1、3.1 3.1 空間向量及其運算空間向量及其運算3.1.33.1.3空間向量的數(shù)量積運算空間向量的數(shù)量積運算第三章第三章 空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何D D 在三棱錐在三棱錐O OABCABC中，點中，點M M是是ABCABC的重心，的重心，求證：求證： . .1()3O MO AO BO C=+uuu ruuuruuu ruuu rO OA AB BC CM M1. 1. 空間空間向量共線定理向量共線定理, (0),/.b babab 對空間任意兩個向量a存在實數(shù) ，使得若若 ，則，則點點P P、A A、B B共線共線的充要條件是的充要條件是x xy y1 1。 O PxO AyO

2、B=+uuu ruuu ruuu r2. 2. 空間空間向量共面定理向量共面定理對空間任一點對空間任一點O O和不共線三點和不共線三點A A、B B、C C，若若 ，則點，則點P P在在平面平面ABCABC內(nèi)的充要條件是內(nèi)的充要條件是 x xy yz z1 1. .O PxO AyO BzO C=+uuu ruuu ruuu ruuu r若向量若向量 不共線，則向量不共線，則向量 與與 共共面的充要條件是：存在惟一的有序?qū)崝?shù)面的充要條件是：存在惟一的有序?qū)崝?shù)對對(x(x，y)y)，使，使 . .,b a,b ap pxayb 3.3.利用空間向量共線定理和共面定利用空間向量共線定理和共面定 理

3、，可以解決立體幾何中的共點、理，可以解決立體幾何中的共點、 共線、共面和平行等問題，這是共線、共面和平行等問題，這是 一種向量方法一種向量方法. .1.數(shù)量積的定義數(shù)量積的定義規(guī)定：規(guī)定： 000aa （1）兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，）兩向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，注意注意| cosabab 已知兩個已知兩個非零向量非零向量a 和和b ，它們的夾，它們的夾角為角為 ，我們把，我們把數(shù)量數(shù)量 叫做叫做a 與與b 的的數(shù)量積數(shù)量積（或內(nèi)積），記作（或內(nèi)積），記作a b ，即即| | |cosa b （2） a b不能寫成不能寫成ab ，不能省不能省.1.數(shù)量積的定義數(shù)量積的定義數(shù)量積數(shù)量積a ab b

4、等于等于a a的模與的模與b b在在a a方向上方向上的投影的投影b bcoscos的乘積，的乘積，或等于或等于 b b的模與的模與a a在在b b方向上的投影方向上的投影a acoscos的乘積，的乘積， 已知向量已知向量a、b、c和實數(shù)和實數(shù) ，則，則:(1);(2) ()()()(3)a bb aaba bababca cb c 數(shù)量積的運算律數(shù)量積的運算律數(shù)量積的性質(zhì)：數(shù)量積的性質(zhì)：2| | |a aaaa a 或（3）cos| | |a ba b 設(shè)設(shè)a，b都是都是非零向量非零向量，則：，則：（1 1）ab a b=0（2 2）當(dāng)當(dāng)a 與與b b 同向時，同向時，a b = 當(dāng)當(dāng)a

5、與與b 反向時，反向時， | a | | b |，a b =| a | | b |判斷垂直的又一條件判斷垂直的又一條件求模的方法求模的方法特別地特別地:求角的方法求角的方法例題講解例題講解例例1 1 用向量方法證明三垂線定理：平面用向量方法證明三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直垂直. .P PO OA Al例例2 2：用向量方法證明直線和平面垂直的：用向量方法證明直線和平面垂直的判定定理：判定定理：lmng已知已知m，n是平面是平面內(nèi)的兩條相交直線，內(nèi)的兩條相交直線，直線直線lm，ln，求證：，求證：l 小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè)1.1.由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間向量的數(shù)量積運算共面向量，所以空間向量的數(shù)量積運算與平面向量的數(shù)量積運算的理論體系完與平面向量的數(shù)量積運算的理論體系完全一樣全一樣. .2.2.對于空間線線垂直，線面垂直問題可對于空間線線垂直，線面垂直問題可以轉(zhuǎn)化為