1、新人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊基本不等式-教學(xué)設(shè)計(jì)(1)新人教A版 必修第一冊第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式 基本不等式（共2課時(shí)）（第1課時(shí)） 本節(jié)課是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1第二章第二節(jié)基本不等式第1課時(shí)。從內(nèi)容上看學(xué)生原有知識(shí)的掌握情況為：初中的勾股定理知識(shí)及三角形相似的知識(shí)、圓的相關(guān)知識(shí)，會(huì)用作差比較法證明簡單的不等式，所以在學(xué)法上要指導(dǎo)學(xué)生：從代數(shù)與幾何的角度理解基本不等式。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察幾何圖形，進(jìn)行幾何與代數(shù)的結(jié)合運(yùn)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)結(jié)合的思想觀點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾

2、何意義，并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)數(shù)相等；B. 通過實(shí)例探究抽象基本不等式；通過多媒體體會(huì)基本不等式等號成立條件, 進(jìn)一步掌握基本不等式；C. 積極倡導(dǎo)同學(xué)們進(jìn)行幾何與代數(shù)的結(jié)合運(yùn)用，發(fā)現(xiàn)各種事物之間的普遍聯(lián)系.a.數(shù)學(xué)抽象：將問題轉(zhuǎn)化為基本不等式；b.邏輯推理：通過圖形，分析法與綜合法等證明基本不等式；c.數(shù)學(xué)運(yùn)算：準(zhǔn)確熟練運(yùn)用基本不等式；d.直觀想象：運(yùn)用圖像解釋基本不等式；e.數(shù)學(xué)建模：將問題轉(zhuǎn)化為基本不等式解決；1.教學(xué)重點(diǎn)：從不同角度探索不等式的證明過程，會(huì)用此不等式求某些簡單函數(shù)的最值；2.教學(xué)難點(diǎn)：基本不等式等號成立條件；多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素

3、養(yǎng)目標(biāo)（一）、情景導(dǎo)學(xué)如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，趙爽是為了證明勾股定理而繪制了弦圖。弦圖既標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就，又象一只轉(zhuǎn)動(dòng)的風(fēng)車，歡迎來自世界各地的數(shù)學(xué)家們。教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系思考1：這圖案中含有怎樣的幾何圖形？思考2：你能發(fā)現(xiàn)圖案中的相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？（二）、探索新知1探究圖形中的不等關(guān)系將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b（ab）,那么正方形的邊長為這樣，4個(gè)直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為由于4個(gè)直角三角形的面

4、積之和小于正方形的面積，我們就得到了一個(gè)不等式：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時(shí)，正方形EFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有（通過幾何畫板演示當(dāng)a=b時(shí)的圖像）2得到結(jié)論（重要不等式）：一般的，對于任意實(shí)數(shù)a,b，我們有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立。3思考證明：你能給出它的證明嗎（設(shè)計(jì)意圖：證明：因?yàn)?， 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立4（1）基本不等式：如果a0,b0,我們用、分別代替a、b ，可得，通常我們把上式寫作：基本不等式（a0,b0)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取等號）5.基本不等式：（1）在數(shù)學(xué)中，我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小

5、于它們的幾何平均數(shù).此不等式又叫均值不等式。（2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式如果學(xué)生類比重要不等式的證明給出證明，再介紹書上的分析法。用分析法證明：證明不等式證明：要證 只要證 只要證 只要證 顯然，是成立的當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，（3）中的等號成立 （3）理解基本不等式的幾何意義探究：你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a,BC=b過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD(1)AB表示什么(2)表示哪個(gè)線段(3)對應(yīng)哪個(gè)線段呢？（4）OD與CD的大小關(guān)系如何 易證tADtDB，那么D2AB即D.這個(gè)圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，

6、即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即ab時(shí)，等號成立.因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”【歸納總結(jié)】1、由趙爽弦圖我們得到了重要不等式：(1) 通過換元我們得到了基本不等式：（2）兩個(gè)不等式的區(qū)別和聯(lián)系：區(qū)別： a,b范圍不同;聯(lián)系:等號成立的條件相同（3）從形的角度來看，基本不等式具有特定的幾何意義；從數(shù)的角度來看，基本不等式揭示了“和”與“積”這兩種結(jié)構(gòu)間的不等關(guān)系（三）典例解析利用基本不等式求最值解析：解析：基本不等式的使用條件解析：解: , 當(dāng)且僅當(dāng) 2x=(1-2x), 即時(shí), 取“=”號.當(dāng)時(shí), 函數(shù) y=x(1-2x) 的最大值是.跟蹤訓(xùn)練通過介紹第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)

7、標(biāo) 的背景，進(jìn)行設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生觀察分析，發(fā)現(xiàn)圖形中蘊(yùn)藏的基本不等式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)，同時(shí)滲透數(shù)學(xué)文化，和愛國主義教育。通過圖形得到了重要不等式的幾何解釋，為了更準(zhǔn)確地感知和理解，再從數(shù)學(xué)的邏輯方面給出證明，不僅培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度，而且還可以從中學(xué)習(xí)到分析法證明的大體過程，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)。從不同的側(cè)面理解不等式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)。；通過典型例題的解析和跟蹤練習(xí)，讓學(xué)生明確運(yùn)用基本不等式的三個(gè)關(guān)鍵步驟；一正、二定、三相等，發(fā)展嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的思考習(xí)慣，訓(xùn)練思維的靈活性。三、達(dá)標(biāo)檢測1下列不等式中，正確的是()Aa4Ba

8、2b24ab Dx22解析：選0，則a4不成立，故A錯(cuò)；a1，b1，a2b24ab，故B錯(cuò)，a4，b16，則，故C錯(cuò)；由基本不等式可知D項(xiàng)正確2若a1，則a的最小值是()A2 Ba D3解析：選1，所以a10，所以aa11213.當(dāng)且僅當(dāng)a1即a2時(shí)取等號3若a，b都是正數(shù)，則的最小值為()A7 B8 C9 D10解析：選C.因?yàn)閍，b都是正數(shù)，所以5529，當(dāng)且僅當(dāng)b2a0時(shí)取等號4已知x0，y0，且1，則xy的最小值為_解析：xy(xy)1010210616.即x4，y12時(shí)等號成立，所以xy的最小值為16.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生運(yùn)用基本不等式解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)

9、思想，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。四、小結(jié)本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2b22ab；基本不等式；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用).五、作業(yè)1. 習(xí)題 1,2,4,5題2. 預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容生學(xué)生根據(jù)課堂學(xué)習(xí)，自主總結(jié)知識(shí)要點(diǎn)，及運(yùn)用的思想方法。注意總結(jié)自己在學(xué)習(xí)中的易錯(cuò)點(diǎn)； 基本不等式（第2課時(shí)） 本節(jié)課是人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1第二章第二節(jié)基本不等式第2課時(shí)。從內(nèi)容上看是對基本不等式在

10、實(shí)際問題中應(yīng)用的學(xué)習(xí)，通過問題解決，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在學(xué)法上要指導(dǎo)學(xué)生：從實(shí)際問題中列出數(shù)量關(guān)系式，進(jìn)而運(yùn)用基本不等式解應(yīng)用題，數(shù)學(xué)建模能力也是本節(jié)要體現(xiàn)的重要素養(yǎng)。對例題的處理可讓學(xué)生先思考，然后師生共同對解題思路進(jìn)行概括總結(jié)，使學(xué)生更深刻地領(lǐng)會(huì)和掌握解應(yīng)用題的方法和步驟。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 能夠運(yùn)用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問題；B. 圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生分析題意、設(shè)未知量、找出數(shù)量關(guān)系進(jìn)行求解這個(gè)中心。例題的安排從易到難、從簡單到復(fù)雜，適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知水平；C.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)以及思維的創(chuàng)新性和深刻性.a. 數(shù)學(xué)抽象：在實(shí)際

11、問題中抽象出不等式；b.邏輯推理：運(yùn)用基本不等式求最值的條件；c.數(shù)學(xué)運(yùn)算：靈活運(yùn)用基本不等式求最值；d.直觀想象：運(yùn)用圖像解釋基本不等式；e.數(shù)學(xué)建模：將問題轉(zhuǎn)化為基本不等式解決；1.重點(diǎn)：在實(shí)際問題中建立不等關(guān)系，并能正確運(yùn)用基本不等式求最值； 2.難點(diǎn)：注意運(yùn)用不等式求最大（?。┲档臈l件多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)（一）、小試牛刀1判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)對任意的a，bR，若a與b的和為定值，則ab有最大值()(2)若xy4，則xy的最小值為4.()(3)函數(shù)f(x)x2的最小值為21.()答案：（1） （2） （3） 2已知xy1且x0，y0，則的最小值是

12、()A2 B3 C4 D6解析：法一：4，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號，法二：24，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號答案：C（二）、探索新知問題1.用籬笆圍成一個(gè)面積為100m的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長、 寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？ABDC解：（1）設(shè)矩形菜園的長為 m,寬為 m,則 籬笆的長為2（）m由 ，可得 ，2（）等號當(dāng)且僅當(dāng)，因此，這個(gè)矩形的長、寬為10 m時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆為40m結(jié)論1：兩個(gè)正變量積為定值，則和有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)兩變量值相等時(shí)取最值.簡記“積定和最小”.問題2.用段長為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問這個(gè)矩形菜園的長和寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積

13、是多少？解：設(shè)矩形菜園的長為 m,寬為 m,則2（）=36，=18，矩形菜園的面積為，由 可得 ,可得等號當(dāng)且僅當(dāng) 因此，這個(gè)矩形的長、寬都為9 m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積為81結(jié)論2：兩個(gè)正變量和為定值，則積有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)兩變量值相等時(shí)取最值.簡記“和定積最大”.（三）典例解析 均值不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用 例1、某工廠要建造一個(gè)長方形無蓋貯水池，其容積為4800深為3 m。如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低最低造價(jià)為多少元分析：若底面的長和寬確定了，水池的造價(jià)也就確定了，因此可轉(zhuǎn)化為考察底面的長和寬各為多少時(shí)，水池的總造價(jià)最低

14、。解：設(shè)底面的長為 m,寬為 m, 水池總造價(jià)為 元，根據(jù)題意，有 由容積為4800可得 由基本不等式與不等式性質(zhì)，可得即 ， 可得等號當(dāng)且僅當(dāng)所以,將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長為40 m的正方形時(shí)總造價(jià)最低,最低造價(jià)為297600元跟蹤訓(xùn)練1.某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個(gè)矩形綜合性休閑廣場，其總面積為3 000 m2，其中場地四周(陰影部分)為通道，通道寬度均為2 m，中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場地(其中兩個(gè)小場地形狀相同)，塑膠運(yùn)動(dòng)場地占地面積為S平方米(1)分別寫出用x表示y和S的函數(shù)關(guān)系式(寫出函數(shù)定義域)；(2)怎樣設(shè)計(jì)能使S取得最大值，最大值為多

15、少？解析(1)由已知xy3 000,2a6y，則y(6x500)，S(x4)a(x6)a(2x10)a(2x10)(x5)(y6)3 0306x(6x0,b0,a+b=1,所以1+1a=1+a+ba=2+ba,同理1+1b=2+ab, 故1+1a1+1b=2+ba2+ab=5+2ba+ab5+4baab=5+4=9.所以1+1a1+1b9當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí),等號成立跟蹤訓(xùn)練1.已知：a，b，cR，求證：abc.證明：由基本不等式：2 2c，同理：2a，2b.三式相加即得：abc(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“”)【歸納總結(jié)】利用不等式a2b22ab和ab2(a0，b0)時(shí)，關(guān)鍵是對式子恰當(dāng)?shù)刈冃?，?/p>

16、理造成“和式”與“積式”的互化，必要時(shí)可多次應(yīng)用通過課堂小測，了解學(xué)生對基本不等式的掌握情況，暴露問題及時(shí)糾正。通過解題培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過簡單的應(yīng)用性問題，讓學(xué)生體會(huì)在實(shí)際問題中運(yùn)用基本不等式的步驟。培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過典型例題解析，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。；通過典型例題的解析和跟蹤練習(xí)，讓學(xué)生總結(jié)歸納，運(yùn)用基本不等式解決應(yīng)用問題的基本步驟。三、達(dá)標(biāo)檢測1已知正數(shù)a、b滿足ab10，則ab的最小值是()A。10 B25 C5 D2解析ab22，等號在ab時(shí)成立，選D2小王從甲地到乙地和從乙地到甲地的時(shí)速分別為a和b(ab)，其全程的平均時(shí)速為v，則()Aav BvCv Dv解析設(shè)從甲地到乙地的路程為s，則va0，vaav0,b0,c0,且a+b+c=1,求證:1a+1b+1c9.證明:因?yàn)閍0,b0,c0,且a+b+c=1,所以1a+1b+1c=1a+1b+1c(a+b+c)=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc3+2+2+2=9.當(dāng)且僅當(dāng)a