1、電子科技大學(xué)3.1 正正 態(tài)態(tài) 過過 程程 在現(xiàn)實問題中在現(xiàn)實問題中, ,滿足一定條件的隨機(jī)變量滿足一定條件的隨機(jī)變量之和的極限服從正態(tài)分布之和的極限服從正態(tài)分布. . 電子技術(shù)中的熱噪聲是由大量的熱運動電子技術(shù)中的熱噪聲是由大量的熱運動引起引起, ,也服從正態(tài)分布也服從正態(tài)分布. . 由于一個隨機(jī)過程可以用有限維分布來由于一個隨機(jī)過程可以用有限維分布來描述描述, ,為研究正態(tài)過程應(yīng)首先研究多維正態(tài)為研究正態(tài)過程應(yīng)首先研究多維正態(tài)分布隨機(jī)變量分布隨機(jī)變量. .電子科技大學(xué)一、多維正態(tài)隨機(jī)變量一、多維正態(tài)隨機(jī)變量1.概率密度與特征函數(shù)概率密度與特征函數(shù) 若若(X,Y) );,;,(222211N

2、(X,Y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 221121),( yx2211222221122()() ()()1exp22(1)xxyy 電子科技大學(xué)記記,)()(21 YEXEYXE 22212121B yxX其中其中10,20,| |2時，不能寫出時，不能寫出n維聯(lián)合正態(tài)概率維聯(lián)合正態(tài)概率密度密度.RttYtXtZ ),()()(證明證明 Z(t)是正態(tài)過程。是正態(tài)過程。證證 對任意正整數(shù)對任意正整數(shù) n 及及 Rtttn ,21 Ex.3 設(shè)隨機(jī)過程設(shè)隨機(jī)過程X(t), tT 和和Y(t), tT 相互獨立，都是正態(tài)隨機(jī)過程，設(shè)相互獨立，都是正態(tài)隨機(jī)過程，設(shè))(,),(),(21ntX

3、tXtX)(,),(),(21ntYtYtY電子科技大學(xué)都是都是n維聯(lián)合正態(tài)隨機(jī)向量，并相互獨立。維聯(lián)合正態(tài)隨機(jī)向量，并相互獨立。 )(,),(),(21ntZtZtZ的的n維特征函數(shù)為維特征函數(shù)為),;,(2121nnzuuuttt )()()()(111nnntYtXutYtXuieE )()()()(1111nnnntYutYuitXutXuieeEE 21exp21expuCuuiuCuuiYYXX 21)(expuCuuCuuiYXYX 電子科技大學(xué))(21)(expuCCuuiYXYX 問題問題：CX+CY是否是上隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣？是否是上隨機(jī)向量的協(xié)方差矩陣？ 由特征函數(shù)和分

4、布函數(shù)的惟一性定理知由特征函數(shù)和分布函數(shù)的惟一性定理知)(,),(),(21ntZtZtZ是正態(tài)隨機(jī)向量是正態(tài)隨機(jī)向量.根據(jù)數(shù)學(xué)期望與協(xié)方差的性質(zhì)根據(jù)數(shù)學(xué)期望與協(xié)方差的性質(zhì))(),()(),()()(),()(21212211tYtYCOVtXtXCOVtYtXtYtXCOV 電子科技大學(xué)實際應(yīng)用實際應(yīng)用 怎樣驗證隨機(jī)過程怎樣驗證隨機(jī)過程XT=X(t), tT是正態(tài)是正態(tài)隨機(jī)過程隨機(jī)過程? ?)(,),(),(21ntZtZtZYX 的均值向量為的均值向量為YXCC 協(xié)方差矩陣為協(xié)方差矩陣為 .問題問題：能否保證是非退化正態(tài)過程？：能否保證是非退化正態(tài)過程？ 任取任取n1 , , 及及 t1,

5、 t2 , ,tn T，記，記X=(X(t1),X(tn)，電子科技大學(xué)1) 計算計算X的的n維協(xié)方差矩陣維協(xié)方差矩陣B；2) 驗證驗證B的正定性；的正定性；3) 求正交矩陣求正交矩陣U, ,使使UBU ndddD21算法步驟如下：算法步驟如下：4) 令令Y=UX, ,Y的協(xié)方差矩陣為的協(xié)方差矩陣為D；稱將稱將X去相關(guān)去相關(guān)電子科技大學(xué)5) 檢驗檢驗Y=(Y1,Y2, ,Yn)的獨立性；的獨立性；6) 檢驗檢驗Y的一維分布的正態(tài)性的一維分布的正態(tài)性. .隨機(jī)過程統(tǒng)隨機(jī)過程統(tǒng)計推斷問題計推斷問題結(jié)論結(jié)論 若檢驗得若檢驗得Y=(Y1,Y2, ,Yn)是相互獨立的正態(tài)是相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，X=U1Y是是n維正態(tài)隨機(jī)變量維正態(tài)隨機(jī)變量, ,即即XT=X(t), tT是正