1、第十章數(shù)字圖像變換 數(shù)字圖像處理的方法分為兩類：空間域處理法和頻域法。 空間域：計(jì)算復(fù)雜、費(fèi)時(shí)，甚至難以實(shí)現(xiàn)。 頻域：運(yùn)算速度高、可用濾波技術(shù)簡(jiǎn)化運(yùn)算。 圖像變換可以將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，然后在頻率域?qū)D像進(jìn)行各種處理，再將所得到的結(jié)果進(jìn)行反變換，即從頻率域變換到空間域，從而達(dá)到圖像處理的目的。第十章圖像變換 圖像處理中應(yīng)用正交變換，進(jìn)行如圖像增強(qiáng)、復(fù)原、編碼、描述和特征提取。 正交變換 ： 正弦型變換：正弦型變換：傅里葉變換、余弦變換和正弦變換。 方波型變換：方波型變換：哈達(dá)瑪（Hadamarn）變換、沃爾什（ Walsh）變換、斜變換、小波變換。 基于特征向量的變換基于特征向量的變換

2、：主要包括Hotelling變換、KL變換和SVD變換。第十章 圖像變換 10.1 10.1 頻域世界與頻域變換頻域世界與頻域變換10.2 10.2 傅立葉變換傅立葉變換10.3 10.3 離散余弦變換離散余弦變換 10.4 10.4 離散沃爾什哈達(dá)瑪變換離散沃爾什哈達(dá)瑪變換 10.5 10.5 小波變換簡(jiǎn)介小波變換簡(jiǎn)介 10.1 10.1 頻域世界與頻域變換頻域世界與頻域變換任意波形可分解為正弦波的加權(quán)和任意波形可分解為正弦波的加權(quán)和 y1 = Sin(x + /2) A=1, = /2, f=1/ 2 y2=0.5sin(2x+ ) A=0.5, = , f=1/ y3=0.25sin(4

3、x+ 3 /2) A=0.25, = 3 /2 , f=2/ y= Sin(x + /2) + 0.5sin(2x+ ) + 0.25sin(4x+ 3 /2) x 0,4 波形的頻域表示波形的頻域表示y= Sin(x + /2) + 0.5sin(2x+ ) + 0.25sin(4x+ 3 /2) x 0,4 f=w/2 幅頻特性幅頻特性Af0.250.510.751/2 3/2 1/ 2/ 相頻特性相頻特性f /2 2 3 /21/2 3/2 1/ 2/ 10.110.1頻域世界與頻域變換頻域世界與頻域變換幅頻特性幅頻特性Af0.250.510.751/2 3/2 1/ 2/ 相頻特性相頻

4、特性f /2 2 3 /21/2 3/2 1/ 2/ iiiff4log2)(2ifiiiffA212)(20)2sin()(iiiixfAxy10.1 10.1 頻域世界與頻域變換頻域世界與頻域變換710.2傅里葉變換: 112T直流分量基波分量n =1 諧波分量n11n)sincos()(11101tnbtnaatfnnn一：周期函數(shù)的傅里葉變換：一：周期函數(shù)的傅里葉變換：8100.cos).(211TttndttntfTadttntfTbTttn.sin).(210011直流系數(shù)余弦分量系數(shù)正弦分量系數(shù)10.2傅里葉變換:100).(110TttdttfTa1：周期函數(shù)的頻譜分析910.

5、2傅里葉變換:2：周期函數(shù)的復(fù)指數(shù)級(jí)數(shù)l由前知l由歐拉公式l其中)sincos()(11101tnbtnaatfnnntjnnenFtf1)()(1)(21)(1nnjbanF)(21)(1nnjbanF0)0(aF引入了負(fù)頻率10.2傅里葉變換:二：非周期函數(shù)傅立葉變換二：非周期函數(shù)傅立葉變換分析分析式：式：()()j w tFwfted t deFtftj. )(21)(10.2傅里葉變換: 假定以間隔x對(duì)一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(x)均勻采樣，離散化為一個(gè)序列 f(x0), f(x0+x), fx0+(N1)x（如圖3.3所示），則將序列表示 f(x)=f(x0+x) 式中x假定為離散值0，1，2

6、，N1。換句話說，序列 f(0),f(1),f(2),f(N1) 表示取自該連續(xù)函數(shù)N個(gè)等間隔的抽樣值。三：離散函數(shù)的傅里葉變換三：離散函數(shù)的傅里葉變換.1離散傅立葉變換離散傅立葉變換被抽樣函數(shù)的離散傅里葉變換定義為反變換為在二維的情況下，離散的傅里葉變換對(duì)表示為NuxjNxexfuF/210)()(NuxjNueuFNxf/210)(1)(1010)/(2),(),(MxNyNvyMuxjeyxfvuF1010)/(2),(1),(MuNvNvyMuxjeyvuFMNyxf二維離散函數(shù)的傅立葉頻譜、二維離散函數(shù)的傅立葉頻譜、 相位譜和能量譜分別為相位譜和能量譜分別為 ),

7、(),(),(),(),(arctan),(),(),(| ),(|2222vuIvuRvuEvuRvuIvuvuIvuRvuF式中，式中，R R( (u u, , v v) )和和I I( (u u, , v v) )分別是分別是F F( (u u, , v v) )的實(shí)部和虛部。的實(shí)部和虛部。 .1離散傅立葉變換離散傅立葉變換10.2.2 10.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換 離散傅立葉變換計(jì)算量非常大，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)。研究離散傅離散傅立葉變換計(jì)算量非常大，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)。研究離散傅立葉變換的快速算法（立葉變換的快速算法（Fast Fourier Transfor

8、mFast Fourier Transform， FFTFFT）是）是非常有必要的。非常有必要的。 介紹一種稱為逐次加倍法的快速傅立葉變換算法（介紹一種稱為逐次加倍法的快速傅立葉變換算法（FFTFFT），），它是它是19651965年年CooleyCooley和和TukeyTukey首先提出的。首先提出的。 二維離散傅立葉變換具有可分離性，即它可由兩次一維二維離散傅立葉變換具有可分離性，即它可由兩次一維離散傅立葉變換計(jì)算得到，因此，僅研究一維離散傅立葉離散傅立葉變換計(jì)算得到，因此，僅研究一維離散傅立葉變換的快速算法即可。改寫公式：變換的快速算法即可。改寫公式： 10)()(NxuxNWxfuF

9、式中，式中， =e=e-j2-j2N N ，稱為旋轉(zhuǎn)因子。，稱為旋轉(zhuǎn)因子。 = e e-j2-j2N N = =cos(22N N )-j )-j sin(22N N ) ( ) (以以N N為周期為周期) )式中很多式中很多 系數(shù)相同，不必進(jìn)行多次重復(fù)計(jì)算。系數(shù)相同，不必進(jìn)行多次重復(fù)計(jì)算。10.2.2 10.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換uxWNWNWNWNWNW FFT FFT的推導(dǎo)過程：的推導(dǎo)過程： 設(shè)設(shè)N N為為2 2的正整數(shù)次冪，的正整數(shù)次冪， 即即 , 2 , 12nNn令令M M=N/2,=N/2,離散傅立葉變換可改寫成如下形式：離散傅立葉變換可改寫成如下形式： 1

10、0)12(2)2(2101202) 12()2()()(MxxuMxuMMxMxuxMWxfWxfWxfuF偶離散點(diǎn)偶離散點(diǎn)奇離散點(diǎn)奇離散點(diǎn)10.2.2 10.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換uxMuxMjuxMjuxMWeeW)()(/222/222uMuxMMxMxuxMWWxfWxfuF21010) 12()2()( 定義定義 1, 1 ,0,)12()(1, 1 ,0,)2()(1010MxuWxfuFMxuWxfuFMxuxMoMxuxMe10)12(2)2(2101202) 12()2()()(MxxuMxuMMxMxuxMWxfWxfWxfuF10.2.2 10.2.

11、2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換even 偶o(jì)dd奇于是于是)()()(2uFWuFuFouMe 將一個(gè)將一個(gè)N N點(diǎn)的離散傅立葉變換分解成兩個(gè)點(diǎn)的離散傅立葉變換分解成兩個(gè)N N2 2短序列的離短序列的離散傅立葉變換，即分解為偶數(shù)和奇數(shù)序列的離散傅立葉變散傅立葉變換，即分解為偶數(shù)和奇數(shù)序列的離散傅立葉變換換F Fe e( (u u) )和和F Fo o( (u u) ) 。 )7()7()7()6()6()6()5()5()5()4()4()4()3()3()3()2()2()2() 1 () 1 () 1 ()0()0()0(7868584838281808oeoeoeoeoeoeo

12、eoeFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFF設(shè)設(shè)N=2N=23 310.2.2 10.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換) 7 () 7 () 7 () 6 () 6 () 6 () 5 () 5 () 5 () 4() 4() 4() 3 () 3 () 3 () 2() 2() 2() 1 () 1 () 1 () 0 () 0 () 0 (7868584838281808oeoeoeoeoeoeoeoeFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFF)()()(2MuFWMuFMuFoMuMeMxxMuMMMuMMxxMuMWxfWWW

13、xf0)(220)()2()2(MxMxMuxMuMMxMxMuxMWWxfWWWxf020) 12()2(MxuxMuMMxuxMWxfWWxf020) 12()2()()(2uFWuFouMe)0()0()40(2ouMeFWFF)2()2()42(2ouMeFWFF) 1 () 1 ()41 (2ouMeFWFF)3()3()43(2ouMeFWFF10.2.2 10.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換蝶形運(yùn)算單元蝶形運(yùn)算單元 Fe(1)F(1)F(5)Fo(1)18W18W) 1 () 1 ()5() 1 () 1 () 1 (1818oeoeFWFFFWFF)3()3()7

14、()2()2()6() 1 () 1 ()5()0()0()4()3()3()3()2()2()2() 1 () 1 () 1 ()0()0()0(3828180838281808oeoeoeoeoeoeoeoeFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFF10.2.2 10.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)08W18W28W38W08W18W28W38WF(0)F(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)F(7) 3 () 3 () 7() 2() 2() 6() 1 () 1

15、() 5 () 0() 0() 4() 3 () 3 () 3 () 2() 2() 2() 1 () 1 () 1 () 0() 0() 0(3828180838281808oeoeoeoeoeoeoeoeFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFFFWFF10.2.2 10.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換 F Fe e( (u u) )和和F Fo o( (u u) )都是都是4 4點(diǎn)的點(diǎn)的DFTDFT，對(duì)它們?cè)侔凑掌媾歼M(jìn)行分組，對(duì)它們?cè)侔凑掌媾歼M(jìn)行分組) 1 () 1 () 3()0()0()2() 1 () 1 () 1 ()0()0()0(28082808e

16、oeeeeoeeeeoeeeeoeeeFWFFFWFFFWFFFWFF) 1 () 1 ()3()0()0()2() 1 () 1 () 1 ()0()0()0(28082808oooeooooeooooeooooeoFWFFFWFFFWFFFWFFFee(0)Feo(1)08W28WFee(1)Feo(0)Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)28W08WFoe(0)Foo(1)08W28WFoe(1)Foo(0)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)28W08W10.2.2 10.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換8點(diǎn)點(diǎn)DFT的蝶形流程圖的蝶形流程圖 Fee(0)Feo(1)

17、08W28WFee(1)Feo(0)Fe(0)Fe(1)Fe(2)Fe(3)28W08WFoe(0)Foo(1)08W28WFoe(1)Foo(0)Fo(0)Fo(1)Fo(2)Fo(3)28W08Wf (0)f (4)08W08Wf (2)f (6)08W08Wf (1)f (5)08W08Wf (3)f (7)08W08W08W18W28W38W08W18W28W38WF(0)F(1)F(2)F(3)F(4)F(5)F(6)F(7)例：例：0 1 0 2 0 3 0 40 5 0 60 7 0 8Fe(0)Fo(1)04W14WFe(1)Fo(0)F (0)F (1)F (2)F (3)1

18、4W04W04W04W04W04Wf(0)f(2)f(1)f(3)10.2.2 10.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換0 1 0 2 0 3 0 40 5 0 60 7 0 83 i -3 -i 0 3 0 40 5 0 60 7 0 80012003-13i-3-i i-i 1 1 110.2.2 10.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換0034007-17i-7-i i-i 1 1 13 i -3 -i 7 i -7 -i0 5 0 60 7 0 83 i -3 -i 0 3 0 40 5 0 60 7 0 810.2.2 10.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立

19、葉變換00560011-111i-11-i i-i 1 1 13 i -3 -i 7 i -7 -i0 5 0 60 7 0 83 i -3 -i 7 i -7 -i11 i -11 -i0 7 0 810.2.2 10.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換00780015-115i-15-i i-i 1 1 13 i -3 -i 7 i -7 -i11 i -11 -i0 7 0 83 i -3 -i 7 i -7 -i11 i -11 -i15 i -15 -i10.2.2 10.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換31171514-822-836-8+8i-8-8-8i

20、i-i 1 1 13 i -3 -i 7 i -7 -i11 i -11 -i15 i -15 -i36 i -3 -i -8+8i i -7 -i-8 i -11 -i-8-8i i -15 -i10.2.2 10.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換iiii2i02i04i000 i-i 1 1 136 i -3 -i -8+8i i -7 -i-8 i -11 -i-8-8i i -15 -i36 4i -3 -i -8+8i 0 -7 -i-8 0 -11 -i-8-8i 0 -15 -i10.2.2 10.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換-3-11-7-15-14

21、8-228-368-8i88+8i i-i 1 1 136 4i -3 -i -8+8i 0 -7 -i-8 0 -11 -i-8-8i 0 -15 -i36 4i -36 -i -8+8i 0 8-8i -i-8 0 8 -i-8-8i 0 8+8i -i10.2.2 10.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換-i-i-i-i-2i0-2i0-4i000 i-i 1 1 136 4i -36 -i -8+8i 0 8-8i -i-8 0 8 -i-8-8i 0 8+8i -i36 4i -36 -4i -8+8i 0 8-8i 0-8 0 8 0-8-8i 0 8+8i 010.2.

22、2 10.2.2 快速離散傅立葉變換快速離散傅立葉變換10.3 10.3 離散余弦變換（離散余弦變換（DCTDCT） 離散余弦變換（離散余弦變換（Discrete CosineDiscrete Cosine Transform Transform， DCTDCT）的變換核為余弦）的變換核為余弦函數(shù)。函數(shù)。DCTDCT變換被認(rèn)為是一種語音信號(hào)變換被認(rèn)為是一種語音信號(hào)、圖像信號(hào)的變換的準(zhǔn)最佳變換。、圖像信號(hào)的變換的準(zhǔn)最佳變換。 10.3.1 10.3.1 一維離散余弦變換一維離散余弦變換 一維一維DCTDCT定義如下：定義如下： 設(shè)設(shè) f f( (x x)|)|x x=0,1,=0,1, ,N N

23、-1-1為離散的信號(hào)列。為離散的信號(hào)列。 102) 12(cos)(2)()(NxNuxxfNuCuF102) 12(cos)()(2)(NuNuxuFuCNxfu u, ,x x=0,1,2,=0,1,2, ,N N1 1其他1021)(uuC見課本P200FCffCFT一維離散余弦變換10.3.2 10.3.2 二維離散余弦變換二維離散余弦變換 二維二維DCTDCT定義如下：設(shè)定義如下：設(shè)f f( (x, yx, y) )為為M MN N的數(shù)字圖像矩陣，則的數(shù)字圖像矩陣，則 NvyMuxvCuCyxfMNvuFMxNy2) 12(cos2) 12(cos)()(),(2),(1010Nvy

24、MuxvuFvCuCMNyxfMuNv2) 12(cos2) 12(cos),()()(2),(1010 x x, ,u u=0,1,2,=0,1,2, ,M M1 1 y y, ,v v=0,1,2,=0,1,2, ,N N1 1C C( (u u) )和和C C( (v v) )的定義同前的定義同前完成p203例題10.410.4離散沃爾什離散沃爾什- -哈達(dá)瑪變換（哈達(dá)瑪變換（WHTWHT） 10.4.1 10.4.1 一維離散沃爾什一維離散沃爾什- -哈達(dá)瑪變換哈達(dá)瑪變換 1. 1. 沃爾什函數(shù)沃爾什函數(shù) 沃爾什函數(shù)是沃爾什函數(shù)是19231923年由美國(guó)數(shù)學(xué)家沃爾什提出的。年由美國(guó)數(shù)學(xué)

25、家沃爾什提出的。它是一個(gè)完備正交函數(shù)系，其值只能取它是一個(gè)完備正交函數(shù)系，其值只能取1 1和和1 1。從排列次序上可將沃爾什函數(shù)分為三種定義方法。從排列次序上可將沃爾什函數(shù)分為三種定義方法。在此只介紹哈達(dá)瑪排列定義的沃爾什變換。在此只介紹哈達(dá)瑪排列定義的沃爾什變換。2n 階哈達(dá)瑪矩陣有如下形式：階哈達(dá)瑪矩陣有如下形式： 1111 1 21HH111111111111111122224HHHHH10.4.1 10.4.1 一維離散沃爾什一維離散沃爾什- -哈達(dá)瑪變換哈達(dá)瑪變換2. 2. 離散沃爾什離散沃爾什- -哈達(dá)瑪變換哈達(dá)瑪變換一維離散沃爾什變換及逆變換定義為一維離散沃爾什變換及逆變換定義為

26、 若將若將Walsh(Walsh(u u, , x x) )用哈達(dá)瑪矩陣表示，并將變換表達(dá)式寫用哈達(dá)瑪矩陣表示，并將變換表達(dá)式寫成矩陣形式，則上兩式分別為：成矩陣形式，則上兩式分別為： 10),()(1)(NxxuWalshxfNuW10),()()(NuxuWalshuWxf10.4.1 10.4.1 一維離散沃爾什一維離散沃爾什- -哈達(dá)瑪變換哈達(dá)瑪變換) 1() 1 ()0(1) 1() 1 ()0(NfffHNNWWWN) 1() 1 ()0() 1() 1 ()0(NWWWHNfffNHN為為N階階哈達(dá)瑪哈達(dá)瑪矩陣矩陣 由哈達(dá)瑪矩陣的由哈達(dá)瑪矩陣的特點(diǎn)可知，沃爾什特點(diǎn)可知，沃爾什-

27、-哈達(dá)瑪變換的本質(zhì)上哈達(dá)瑪變換的本質(zhì)上是將離散序列是將離散序列f f( (x x) )的的各項(xiàng)值的符號(hào)按一定各項(xiàng)值的符號(hào)按一定規(guī)律改變后，進(jìn)行加規(guī)律改變后，進(jìn)行加減運(yùn)算，它比采用復(fù)減運(yùn)算，它比采用復(fù)數(shù)運(yùn)算的數(shù)運(yùn)算的DFTDFT和采用和采用余弦運(yùn)算的余弦運(yùn)算的DCTDCT要簡(jiǎn)要簡(jiǎn)單得多。單得多。 課本P208例子10.4.2 10.4.2 二維離散沃爾什變換二維離散沃爾什變換 二維二維WHTWHT的正變換核和逆變換分別為的正變換核和逆變換分別為 1010),(),(),(1),(NyMxyvWslshxuWalshyxfMNvuW1010),(),(),(),(NvMuyvWslshxuWals

28、hvuWyxfx x, ,u u=0,1,2,=0,1,2, ,M M1 1 y y, ,v v=0,1,2,=0,1,2, ,N N1 1例有兩個(gè)二維數(shù)字圖像信號(hào)矩陣如下，求這兩個(gè)信號(hào)的二維例有兩個(gè)二維數(shù)字圖像信號(hào)矩陣如下，求這兩個(gè)信號(hào)的二維WHTWHT。 13311331133113311f11111111111111112f根據(jù)題意，根據(jù)題意，M M= =N N=4=4，其二維，其二維WHTWHT變換核為變換核為 11111111111111114H10.4.2 10.4.2 二維離散沃爾什變換二維離散沃爾什變換00000000000010021111111111111111133113

29、311331133111111111111111114121W00000000000000011111111111111111111111111111111111111111111111114122W 從以上例子可看出，二維從以上例子可看出，二維WHTWHT具有能量集中的特性，而且具有能量集中的特性，而且原始數(shù)據(jù)中數(shù)字越是均勻分布，經(jīng)變換后的數(shù)據(jù)越集中于矩陣原始數(shù)據(jù)中數(shù)字越是均勻分布，經(jīng)變換后的數(shù)據(jù)越集中于矩陣的邊角上。因此，二維的邊角上。因此，二維WHTWHT可用于壓縮圖像信息?？捎糜趬嚎s圖像信息。 10.510.5小波變換簡(jiǎn)介小波變換簡(jiǎn)介 與傅立葉變換不同，小波變換是通過縮放母小波與傅立葉

30、變換不同，小波變換是通過縮放母小波（Mother waveletMother wavelet）的寬度來獲得信號(hào)的頻率特征，通過）的寬度來獲得信號(hào)的頻率特征，通過平移母小波來獲得信號(hào)的時(shí)間信息。對(duì)母小波的縮放和平移母小波來獲得信號(hào)的時(shí)間信息。對(duì)母小波的縮放和平移操作是為了計(jì)算小波系數(shù)，這些小波系數(shù)反映了小平移操作是為了計(jì)算小波系數(shù)，這些小波系數(shù)反映了小波和局部信號(hào)之間的相關(guān)程度。波和局部信號(hào)之間的相關(guān)程度。 1. 1. 連續(xù)小波變換（連續(xù)小波變換（CWTCWT） 小波分析就是把一個(gè)信號(hào)分解為將母小波經(jīng)過縮放和小波分析就是把一個(gè)信號(hào)分解為將母小波經(jīng)過縮放和平移之后的一系列小波。小波變換可以理解為用

31、經(jīng)過縮平移之后的一系列小波。小波變換可以理解為用經(jīng)過縮放和平移的一系列小波函數(shù)代替傅立葉變換的正弦波和放和平移的一系列小波函數(shù)代替傅立葉變換的正弦波和余弦波進(jìn)行傅立葉變換的結(jié)果。余弦波進(jìn)行傅立葉變換的結(jié)果。(a)(b) 從小波和正弦波的形狀可以看出，變化劇烈的信號(hào)，從小波和正弦波的形狀可以看出，變化劇烈的信號(hào)，用不規(guī)則的小波進(jìn)行分析比用平滑的正弦波更好，用小波用不規(guī)則的小波進(jìn)行分析比用平滑的正弦波更好，用小波更能描述信號(hào)的局部特征。更能描述信號(hào)的局部特征。 連續(xù)小波變換（連續(xù)小波變換（Continuous Wavelet TransformContinuous Wavelet Transfor

32、m， CWTCWT）用下式表示：用下式表示： dttpositionscaletfpositionscaleC),()(),( CWT CWT的變換結(jié)果是許多小波系數(shù)的變換結(jié)果是許多小波系數(shù)C C，這些系數(shù)是縮放因，這些系數(shù)是縮放因子（子（scalescale）和平移（）和平移（positonpositon）的函數(shù)。）的函數(shù)。 1. 1. 連續(xù)小波變換（連續(xù)小波變換（CWTCWT） (1) (1) 縮放就是壓縮或伸展基波，縮放系數(shù)越小，則小波縮放就是壓縮或伸展基波，縮放系數(shù)越小，則小波越窄。越窄。 小波的縮放操作小波的縮放操作 OOOf (t)f (t)f (t)tttf (t)(t)； sc

33、ale 1f (t)(2t)； scale 0.5f (t)(4t)； scale 0.251. 1. 連續(xù)小波變換（連續(xù)小波變換（CWTCWT） (2) (2) 平移就是小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上，函數(shù)平移就是小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上，函數(shù)f f( (t t) )延遲延遲k k的表達(dá)式為的表達(dá)式為f f( (t-kt-k) ) 。 小波的平移操作小波的平移操作(a) (a) 小波函數(shù)小波函數(shù)( (t t) )； ( (b b) ) 位移后的小波函數(shù)位移后的小波函數(shù)( (t-kt-k) ) Ot(t)Ot(t k)(a)(b)1. 1. 連續(xù)小波變換（連續(xù)小波變換（CWTCWT） CWT C

34、WT計(jì)算主要有如下五個(gè)步驟：計(jì)算主要有如下五個(gè)步驟： 第一步：第一步： 取一個(gè)小波，取一個(gè)小波， 將其與原始信號(hào)的開始一節(jié)進(jìn)將其與原始信號(hào)的開始一節(jié)進(jìn)行比較。行比較。 第二步：第二步： 計(jì)算小波與所取一節(jié)信號(hào)的相似程度計(jì)算小波與所取一節(jié)信號(hào)的相似程度C C，計(jì)算，計(jì)算結(jié)果取決于所選小波的形狀。結(jié)果取決于所選小波的形狀。 1. 1. 連續(xù)小波變換（連續(xù)小波變換（CWTCWT）原 始 信 號(hào)小 波 信 號(hào)第三步：向右移動(dòng)小波，重復(fù)第一步和第二步，直至覆蓋整第三步：向右移動(dòng)小波，重復(fù)第一步和第二步，直至覆蓋整個(gè)信號(hào)。個(gè)信號(hào)。1. 1. 連續(xù)小波變換（連續(xù)小波變換（CWTCWT）計(jì)算尺度后系數(shù)值計(jì)算尺

35、度后系數(shù)值C C 原 始 信 號(hào)小 波 信 號(hào)C 0.2247第四步：第四步： 伸展小波，伸展小波， 重復(fù)第一步至第三步。重復(fù)第一步至第三步。1. 1. 連續(xù)小波變換（連續(xù)小波變換（CWTCWT） 第五步：對(duì)于所有縮放，重復(fù)第一步至第四步。第五步：對(duì)于所有縮放，重復(fù)第一步至第四步。 縮放因子縮放因子scalescale越小，小波越窄，度量的是信號(hào)的細(xì)節(jié)越小，小波越窄，度量的是信號(hào)的細(xì)節(jié)變化，表示信號(hào)頻率越高；縮放因子變化，表示信號(hào)頻率越高；縮放因子scalescale越大，小波越寬，越大，小波越寬，度量的是信號(hào)的粗糙程度，表示信號(hào)頻率越低。度量的是信號(hào)的粗糙程度，表示信號(hào)頻率越低。 1. 1.

36、 連續(xù)小波變換（連續(xù)小波變換（CWTCWT） 2. 2. 離散小波變換（離散小波變換（DWTDWT） 在每個(gè)可能的縮放因子和平移參數(shù)下計(jì)算小波系數(shù)，其在每個(gè)可能的縮放因子和平移參數(shù)下計(jì)算小波系數(shù)，其計(jì)算量相當(dāng)大，而且有許多數(shù)據(jù)是無用的。如果縮放因子和計(jì)算量相當(dāng)大，而且有許多數(shù)據(jù)是無用的。如果縮放因子和平移參數(shù)都選擇為平移參數(shù)都選擇為2 2j j（j j00且為整數(shù)）的倍數(shù)，就會(huì)使分析且為整數(shù)）的倍數(shù)，就會(huì)使分析的數(shù)據(jù)量大大減少。使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小的數(shù)據(jù)量大大減少。使用這樣的縮放因子和平移參數(shù)的小波變換稱為波變換稱為雙尺度小波變換雙尺度小波變換（Dyadic Wavelet Tra

37、nsformDyadic Wavelet Transform），），它是離散小波變換（它是離散小波變換（Discrete Wavelet TransformDiscrete Wavelet Transform， DWTDWT）的一種形式。通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。的一種形式。通常離散小波變換就是指雙尺度小波變換。 執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器，它是一種執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器，它是一種信號(hào)分解的方法，信號(hào)分解的方法， 又常稱為又常稱為雙通道子帶編碼雙通道子帶編碼。 SAD濾波器組低通高通小波分解示意圖小波分解示意圖2. 2. 離散小波變換（離散小波變換（DW

38、TDWT） 信號(hào)的低頻分量是最重要的，而高頻分量只起一個(gè)修飾信號(hào)的低頻分量是最重要的，而高頻分量只起一個(gè)修飾的作用。如同一個(gè)人的聲音一樣，把高頻分量去掉后，聽起的作用。如同一個(gè)人的聲音一樣，把高頻分量去掉后，聽起來聲音會(huì)發(fā)生改變，但還能聽出說的是什么內(nèi)容，但如果來聲音會(huì)發(fā)生改變，但還能聽出說的是什么內(nèi)容，但如果把低頻分量刪除后，就會(huì)什么內(nèi)容也聽不出來了。把低頻分量刪除后，就會(huì)什么內(nèi)容也聽不出來了。 2. 2. 離散小波變換（離散小波變換（DWTDWT）多級(jí)信號(hào)分解示意圖多級(jí)信號(hào)分解示意圖（a） 信號(hào)分解；信號(hào)分解； (b) 小波分?jǐn)?shù)；小波分?jǐn)?shù)； （c）小波分解樹）小波分解樹 cA3cD3cA2

39、cD2SLo_DHi_DA1D1Lo_DHi_DA2D2Lo_DHi_DA3D3Lo_D：低通濾波器；Hi_D：高通濾波器(a)ScA1cD1(b)(c)ScA1cD1cA2cD2cA3cD3一級(jí)分解一級(jí)分解對(duì)低頻分量連續(xù)分解對(duì)低頻分量連續(xù)分解,可得到信號(hào)不同分辨率下的可得到信號(hào)不同分辨率下的低頻分量低頻分量,也稱為信號(hào)的多分也稱為信號(hào)的多分辨率分析辨率分析分解的級(jí)數(shù)取決于分解的級(jí)數(shù)取決于要分析的信號(hào)數(shù)據(jù)特征要分析的信號(hào)數(shù)據(jù)特征及用戶的具體需要。及用戶的具體需要。 SDA1000個(gè)采樣點(diǎn)1000個(gè)采樣點(diǎn)1000個(gè)采樣點(diǎn)ScDcA1000個(gè)采樣點(diǎn)約500個(gè)DWT系數(shù)約500個(gè)DWT系數(shù)表示下采樣

40、表示下采樣 對(duì)于一個(gè)信號(hào)，如采用上述方法，理論上產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量對(duì)于一個(gè)信號(hào)，如采用上述方法，理論上產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量將是原始數(shù)據(jù)的兩倍。于是，根據(jù)奈奎斯特（將是原始數(shù)據(jù)的兩倍。于是，根據(jù)奈奎斯特（NyquistNyquist）采樣）采樣定理，定理， 可用可用下采樣下采樣的方法來減少數(shù)據(jù)量，即在每個(gè)通道內(nèi)每的方法來減少數(shù)據(jù)量，即在每個(gè)通道內(nèi)每?jī)蓚€(gè)樣本數(shù)據(jù)取一個(gè)，便可得到離散小波變換的系數(shù)兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)取一個(gè)，便可得到離散小波變換的系數(shù)（CoefficientCoefficient），）， 分別用分別用cAcA和和cDcD表示。表示。 2. 2. 離散小波變換（離散小波變換（DWTDWT） 3. 3. 小波

41、重構(gòu)小波重構(gòu) 利用信號(hào)的小波分解的系數(shù)還原出原始信號(hào)，這一過程稱利用信號(hào)的小波分解的系數(shù)還原出原始信號(hào)，這一過程稱為為小波重構(gòu)小波重構(gòu)（Wavelet ReconstructionWavelet Reconstruction）或叫）或叫小波合成小波合成（Wavelet SynthesisWavelet Synthesis）。這一合成過程的數(shù)學(xué)運(yùn)算叫做）。這一合成過程的數(shù)學(xué)運(yùn)算叫做逆離散逆離散小波變換小波變換（Inverse Discrete Wavelet TransformInverse Discrete Wavelet Transform， IDWTIDWT）。）。 SHLHL 1 1）重

42、構(gòu)近似信號(hào)與細(xì)節(jié)信號(hào)）重構(gòu)近似信號(hào)與細(xì)節(jié)信號(hào) 小波分解的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以重構(gòu)出原始信號(hào)。同小波分解的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以重構(gòu)出原始信號(hào)。同樣，可由近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)分別重構(gòu)出信號(hào)的近似值或細(xì)節(jié)樣，可由近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)分別重構(gòu)出信號(hào)的近似值或細(xì)節(jié)值，這時(shí)只要近似系數(shù)或細(xì)節(jié)系數(shù)置為零即可。值，這時(shí)只要近似系數(shù)或細(xì)節(jié)系數(shù)置為零即可。 重構(gòu)近似和細(xì)節(jié)信號(hào)示意（a） 重構(gòu)近似信號(hào)； (b) 重構(gòu)細(xì)節(jié)信號(hào) A1HL1000個(gè) 樣 點(diǎn)0約 500個(gè) 0cA1約 500個(gè) 近 似 分 量(a)D1HL1000個(gè) 樣 點(diǎn)(b)約 500個(gè) 0約 500個(gè) 近 似 分 量0cD1 2 2）多層重構(gòu)）多層

43、重構(gòu) 在上圖中，重構(gòu)出信號(hào)的近似值在上圖中，重構(gòu)出信號(hào)的近似值A(chǔ) A1 1與細(xì)節(jié)值與細(xì)節(jié)值D D1 1之后，則之后，則原信號(hào)可用原信號(hào)可用A A1 1D D1 1S S重構(gòu)出來。對(duì)應(yīng)于信號(hào)的多層小波分解，重構(gòu)出來。對(duì)應(yīng)于信號(hào)的多層小波分解，小波的多層重構(gòu)如下圖：小波的多層重構(gòu)如下圖：A3D3A2D2SA1D1重構(gòu)過程為：重構(gòu)過程為：A A3 3+ +D D3 3A A2 2 A A2 2+ +D D2 2A A1 1 A A1 1+ +D D1 1S S 2 2）多層重構(gòu)）多層重構(gòu)信號(hào)重構(gòu)中，濾波器的選擇非常重要，關(guān)系到能否重構(gòu)出信號(hào)重構(gòu)中，濾波器的選擇非常重要，關(guān)系到能否重構(gòu)出滿意的原始信號(hào)

44、。低通分解濾波器（滿意的原始信號(hào)。低通分解濾波器（L L）和高通分解濾波器）和高通分解濾波器（H H）及重構(gòu)濾波器組（）及重構(gòu)濾波器組（LL和和HH）構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)，這個(gè)系）構(gòu)成一個(gè)系統(tǒng)，這個(gè)系統(tǒng)稱為正交鏡像濾波器（統(tǒng)稱為正交鏡像濾波器（Quadrature Mirror FiltersQuadrature Mirror Filters， QMFQMF）系統(tǒng)。系統(tǒng)。 4. 4. 小波包分析小波包分析 小波分析是將信號(hào)分解為近似與細(xì)節(jié)兩部分，近似部分又小波分析是將信號(hào)分解為近似與細(xì)節(jié)兩部分，近似部分又可以分解成第二層近似與細(xì)節(jié)，可以這樣重復(fù)下去。對(duì)于一個(gè)可以分解成第二層近似與細(xì)節(jié)，可以這樣重復(fù)下去。對(duì)于一個(gè)N N層分解來說，層分解來說， 有有N N+1+1個(gè)分解信號(hào)的途徑。個(gè)分解信號(hào)的途徑。