1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 幾何綜合知識框架幾何綜合題型一般以基本圖形（正方形、特殊平行四邊形、等邊、等腰、直角三角形等）為載體，考查運用圖形變換（平移、旋轉、軸對稱）分析圖形中基本量之間的數(shù)量關系的探究過程。涉及初中數(shù)學九大幾何模型：1、 中點類輔助線2、 角平分線、垂直平分線類輔助線3、 相似模型4、 旋轉之手拉手模型5、 旋轉之對角互補模型6、 旋轉之半角模型7、 旋轉之構造等邊三角形8、 旋轉之費馬點模型9、 最短距離問題解題思路：從復雜的圖形中“抽”出簡單圖形，在簡單圖形中進行邏輯推導，應用相關幾何模型，找到解題思路。知識梳理中點類輔助線見中點-倍長中線：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段

2、，都可以考慮倍長中線，倍長中線的目的是可以旋轉等長度的線段，從而達到將條件進行轉化的目的。在ABC中, AD是BC邊中線。方式1：直接倍長，(圖1)： 延長AD到E，使DE=AD，連接BE 例：已知在ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，且BE=AC，延長BE交AC于F，求證：AF=EF方式2：間接倍長1) （圖2）作CFAD于F，作BEAD的延長線于E, 連接BE 2) （圖3）延長MD到N，使DN=MD，連接CD例：如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.方式3：平行線間線段有中點如圖：ADBE，F(xiàn)為DE中點。可構造8字全等 A

3、DFHEF。 例：如圖，在矩形ABCD中，BD=BE，F(xiàn)為DE中點。試探究AF與CF之間的位置關系。 例：如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB，M為AD中點，CEAB。求證：EMD=3MEA。 見多個中點-構造中位線： 已知三角形的兩邊有中點，可以連接這兩個中點構造中位線； 已知一邊中點，可以在另一邊上取中點，連接構造中位線； 已知一邊中點，過中點作平行線可構造相似三角形. 例：如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。求證：BGE=CHE。見等腰三角形底邊中點-連接頂點與中點，構造三線合一 直角三角形斜邊中線：直角三

4、角形中，有斜邊中點時常作斜邊中線；有斜邊的倍分關系線段時，也常常作斜邊中線如圖，在RtABC中，D為斜邊AB的中點，連接CD，則得CD=AD=BD，從而構造出等腰三角形。角平分線、垂直平分線類輔助線角平分線：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等。對于有角平分線的題目輔助線的作法，一般有四種。 由角的平分線上的一點向角的一邊或兩邊作垂線，利用角平分線性質。 以角的平分線為軸，將圖形翻折，在角的平分線兩側構造全等三角形。 當題設有角平分線及與角平分線垂直的線段，可延長這條線段與角的另一邊相交，構成等腰三角形，利用等腰三角形的“三線合一”  過角的一邊上的點，作另一邊的平行線，

5、構成等腰三角形“角平分線+平行，必出等腰 ”例：如下圖，在ABC中，A的平分線AD交BC于點D，且AB=AD，CMAD交AD的延長線于點M. 垂直平分線：a、對稱性；b、垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。 例：如圖，Rt ABC中，ACB=90°，AD平分BAC， 作AD的垂直平分線EF交AD于點E，交BC的延長線于點F，交AB于點G，交AC于點H（1）依題意補全圖形（2）求證：BAD=BFG（3）試猜想AB，F(xiàn)B和FD之間的數(shù)量關系并進行證明相似模型平行A字型、8字型：斜交A字型、8字型： 共享型（母子型）： 雙共享型：雙A字型：一線三等角型：旋轉之手拉手模型手拉手全等特點：

6、由兩個等頂角的等腰三角形所組成，并且頂角的頂點為公共頂點 結論：（1）ABC ABC （2）BOB=BAB（3）OA平分BOC 例：如圖在直線的同一側作兩個等邊三角形與，連結與，證明：（1） （2）（3） 與之間的夾角為（4）（5）（6） 平分（7）手拉手相似特點：由兩個相似三角形所組成，并且一組等角的頂點為公共頂點 結論：（1）AOCBOD （2）AEB=AOB例：如圖，兩個正方形ABCD與DEFG,連結CE、AG,二者相交于點H。求：（1）AG=CE （2）AG與CE之間的夾角為多少度？ （3）HD平分AHE旋轉之對角互補模型對角互補，鄰邊相等。 （全等型90°）【條件】：AOB

7、=DCE=90°；OC平分AOB【結論】：CD=CE；OD+OE=OC；當DCE的一邊交AO的延長線于D時： 以上三個結論：CD=CE；OE-OD=OC；（全等型120°） （全等型任意角）【條件】：AOB=2DCE=120°；OC平分AOB【結論】：CD=CE；OD+OE=OC；對角互補模型總結：常見初始條件：四邊形對角互補，注意兩點：四點共圓有直角三角形斜邊中線；初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別；注意OC平分AOB時，CDE=CED=COA=COB如何引導？旋轉之半角模型角含半角要旋轉：構造兩次全等【條件】：正方形ABCD；EAF=45°；【

8、結論】：EF=DF+BE；CEF的周長為正方形ABCD周長的一半；也可以這樣：【條件】：正方形ABCD；EF=DF+BE；【結論】：EAF=45°；【條件】：正方形ABCD；EAF=45°；【結論】：EF=DF-BE；【條件】：RtABC；DAE=45°；【結論】：； 若DAE旋轉到ABC外部時，結論仍然成立旋轉之構造等邊三角形等邊三角形是一個具有豐富性質的完美圖形,這些性質為我們解幾何題提供了新的理論依據(jù),所以尋找、發(fā)現(xiàn)等邊三角形是解一些幾何題的關鍵.例：在四邊形ABCD中，ABC=60°，AB=BC，ADC=30°證明：。分析：待證結論讓我

9、們聯(lián)想到勾股定理，需要通過添加輔助線將AD、CD（作為直角邊）和BD（作為斜邊）集中到一個直角三角形中。例: 如圖，ABC是等邊三角形，D，E分別是AC，BC邊上的點，且AD = CE，連接BD，AE相交于點F（1）BFE的度數(shù)是 （2）如果，那么 （3）如果時，請用含n的式子表示AF，BF的數(shù)量關系，并證明例: 如圖，正方形ABCD，將邊CD繞點C順時針旋轉60°，得到線段CE，連接DE，AE，BD交于點F（1）求AFB的度數(shù)（2）求證：BF=EF（3）連接CF，直接用等式表示線段 AB，CF，EF的數(shù)量關系旋轉之費馬點模型“費馬點”是指位于三角形內且到三角形三個頂點距離之和最短的

10、點.若給定一個三角形ABC 的話，從這個三角形的費馬點 P 到三角形的三個頂點 A、B、C 的距離之和比從其它點算起的都要小.這個特殊點對于每個給定的三角形都只有一個.問題：如圖 1，如何找點 P 使它到ABC 三個頂點的距離之和 PA+PB+PC 最小？圖文解析：如圖 1，把APC 繞 C 點順時針旋轉 60°得到APC，連接 PP 則CPP為等邊三角形，CP= PP，PA =PA，PA+PB+PC= PA+ PB+ PP ³ B C點 A可看成是線段CA 繞 C 點順時針旋轉60°而得到的定點，BA為定長。當 B、P、P、A 四點在同一直線上時，PA+PB+P

11、C 最小。APC=A PC=180°-CPP=180°-60°=120°，BPC=180°-PPC=180°-60°=120°，APC=360°-BPC-APC=360°-120°-120°=120°.因此，當ABC 的每一個內角都小于 120°時，所求的點 P 對三角形每邊的張角都是 120°，所以三角形的費馬點也稱為三角形的等角中心.當有一內角大于或等于 120°時，所求的 P 點就是鈍角的頂點費馬點問題告訴我們，存在這么一個點到三

12、個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉變換例：四邊形 ABCD 是正方形，ABE 是等邊三角形，M 為對角線 BD（不含 B 點）上任意一點，將 BM 繞點 B 逆時針旋轉 600 得到 BN，連接 EN、AM、CM.（1）求證:AMBENB；（2）當 M 點在何處時，AMBMCM 的值最小，并說明理由； 最短距離問題三角形-兩邊之和大于第三邊型1.直線l和l的異側兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。2.直線l和l的同側兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。3.點P是MON內的一點，分別在OM，ON上作點A，B。使PAB的周長最小。兩點之間的距離-線段最短

13、型4.點P，Q為MON內的兩點，分別在OM，ON上作點A，B。使四邊形PAQB的周長最小。點到直線的距離-垂線段最短型5. .如圖，點A是MON內的一點，在射線OM上作點P，使PA與點P到射線ON的距離之和最小。典例精講【2018西城期末】如圖1，在RtAOB中，AOB=90°，OAB=30°，點C在線段OB上， OC=2BC，AO邊上的一點D滿足OCD=30°將OCD繞點O逆時針旋轉度（90°<<180°）得到，C，D兩點的對應點分別為點，連接，取的中點M，連接OM（1）如圖2，當AB時，=_°，此時OM 和之間的位置關

14、系為_；（2）畫圖探究線段OM和之間的位置關系和數(shù)量關系，并加以證明 圖1 圖2 備用圖【2018海淀期末】在ABC中，A90°，ABAC （1）如圖1，ABC 的角平分線BD，CE交于點Q，請判斷“”是否正確：_（填“是”或“否”）；（2）點P是ABC所在平面內的一點，連接PA，PB，且PBPA 如圖2，點P在ABC內，ABP30°，求PAB的大?。?如圖3，點P在ABC外，連接PC，設APC，BPC，用等式表示，之間的數(shù)量關系，并證明你的結論 圖1 圖2 圖3【2018昌平期末】已知，ABC中，ACB=90°，AC=BC，點D為BC邊上的一點. （1）以點C為

15、旋轉中心，將 ACD逆時針旋轉90°，得到BCE，請你畫出旋轉后的圖形；（2）延長AD交BE于點F，求證：AFBE； （3）若AC= ，BF=1，連接CF，則CF的長度為 . 【2018豐臺期末】如圖，BAD=90°，AB=AD，CB=CD，一個以點C為頂點的45°角繞點C旋轉，角的兩邊與BA，DA交于點M，N，與BA，DA的延長線交于點E，F(xiàn)，連接AC.（1）在FCE旋轉的過程中，當FCA=ECA時，如圖1，求證：AE=AF； （2）在FCE旋轉的過程中，當FCAECA時，如圖2，如果B=30°，CB=2， 用等式表示線段AE，AF之間的數(shù)量關系，并證

16、明.圖2圖1【2018門頭溝期末】如圖27-1有兩條長度相等的相交線段AB、CD，它們相交的銳角中有一個角為60°，為了探究AD、CB與CD(或AB)之間的關系，小亮進行了如下嘗試：（1）在其他條件不變的情況下使得，如圖27-2，將線段AB沿AD方向平移AD的長度，得到線段DE,然后聯(lián)結BE,進而利用所學知識得到AD、CB與CD(或AB)之間的關系：_；(直接寫出結果)（2）根據(jù)小亮的經驗，請對圖27-1的情況（AD與CB不平行）進行嘗試，寫出AD、CB與CD(或AB)之間的關系，并進行證明；圖27-2圖27-1（3）綜合（1）、（2）的證明結果，請寫出完整的結論: _.【2018懷

17、柔期末】在等腰ABC中，AB=AC，將線段BA繞點B順時針旋轉到BD，使BDAC于H，連結AD并延長交BC的延長線于點P.(1)依題意補全圖形；(2)若BAC=2，求BDA的大小（用含的式子表示）；(3)小明作了點D關于直線BC的對稱點點E，從而用等式表示線段DP與BC之間的數(shù)量關系.請你用小明的思路補全圖形并證明線段DP與BC之間的數(shù)量關系.【2018平谷期末】如圖，在RtABC中，BAC=90°，AB=AC在平面內任取一點D，連結AD（ADAB），將線段AD繞點A逆時針旋轉90°，得到線段AE，連結DE，CE，BD （1）請根據(jù)題意補全圖1；（2）猜測BD和CE的數(shù)量關

18、系并證明； （3）作射線BD，CE交于點P，把ADE繞點A旋轉，當EAC=90°，AB=2，AD=1時，補全圖形，直接寫出PB的長備用圖圖1【2018朝陽期末】22、綠色植物的一些細胞能進行光合作用，制造養(yǎng)料，它們好像是一個個微小的工廠?！?018通州期末】如圖1，在矩形中，點為邊中點，點為邊中點；點，為邊三等分點，為邊三等分點.小瑞分別用不同的方式連接矩形對邊上的點，如圖2，圖3所示.那么，圖2中四邊形的面積與圖3中四邊形的面積相等嗎？12、太陽是太陽系里唯一發(fā)光的恒星，直徑是千米。（1）小瑞的探究過程如下7、我們每個人應該怎樣保護身邊的環(huán)境？ 18、建立自然保護區(qū)是保護生物多樣性的有效方法，我國的九寨溝、長白山、四川臥龍等地都建立了自然保護區(qū)，自然保護區(qū)為物種的生存、繁衍提供了良好的場所。 圖1 圖2 圖315、為了便于辨認，人們把看起來不動的星星分成群，劃分成不同的區(qū)域，根據(jù)其形態(tài)想象成人、動物或其他物體的形狀，并且給它們命名。天空中這些被人們分成的許多區(qū)域就稱為星座。在圖2中，小瑞發(fā)現(xiàn)， ；在圖3中，小瑞對四邊形面積的探究如下. 請你將小瑞的思路填