1、1微分方程微分方程求解求解總結(jié)總結(jié)求解流程圖求解流程圖2一階齊次可分離變量一階線性nyxQyxPy Bernoulli)()( )(0)()( xydUdyxyQdxxyP全微分方程xQyP齊次 0)(yxpy非齊次 )()(xQyxpy）（或令uyxuxyxyyxfy )(),(dxxhdyyg)()(變易先求齊次通解，再常數(shù))()()(CdxexQey dxxPdxxP 或或公公式式ny zn1 ) 1 , 0(令1.折線積分折線積分2.湊全微分湊全微分3.定積分定積分轉(zhuǎn)為轉(zhuǎn)為z的一階線性的一階線性關(guān)于關(guān)于u一階一階3二階線性方程0)()()(210 yxayxayxa)()()(21xf

2、yxayxay 二階變系數(shù)二階二階一階)(),(xpy yxfy 令令)(),(xypy yyfy 令令二階常系數(shù)齊次 0 qyypy非齊次 )(xfqyypy 解的結(jié)構(gòu)解的結(jié)構(gòu)0 2qprry特征方程：代數(shù)解法，*2211yycycyxrxrececyrr212121 . 1)( . 221211xcceyrrxr)sincos( . 3212, 1xcxceyirx4高階次連續(xù)積分nxfyn )()(方程Eulertnnnnnnexxfyyyxyx 令令 )(ppp1)1(11)(高階線性齊次常系數(shù)01) 1(1)( ypypypynnnn0111 nnnnprprpr 代數(shù)特征方程代數(shù)特

3、征方程P338P3485一、一階微分方程求解一、一階微分方程求解 1. 一階一階標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解類型方程求解 關(guān)鍵關(guān)鍵: 辨別方程類型辨別方程類型 , 掌握求解步驟掌握求解步驟2. 一階一階非標(biāo)準(zhǔn)非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解類型方程求解 (1) 變量代換法變量代換法 代換代換自變量自變量代換代換因變量因變量代換代換某組合式某組合式(2) 積分因子法積分因子法 選積分因子選積分因子, 解全微分方程解全微分方程四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)類型: 可分離變量方程可分離變量方程, 齊次方程齊次方程, 線性方程線性方程, 全微分方程全微分方程 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6例1. 求下列方程的通解求下列方程的

4、通解; 01) 1 (32xyeyy提示提示: (1),33xyxyeee因故為分離變量方程故為分離變量方程:通解通解;)2(22yyxyx;21)3(2yxy.2336)4(3223yyxyxxyxeyeyxydd32Ceexy331機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 7方程兩邊同除以方程兩邊同除以 x 即為齊次方程即為齊次方程 , ,0時(shí)xyyxyx22)2(時(shí)，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令令 y = u x ,化為分化為分離變量方程離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位調(diào)換自變量與因變量的地位 ,221)3(yxy,2dd2yxyx用線性方程通解公式求解用線性方

5、程通解公式求解 .化為化為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 832232336)4(yyxyxxy方法方法 1 這是一個(gè)齊次方程這是一個(gè)齊次方程 .方法方法 2 化為微分形式化為微分形式 0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故這是一個(gè)全微分方程故這是一個(gè)全微分方程 .xyu 令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xQyxyP69例2. 求下列方程的通解求下列方程的通解:)lnln() 1(yxyyyx提示提示: (1)令令 u = x y , 得得(2) 將方程改寫為將方程改寫為0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(220d)31(d)3()4(

6、22yyxxyxyuxuxulndd)(ln)(yxyyxxyyxxxy2ln21dd3(貝努里方程貝努里方程) 2 yz令(分離變量方程分離變量方程)原方程化為原方程化為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 10令 y = u tyyxxyxy22363)3(22) 1(2) 1(3dd22xyyxxy(齊次方程齊次方程)ytytty23dd22令 t = x 1 , 則則tyxttyxydddddddd可分離變量方程求解可分離變量方程求解化方程為化方程為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 110d)31(d)3()4(22yyxxyxy變方程為變方程為yxxydd2兩邊乘積分因子兩邊乘積分因

7、子2 y0)dd(3dd2yxxyyyxx用湊微分法得通解用湊微分法得通解:Cyxyx321120)dd(32yxxyy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12例例3.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)設(shè)F(x)f (x) g(x), 其中函數(shù)其中函數(shù) f(x), g(x) 在在(,+)內(nèi)滿足以下條件內(nèi)滿足以下條件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求求F(x) 所滿足的一階微分方程所滿足的一階微分方程 ;(03考研考研) (2) 求出求出F(x) 的表達(dá)式的表達(dá)式 .解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2

8、xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以所以F(x) 滿足的一階線性非齊次微分方程滿足的一階線性非齊次微分方程:.2)()(xexgxf13機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2) 由一階線性微分方程解的公式得由一階線性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，將0)0()0()0(gfF1C得于是于是 xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee2214練習(xí)題練習(xí)題:(題3只考慮方法及步驟)P353 題題2 求以求以1)(22yCx為通解的微分方程為通解的微分方程.提示提示:1)(22yCx02)(2yyCx消去消去 C 得得1)

9、1(22 yyP353 題題3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:xyyyx2) 1 (提示提示: 令 u = x y , 化成可分離變量方程化成可分離變量方程 :uu2) 1ln(ln)2(xxayxyx提示提示: 這是一階線性方程這是一階線性方程 , 其中其中,ln1)(xxxP)ln11()(xaxQP353 題題1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 15)ln(2dd)3(xyyxy提示提示: 可化為可化為關(guān)于關(guān)于 x 的一階線性方程的一階線性方程yyxyyxln22dd0dd)4(33yxyxxy提示

10、提示: 為貝努里方程為貝努里方程 , 令令2 yz0dddd)5(22yxyxyyyyxx提示提示: 為全微分方程為全微分方程 , 通解通解Cyxyxarctan)(21220dd)3()9(24xyxyxy提示提示: 可化為貝努里方程可化為貝努里方程xyxyxy43dd令令2xz 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 16原方程化為原方程化為 yxxy2)10(xyxu2, 即即,22uuxy則則xydduxuuxudd)(22故原方程通解故原方程通解Cyxxyx23)(33222ddxuuxuuexd2Cueuud2d2Cuuud21222232uCu u2xuxdd2xuudd2提示提示:

11、 令令機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 17二、兩類二階微分方程的解法二、兩類二階微分方程的解法 1. 可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次積分求解逐次積分求解 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 182. 二階線性微分方程的解法)(xfqyypy 常系數(shù)情形常系數(shù)情形齊次齊次非齊次非齊次代數(shù)法代數(shù)法 歐拉方程歐拉方程yx 2yxpyq)(xftDextdd,令qpDDD ) 1(y)(tef機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

12、 返回 結(jié)束 , 0 qyypy19二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟: :(1) (1) 寫出相應(yīng)的特征方程寫出相應(yīng)的特征方程(2) (2) 求出特征方程的兩個(gè)根求出特征方程的兩個(gè)根; 02 qprr(3) (3) 根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況, ,按照下列按照下列規(guī)則寫出微分方程的通解規(guī)則寫出微分方程的通解；與與21rr21rr ，特征方程的兩個(gè)根特征方程的兩個(gè)根微分方程的通解微分方程的通解21rr，兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)不相等的實(shí)根21rr 兩兩個(gè)個(gè)相相等等的的實(shí)實(shí)根根 ir 2, 1一對共軛復(fù)根一對共軛復(fù)根

13、xrxreCeCy2121 xrexCCy1)(21 )sincos(21xCxCeyx 求解二階常系數(shù)線性方程求解二階常系數(shù)線性方程20非齊非齊)(xfqyypy *2211*yycycyYy 通解通解齊次通解齊次通解非齊特解非齊特解難點(diǎn)：難點(diǎn)：如何求特解？如何求特解？方法：方法：待定系數(shù)法待定系數(shù)法.21 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k .i1,i0是單根是單根不是根不是根 k可以是復(fù)數(shù)）可以是復(fù)數(shù)） (),()()1(xPexfmx );(*xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(*xxRxxRexym

14、mxk (3). (3). 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形. .)(xfqyypy 22解答提示解答提示P353 題題2 求以求以xxeCeCy221為通解的微分方程為通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根為由通解式可知特征方程的根為,2,121rr故特征方程為故特征方程為,0)2)(1(rr0232 rr即因此微分方程為因此微分方程為023 yyyP353 題題3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解, 01)6(2 yyy.2sin52)7(xyyy 提示提示: (6) 令, )(ypy 則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)?01dd2 pyppyyy

15、pppd1d2即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 23特征根特征根:xyyy2sin52)7( ,212, 1ir齊次方程通解齊次方程通解:)2sin2cos(21xCxCeYx令非齊次方程特解為令非齊次方程特解為xBxAy2sin2cos*代入方程可得代入方程可得174171,BA思思 考考若若 (7) 中非齊次項(xiàng)改為中非齊次項(xiàng)改為,sin2x提示提示:,sin22cos12xxxBxAy2sin2cos*故D原方程通解為原方程通解為xx2sin2cos174171)2sin2cos(21xCxCeyx特解設(shè)法有何變化特解設(shè)法有何變化 ?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 24P354 題

16、4(2) 求解求解02 yay,00 xy10 xy提示提示: 令),(xpy 則方程變?yōu)閯t方程變?yōu)?ddpaxp積分得積分得,11Cxap利用利用100 xxyp11C得再解再解,11ddxaxy并利用并利用,00 xy定常數(shù).2C思考思考若問題改為求解若問題改為求解0321 yy,00 xy10 xy則求解過程中得則求解過程中得,112xp問開方時(shí)問開方時(shí)正負(fù)號(hào)如何確定正負(fù)號(hào)如何確定?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 25P354 題8 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)222, )(zyxrrfu在 r 0內(nèi)滿足拉普拉斯方程內(nèi)滿足拉普拉斯方程, 0222222zuyuxu)(rf其中二階可導(dǎo)二階可導(dǎo), 且且

17、,1) 1 () 1 ( ff試將方程化為以試將方程化為以 r 為自變?yōu)樽宰兞康某Ｎ⒎址匠塘康某Ｎ⒎址匠?, 并求并求 f (r) .提示提示:rxrfxu)( 2222)(rxrfxu )(rf r132rx利用對稱性利用對稱性, 0)(2)( rfrrf即即0)(2)(2 rfrrfr( 歐拉方程歐拉方程 )原方程可化為原方程可化為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 260)(2)(2 rfrrfr,lnrt 令1) 1 () 1 ( ff.12)(rrf解初值問題解初值問題:,ddtD 記則原方程化為則原方程化為 02) 1(fDDD02fDD即通解通解: teCCrf21)(rCC12

18、1利用初始條件得特解利用初始條件得特解: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 27xxCxCysincos21特征根特征根 :,2 , 1ir例1. 求微分方程求微分方程2, xxyy,00 xy,00 xy提示提示:,2時(shí)當(dāng)x故通解為故通解為)(sin2xxxy2,04 xyy滿足條件滿足條件2x在解滿足解滿足xyy ,00 xy00 xy處連續(xù)且可微的解處連續(xù)且可微的解.設(shè)特解設(shè)特解 :,BAxy代入方程定代入方程定 A, B, 得得xy , 0, 000 xxyy利用得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 282x由處的銜接條件可知處的銜接條件可知,2時(shí)當(dāng)x04 yy,122xy12xy解

19、滿足解滿足故所求解為故所求解為y,sinxx 2221,2cos)1 (2sinxxx2xxCxCy2cos2sin21其通解其通解:定解問題的解定解問題的解:2221,2cos)1 (2sinxxxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 29例2.,)(二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)設(shè)xf且滿足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(. )(xf求提示提示: ,)()(sin)(00 xxtdtfttdtfxxxf則xxfcos)()(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx)(xfx問題化為解初值問題問題化為解初值問題:xxfxfsin)()( ,0)0(f1)0( f最后求得最后求得xxxxfc

20、os2sin21)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 30思考思考: 設(shè), 0)0(,d)()(0 xxuuxxex?)(x如何求提示提示: 對積分換元對積分換元 ,uxt 令則有xxttex0d)()()()(xexx 解初值問題解初值問題: xexx )()(,0)0(1)0(答案答案:xxexex41) 12(41)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 31的解的解. 例例3. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),()(在xyy,)()(, 0的函數(shù)是xyyyxxy內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 試將試將 xx( y) 所滿足的微分方程所滿足的微分方程 變換為變

21、換為 yy(x) 所滿足的微分方程所滿足的微分方程 ;(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件求變換后的微分方程滿足初始條件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx, 0)0(y數(shù), 且23)0( y解解: ,1ddyyx, 1ddyxy即上式兩端對上式兩端對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得: (1) 由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知(03考研考研)32機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy 代入原微分方程得代入原微分方程得 xyysin (2) 方程方程的對應(yīng)齊次方程的通解為的對應(yīng)齊次方程的通解為 xxeCeCY21設(shè)

22、設(shè)的特解為的特解為 ,sincosxBxAy代入代入得得 A0,21B,sin21xy故從而得從而得的通解的通解: 33題 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xeCeCyxxsin2121由初始條件由初始條件 ,23)0(, 0)0(yy得1, 121CC故所求初值問題的解為故所求初值問題的解為 xeeyxxsin2134例4. 解解:欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星, 為使其擺脫地球?yàn)槭蛊鋽[脫地球 引力引力, 初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度, 試計(jì)算此速度試計(jì)算此速度.設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為 m , 地球質(zhì)量為地球質(zhì)量為 M , 衛(wèi)星衛(wèi)

23、星的質(zhì)心到地心的距離為的質(zhì)心到地心的距離為 h , 由牛頓第二定律得由牛頓第二定律得: 222ddhmMGthm00dd,vthRht,0v為(G 為引力系數(shù)為引力系數(shù))則有初值問題則有初值問題: 222ddhMGth又設(shè)衛(wèi)星的初速度又設(shè)衛(wèi)星的初速度，已知地球半徑51063R機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 35),(ddhvth設(shè),dddd22hvvth則代入原方程代入原方程, 得得2ddhMGhvvhhMGvvdd2兩邊積分得兩邊積分得ChMGv221利用初始條件利用初始條件, 得得RMGvC2021因此因此RhMGvv112121202221limvhRMGv12120注意到注意到 機(jī)

24、動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 36為使為使,0v應(yīng)滿足0vRMGv20因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)h = R (在地面上在地面上) 時(shí)時(shí), 引力引力 = 重力重力, )sm81. 9(22ggmhmMG即,2gRMG故代入代入即得即得81. 910632250gRv) s(m102 .113這說明第二宇宙速度為這說明第二宇宙速度為 skm2 .11機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 37求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)例5. 上的力上的力 F 所作的功與經(jīng)過的時(shí)間所作的功與經(jīng)過的時(shí)間 t 成正比成正比 ( 比例系數(shù)比例系數(shù),00vs初始速度為初始位移為).(tss 律提示提示:,d0tksFss由題設(shè)兩邊對兩

25、邊對 s 求導(dǎo)得求導(dǎo)得:stkFdd牛頓第二定律stktsmdddd22mktsts22ddddtdd2ddtsmk2 2ddts12 Ctmk為為 k), 開方如何定開方如何定 + ?已知一質(zhì)量為已知一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng), 作用在質(zhì)點(diǎn)作用在質(zhì)點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 38例6. 一鏈條掛在一釘子上一鏈條掛在一釘子上 , 啟動(dòng)時(shí)一端離釘子啟動(dòng)時(shí)一端離釘子 8 m ,另一端離釘子另一端離釘子 12 m , 如不計(jì)釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦如不計(jì)釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦 力力, 求鏈條滑下來所需的時(shí)間求鏈條滑下來所需的時(shí)間 .解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.

26、設(shè)在時(shí)刻設(shè)在時(shí)刻 t , 鏈條較長一段鏈條較長一段xox下垂下垂 x m ,又設(shè)鏈條線密度為常數(shù)又設(shè)鏈條線密度為常數(shù),此時(shí)鏈條受力此時(shí)鏈條受力Fgxgx)20(gx)10(2由牛頓第二定律由牛頓第二定律, 得得22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttxgxgtx10dd22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 39101 . 021 . 01tgtgeCeCx由初始條件得由初始條件得, 121CC故定解問題的解為故定解問題的解為解得解得24)10(1021 . 0 xxetg), 1(舍去另一根左端當(dāng) x = 20 m 時(shí),(s)625ln(10gt微分方程通解微分方程通解: 10

27、1 . 01 . 0tgtgeex思考思考: 若摩擦力為鏈條若摩擦力為鏈條 1 m 長的重量長的重量 , 定解問題的定解問題的數(shù)學(xué)模型是什么數(shù)學(xué)模型是什么 ?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 40摩擦力為鏈條摩擦力為鏈條 1 m 長的重量長的重量 時(shí)的數(shù)學(xué)模型為時(shí)的數(shù)學(xué)模型為xox不考慮摩擦力時(shí)的數(shù)學(xué)模型為不考慮摩擦力時(shí)的數(shù)學(xué)模型為g1(s)322419ln10gt22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx此時(shí)鏈條滑下來此時(shí)鏈條滑下來所需時(shí)間為所需時(shí)間為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 41yoy練習(xí)題練習(xí)題從船上向海中

28、沉放某種探測儀器從船上向海中沉放某種探測儀器, 按探測按探測要求要求, 需確定儀器的下沉深度需確定儀器的下沉深度 y 與下沉速度與下沉速度 v 之間的函之間的函數(shù)關(guān)系數(shù)關(guān)系. 設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉, 在下沉過程中還受到阻力和浮力作用在下沉過程中還受到阻力和浮力作用, 設(shè)儀器質(zhì)量為設(shè)儀器質(zhì)量為 m,體積為體積為B , 海水比重為海水比重為 ,儀器所受阻力與下沉速度成正儀器所受阻力與下沉速度成正 比比 , 比例系數(shù)為比例系數(shù)為 k ( k 0 ) , 試建立試建立 y 與與 v 所滿足的微分所滿足的微分方程方程, 并求出函數(shù)關(guān)系式并求出函數(shù)關(guān)系式 y = y (v) . ( 95考研考研 )提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.質(zhì)量 m體積 B由牛頓第二定律由牛頓第二定律B22ddtymvk重力重力浮力浮力 阻力阻力mgtvtydddd22tyyvddddyvvdd注意注意: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 42BgmvkBgmkBgmmvkmyln)(2vkBgmyvvmdd初始條件為初始條件為00yv用分離變量法解上述初值問題得用分離變量法解上述初值問題得yoy質(zhì)量 m體積 B得得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁