1、第第3 3節(jié)節(jié) 第二型第二型( (對(duì)坐標(biāo)的對(duì)坐標(biāo)的) )曲面積分曲面積分一. 曲面?zhèn)鹊母拍?雙側(cè)曲面:.,.,nPnP來(lái)來(lái)的的相相應(yīng)應(yīng)的的法法向向量量也也回回到到原原置置時(shí)時(shí)續(xù)續(xù)變變化化又又回回到到原原來(lái)來(lái)的的位位邊邊界界而而任任意意連連的的不不越越過(guò)過(guò)上上在在當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)選選定定一一個(gè)個(gè)記記為為量量作作曲曲面面的的法法向向任任一一點(diǎn)點(diǎn)上上過(guò)過(guò)一一光光滑滑曲曲面面是是設(shè)設(shè).,面面雙雙側(cè)側(cè)曲曲面面也也稱(chēng)稱(chēng)為為有有向向曲曲故故曲曲面面的的側(cè)側(cè)取取定定了了法法向向量量即即選選取取了了區(qū)區(qū)分分曲曲面面的的兩兩側(cè)側(cè)量量的的指指向向來(lái)來(lái)可可以以通通過(guò)過(guò)曲曲面面上上的的法法向向?qū)?duì)于于雙雙側(cè)側(cè)曲曲面面.,),(

2、;,),(;,),(:;:后后側(cè)側(cè)前前側(cè)側(cè)分分為為左左側(cè)側(cè)右右側(cè)側(cè)分分為為下下側(cè)側(cè)上上側(cè)側(cè)分分為為側(cè)側(cè)封封閉閉曲曲面面分分為為內(nèi)內(nèi)側(cè)側(cè)和和外外一一般般地地zyfxzxfyyxfz二. 第二型曲面積分的概念 1. 流量問(wèn)題: 設(shè)一穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮液體(密度均勻,不妨假設(shè)密 度為1)以流速:)(.)(帶帶麥麥比比烏烏斯斯如如不不可可定定向向曲曲面面單單側(cè)側(cè)曲曲面面biusoM.,),(),(),(求求單單位位時(shí)時(shí)間間內(nèi)內(nèi)的的流流量量一一側(cè)側(cè)流流到到另另一一側(cè)側(cè)的的從從有有向向曲曲面面kzyxRjzyxQizyxPV.,均均指指有有向向曲曲面面在在第第二二型型曲曲面面積積分分中中.),(,處處指指

3、定定側(cè)側(cè)的的單單位位法法向向量量任任取取點(diǎn)點(diǎn)iiiiiiiMnAM nvA.,cos|,) 1 (指指定定側(cè)側(cè)的的單單位位法法向向量量則則為為常常向向量量的的區(qū)區(qū)域域平平面面上上面面積積為為為為若若nnVAVAVA .), 2 , 1(小小塊塊曲曲面面的的面面積積表表示示第第同同時(shí)時(shí)以以小小塊塊任任意意分分成成把把iAniiAni:,)2(分分成成以以下下幾幾步步一一般般情情況況下下近似分割),( ,)(CVnAVMVAiiiii光滑光滑量量上其它點(diǎn)處的單位法向上其它點(diǎn)處的單位法向上其它點(diǎn)處的流速上其它點(diǎn)處的流速.iiiiinVAA的的流流量量則則流流過(guò)過(guò)iiiiiiiiiiAMnnMVAnn

4、Vn )()(111.max ,)()(lim110的的直直徑徑其其中中iAdAMnMVniiiinid求和取極限.max,),()(, 1的的直直徑徑任任取取小小塊塊曲曲面面的的面面積積同同時(shí)時(shí)也也表表示示第第小小塊塊任任意意分分成成定定義義。把把有有上上在在向向量量函函數(shù)數(shù)有有向向光光滑滑曲曲面面為為設(shè)設(shè)iniiiiAdAMiAnMF2.定義：.)(處處指指定定側(cè)側(cè)的的單單位位法法向向量量在在有有向向曲曲面面iiMMn.)()(1iiiniAMnMF作作和和式式則則稱(chēng)稱(chēng)此此極極限限為為上上述述和和式式有有同同一一極極限限，的的取取法法如如何何，的的分分法法及及點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，無(wú)無(wú)論論若若當(dāng)當(dāng)iM

5、d 0記記為為曲曲面面積積分分的的上上的的第第二二型型（對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)向向曲曲面面在在有有,)( MFiiniidAMnMFdAMnMFdAMnMF)()(lim)()(,)()(10即即注.,),(),(),()().1 (第第二二型型曲曲面面積積分分存存在在上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)在在當(dāng)當(dāng)zyxRzyxQzyxPMF表達(dá)式第二型曲面積分的數(shù)量).3(,cos,cos,cos)(,cos,cos,cos)(iiiiMnMn設(shè)則有),(iiiiM,)()()(,)()2(dAMFdAMnMFdAMndA記記為為：則則第第二二型型曲曲面面積積分分也也可可記記.)(,的的方方向向方方向向?yàn)闉榈牡拇蟠笮⌒★@顯

6、然然的的面面積積元元為為有有向向曲曲面面稱(chēng)稱(chēng)MndAAdAdAddAzyxRdAzyxQdAzyxPcos),( cos),(cos),(dydxzyxRdxdzzyxQdzdyzyxP),(),(),(dAdydxdAdxdzdAdzdycoscoscos，其中cos),( cos),( cos),(lim)(10iiiiiiiiiiiiiiniidARAQAPdAMFdyRdxdxQdzdzPdy簡(jiǎn)記為.,:的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)坐標(biāo)特殊形式y(tǒng)xRdyRdxxzQdxQdzzyPdzPdy.),(),(),(),().4(dyRdxdxQdzdzPdyzyxRzyxQ

7、zyxPzyxV指定側(cè)的流量為流向曲面以速度.指定側(cè)的通量通過(guò)為向量場(chǎng)稱(chēng)一般地，F(xiàn)dAF3.性質(zhì)：dAFdAFdAFF2121)(:)1 (線性性 12)(:)2(21dAFdAFdAnF可加性.)()()()(取相反側(cè)的有向曲面表示與其中MnMFMnMF(3).方向性:.,),()4(的的方方程程故故滿(mǎn)滿(mǎn)足足上上在在曲曲面面點(diǎn)點(diǎn)zyxM三. 第二型曲面積分的計(jì)算：iiiiinidxyARdydxzyxRxyDyxzzdydxzyxRcos),(lim),(.)(, ),(:),(,10面上的投影域在上側(cè)或下側(cè)指定一側(cè)設(shè)為例以,)(.)()(cos, ,)(),(),(取上側(cè)取下側(cè)則的面積投影

8、域同時(shí)也表示平面上投影域在上在點(diǎn)xyixyixyiiiixyiiiiiiiAAxyAz故時(shí)則當(dāng)?shù)闹睆? 0,0,)(max1dddxyinixyiiiiidiiiiidnizRniAR)1)(,(,(lim1cos),(lim 00 xyiiiiidnizR)1)(,(,(lim0dydxzyxR),(dxdyyxzyxRDxy),(,(:其中.,2,2,號(hào)取時(shí)軸正向的夾角即法向量與取下側(cè)號(hào)取時(shí)軸正向的夾角即法向量與取上側(cè)zz,),(:平面上的投影域在類(lèi)似地有yzDzyxxyzDyzdydzzyzyxPdzdyzyxP),),(),(則2,:軸正向夾角即法向量與取后側(cè)號(hào)x, ),(:平面上的投

9、影域在xzDzxyyxzDxzdzdxzxyxQdxdzzyxQ),(,(),(則2,:軸正向夾角即法向量與取左側(cè)號(hào)y2,:軸正向夾角即法向量與取前側(cè)號(hào)x2,: 軸正向夾角即法向量與取右側(cè)號(hào)y,:, 1:)1 (2222yxzyxDxyoxyz1,10) 1 (22部分的下側(cè)在為錐面計(jì)算zyxzdydxz.322010222dddxdyyxdyzdxDxyxyD例 1解21, 1, 1:, 10,1:, 1:2222222下側(cè)上側(cè)yxzzyxzyxDxyoxyz112.1)2(22所圍曲面的內(nèi)側(cè)與平面為錐面zyxz.33213212dxdydyzdxdyzdxdyzdxxyDxyD解.:)()

10、(:22正正六六面面體體表表面面的的外外側(cè)側(cè)計(jì)計(jì)算算dydxxzydxdzxdzdyzxyIdzdyzxydzdyzxy )()()(654321654321yzDyzDdydzzydydzzay0000)0()(例 2解o 1 2 3 4 5 6 xyzaaa.0 ,0:,2140azayDaaydzdyyzaoa 1 ：)0 ,0( azayax 的前側(cè)；的前側(cè)； 2 ：)0 ,0( 0azayx 的后側(cè)；的后側(cè)； 3 ：)0 ,0( azaxay 的右側(cè)；的右側(cè)； 4 ：)0 ,0( 0azaxy 的左側(cè)；的左側(cè)； 5 ：)0 ,0( ayaxaz 的上側(cè)；的上側(cè)； 6 ：)0 ,0(

11、0ayaxz 的下側(cè)；的下側(cè)； . 0 0022002dzdxxdzdxxdxdzxxzDxzD,24002)2(0000)2(aaaxdyxyDadxxadxdyxyDdxdyyxyDdxdyxaydydxxzy444202aaaIo 1 2 3 4 5 6 xyzaaadydxxzydxdzxdzdyzxyI)()(22另解dvxyGauss)0(公公式式aaadzyxdydx000)(4a.)()()(:.2222222的的外外側(cè)側(cè)球球面面計(jì)計(jì)算算RczbyaxdydxzdxdzydzdyxIuvwo2222:, 1),(.,RwvuwvuJczwbyvaxu令令334)(2)(2),(

12、)222222(RcbadudvdwcbadudvdwwvuJcbawvuI 對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)性性例 3解dxdydzzyxdydxzdxdzydzdyxI)222(222.)()()(:.2222222的外側(cè)球面計(jì)算RczbyaxdydxzdxdzydzdyxIuvwodvducwdudwbvdwdvauIRwvuczwbyvaxu2)(2)(2)(.2222:.,令dwdvaudwdvau22)( )()(:后前而dRdadvdwwvRaRDvw0222022244例 3另解.:.338023)22(324222RwvDRaRavw其中).(38.38)( ,38)(:33232cbaRIRcdv

13、ducwRbdudwbv同樣. 0),(,),() 1 (dzdyzyxPyozxzyxP則則面面對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)關(guān)關(guān)于于且且曲曲面面是是偶偶函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于.),(2),(,),() 1 (前前半半則則面面對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)關(guān)關(guān)于于且且曲曲面面是是奇奇函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于dzdyzyxPdzdyzyxPyozxzyxP),(2(. 0),(,)(),()2(右右半半則則面面對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)關(guān)關(guān)于于且且曲曲面面函函數(shù)數(shù)奇奇是是偶偶關(guān)關(guān)于于dxdzzyxQdxdzzyxQxozyzyxQ),(2(. 0),(,)(),()3(上上半半則則面面對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)關(guān)關(guān)于于且且曲曲面面函函數(shù)數(shù)奇奇是是偶偶關(guān)關(guān)于于dydxzyxRdydxzy

14、xRxoyzzyxR.:.22222的的外外側(cè)側(cè)球球面面計(jì)計(jì)算算RzyxdydxzdzxdyI例 4法1后后前前直直接接計(jì)計(jì)算算dzxdydzxdydzxdy)(DyzDyzdydzzyRdydzzyR)(2222223023220222022234)(31422RRdRddydzzyRRRDyz 下下上上dydxzdydxzdydxz2220)()()(22222222DxyDxydxdyyxRdxdyyxR3334034RRI 故故法202)(2前前利利用用對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)性性dzxdydydxzdzxdyIDyzdydzzyR2222334R 法3dvzdydxzdzxdyIGauss)21 ()(2公公式式利利用用334R dv對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)性性dydxzyxxyzzdxdzzxydzdyzexIazyxazyx222222222)1 ()(.,)0(2計(jì)計(jì)算算的的內(nèi)內(nèi)側(cè)側(cè)為為曲曲面面設(shè)設(shè):利利用用對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)性性得得dydxaxyzzdzxdydydxzyxxyzzdzxdy222)1 ( )1 ( I 例 50)211