǎn)平衡點(diǎn)平衡斜桿內(nèi)力斜桿內(nèi)力C點(diǎn)平衡點(diǎn)平衡中間桿內(nèi)力中間桿內(nèi)力解超靜定問(wèn)題要綜合考慮三方面解超靜定問(wèn)題要綜合考慮三方面幾何幾何方面方面 建立建立物理物理方面方面 建立建立靜力學(xué)靜力學(xué)方面方面 建立建立等直桿，發(fā)生基本變形，材料為線性彈性體等直桿，發(fā)生基本變形，材料為線性彈性體非等直桿或桿系結(jié)構(gòu)，受較復(fù)雜荷載作用

14、，非等直桿或桿系結(jié)構(gòu)，受較復(fù)雜荷載作用， 材料為非線性彈性體材料為非線性彈性體例例1 1：求圖示超靜定梁支座處的約束力。：求圖示超靜定梁支座處的約束力。ACBllEIEIACBllEIEIFB l 0.5ql 2 FC 2l 04qlFC 12FB1FA ql FB FC 04qlFA 32FB1將將 B 處約束作為處約束作為ACBllEIEIM1 (x) FA x 2qx 21AB段：段： x 0，l ，4ql x 3FB x 2qx 2121BC段：段： x 0，l ，M2 (x) FC x4ql x 1FB x21xFxMB21)(1xFxMB21)(2D DB 08qlFB 5BBFV

15、DelBxFxMEIxM011d)()(16qlFC 116qlFA 7lBxFxMEIxM022d)()(這種以力作為未知量求解超靜定問(wèn)題的方法這種以力作為未知量求解超靜定問(wèn)題的方法 一、虛位移原理一、虛位移原理平衡的平衡的充要條件充要條件011niiiniiWrF外力外力內(nèi)力內(nèi)力虛功虛功 We虛功虛功 WiWe Wi 0可變形固體的可變形固體的桿件的約束條件包括桿件的約束條件包括和桿件中和桿件中各單元體各單元體變形的變形的；桿件在荷載作用下發(fā)生的位移是微小量，且桿件在荷載作用下發(fā)生的位移是微小量，且滿足上述兩類約束條件滿足上述兩類約束條件。組合變形組合變形桿件的虛位移原理：桿件的虛位移原理

16、：DlniiiFMTFF)dddd(SN1iDdddd二、單位力法二、單位力法計(jì)算實(shí)際荷載作用下桿件上某一截面沿某一計(jì)算實(shí)際荷載作用下桿件上某一截面沿某一方向（后轉(zhuǎn)向）的位移方向（后轉(zhuǎn)向）的位移 D D：將將作用下桿件的位移及各微段兩作用下桿件的位移及各微段兩端橫截面間的變形位移當(dāng)作端橫截面間的變形位移當(dāng)作；在該截面加相應(yīng)的在該截面加相應(yīng)的，計(jì)算單位力引，計(jì)算單位力引起的內(nèi)力起的內(nèi)力SN,FMTF虛位移原理虛位移原理DlFMTF)dddd(1SN引起的位移：引起的位移：EAxF ddNpddGIxTEIxM ddGAxF ddSsDllGIxTTEAxFF0p0NNdd1llGAxFFEIxMM0SsS0ddSN,FMTF引起的內(nèi)力引起的內(nèi)力 例例1 1：用單位力法求圖示結(jié)構(gòu)：用單位力法求圖示結(jié)構(gòu)C點(diǎn)的豎向位移。點(diǎn)的豎向位移。已知桿已知桿BD 和桿和桿AC 的橫截面面積分別為的橫截面面積分別為 A1=5 cm2，A2=50 cm2，桿，桿AC 的慣性矩的慣性矩 I=6105 m4；各桿的；各桿的材料相同，材料相同，E=7104 MPa。FN1= 5FFN2=4F ，M1(x) =F x M2(x) =F ( 6x )FN1= 5M2 (x) =(