1、整理ppt整理ppt整理ppt解析幾何中解析幾何中選擇適當(dāng)角度選擇適當(dāng)角度,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸 (標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程)中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合的有心二次曲線中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合的有心二次曲線 222faxbxycy cossinscosxxyyxiny22fa xc y 整理ppt代數(shù)觀點(diǎn)下代數(shù)觀點(diǎn)下作適當(dāng)?shù)淖鬟m當(dāng)?shù)目赡婢€性可逆線性變換變換 只含平方項(xiàng)的多項(xiàng)式只含平方項(xiàng)的多項(xiàng)式二次齊次多項(xiàng)式二次齊次多項(xiàng)式11111221221122221122nnnnnnnnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy (標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形)12(,)nf x xx整理ppt稱為稱為n元二次型元二

2、次型(或簡(jiǎn)稱二次型或簡(jiǎn)稱二次型)212111121211(,)22nnnf x xxa xa x xa x x 2222222nna xax x 2333332nna xa x x 2nnnax 1、定義、定義1 含有含有 n個(gè)變量個(gè)變量 的二次齊次函數(shù)的二次齊次函數(shù)12,nx xx整理ppt注意注意2) 式式 也可寫成也可寫成21211(,)2nniiiijijiij nf x xxa xa x x 1) 為了計(jì)算和討論的方便為了計(jì)算和討論的方便,式中式中 的系數(shù)的系數(shù)()ijxij 寫成寫成 2.ija整理ppt1） 約定中約定中aij= =aji，ij ，由，由 xixjxjxi，有有2

3、12111121211(,)nnnf x xxa xa x xa x x2212122222nna x xa xa x x 21122nnnnnnna x xax xax 11nnijijija x x 整理ppt111212122212.令nnnnnnaaaaaaAaaa 則矩陣則矩陣A稱為稱為二次型二次型 的矩陣的矩陣.12(,)nf x xx整理ppt12,2 2令令由由) )nxxxx 1112112122221212.(,.,).nTnnnnnnnaaaxaaaxx Axx xxxaaa 1121211(,.,)njjjnjjnjnnjjja xa xx xxa x 整理ppt于是有

4、于是有12(,.,).Tnf xxxx Ax 1122111nnnjjjjnnjjjjjxa xxa xxa x 11()nniijjijxa x 11nnijijija xx 整理ppt注意注意:2）二次型與它的矩陣相互唯一確定，即二次型與它的矩陣相互唯一確定，即正因?yàn)槿绱耍懻摱涡蜁r(shí)正因?yàn)槿绱?，討論二次型時(shí)矩陣是一個(gè)有力的工具矩陣是一個(gè)有力的工具. .AB 若若 且且 ，則，則TTx Axx Bx ,TTAABB 1）二次型的矩陣總是對(duì)稱矩陣二次型的矩陣總是對(duì)稱矩陣,即即.TAA （這表明在選定變量下，二次型（這表明在選定變量下，二次型 完全由對(duì)稱矩陣完全由對(duì)稱矩陣A決定決定.)12(,

5、.,)Tnf x xxx Ax 12,.,nx xx整理ppt例例11）2元元實(shí)實(shí)二次型二次型 3）4元復(fù)二次型元復(fù)二次型它們的矩陣分別是：它們的矩陣分別是：2） 3元實(shí)二次型元實(shí)二次型222faxbxycy222,)123112132233(,246537f x x xxx xx xxx xx 2)12341214223(,35(3)f x xxxix xx xxi x x ,a bb c32322 232 5,37322(3)22(3)2320050.000000iiii 整理ppt：是兩組變量是兩組變量,關(guān)系式關(guān)系式1212,;,nnx xxyyy11111221221122221122

6、nnnnnnnnnnxc yc ycyxc yc ycyxcycycy 稱為由稱為由的一個(gè)的一個(gè)線性變換線性變換; ;1212,nnx xxyyy到到若系數(shù)行列式若系數(shù)行列式|c|cij|0,|0,則稱則稱為為可逆線性變換可逆線性變換. .整理ppt. .0 xy它是它是可逆可逆的的.系數(shù)行列式系數(shù)行列式 cossin1.sincos 例例2 解析幾何中的坐標(biāo)軸按逆時(shí)針方向解析幾何中的坐標(biāo)軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)角度 cossinsincosxxyyxy 即變換即變換x y 整理ppt則則可表示為可表示為x=Cy若若|C| 00，則則為可逆線性變換為可逆線性變換. .注注1）或?yàn)榭赡婢€性變換

7、）或?yàn)榭赡婢€性變換 可逆可逆.=()ijn nCc 1112111222122212.,.nnnnnnnncccxyxycccxyCxyccc 令2）若）若xCy為可逆線性變換為可逆線性變換，則有可逆線性變換則有可逆線性變換1yCx 整理ppt即，即，B為對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣. |0C xCy 事實(shí)上，事實(shí)上， 12(,.,)Tnf x xxx Ax ()TTTTTTBC ACC A CC ACB 又()TTyCAC y ()()TCyA Cy12(,.,)Tny Byg yyy 12(,.,)Tny Byg yyy是一個(gè)是一個(gè) 二次型二次型. 12,nyyy整理ppt1）矩陣的）矩陣的合同具有

8、合同具有對(duì)稱性：對(duì)稱性：傳遞性傳遞性: :即即C1C2可逆可逆.反身性反身性:注注:：設(shè)設(shè) 是兩個(gè)是兩個(gè)n階矩陣，若存在階矩陣，若存在n階階可逆可逆,A B矩陣矩陣 ，使，使 ，則稱，則稱A與與B合同合同.CTBC AC TAE AE ,| 0TBC AC C11()()TACB C 112212,| 0,| 0TTBCAC DCBCCC 2112()TTDCCAC C 1212()()TC CA C C 1212| | 0,C CCC 整理ppt3）與對(duì)稱矩陣合同的矩陣是對(duì)稱矩陣與對(duì)稱矩陣合同的矩陣是對(duì)稱矩陣. . 2）合同矩陣具有相同的秩合同矩陣具有相同的秩. .A與與B合同合同. .進(jìn)而

9、，有進(jìn)而，有: C可逆可逆()()BA 秩秩秩秩,TBC AC ,TTAA BC ACC 可可逆逆()TTTTTTBC ACC A CC ACB,TTAABB 若若二次型二次型 可經(jīng)可經(jīng)可逆可逆的的線性變換線性變換化為二次型化為二次型Tx AxTy By整理ppt2221122nnd xd xd x 二次型中非常簡(jiǎn)單的一種是只含平方項(xiàng)的二次型二次型中非常簡(jiǎn)單的一種是只含平方項(xiàng)的二次型它的矩陣是對(duì)角陣它的矩陣是對(duì)角陣 12120000(,)00nndddiag d ddd ?任意二次型能否經(jīng)過適當(dāng)?shù)目赡婢€性變換化成任意二次型能否經(jīng)過適當(dāng)?shù)目赡婢€性變換化成平方和的形式？若能，如何作可逆線性變換？平

10、方和的形式？若能，如何作可逆線性變換？ 整理ppt1 1、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理定理1 任一二次型都可以經(jīng)過可逆線性變換任一二次型都可以經(jīng)過可逆線性變換化成標(biāo)準(zhǔn)形化成標(biāo)準(zhǔn)形. . 定理定理2 任一對(duì)稱矩陣合同于一個(gè)對(duì)角矩陣任一對(duì)稱矩陣合同于一個(gè)對(duì)角矩陣. .即即 ，存在可逆矩陣，存在可逆矩陣 ，使，使TAAA，C 為對(duì)角矩陣為對(duì)角矩陣 TCAC整理ppt2 2、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的定義、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的定義所變成的平方和形式所變成的平方和形式注：注：1）由定理）由定理1任一二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是存在的任一二次型的標(biāo)準(zhǔn)形是存在的. 2）可應(yīng)用配方法得到二次型的標(biāo)準(zhǔn)形）可應(yīng)用

11、配方法得到二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.2221122nnd yd yd y 二次型二次型 經(jīng)過可逆線性變換經(jīng)過可逆線性變換 12(,)nf x xx的一個(gè)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形. 稱為稱為 12(,)nf x xx整理ppt則則 解：作非退化線性替換解：作非退化線性替換 222132332()2(2)6yyyyy 221213232248yyy yy y 1232()yyy 1231212123(,)2()()6()f x xxyyyyyyy 1122331 1011 00 0 1xyxyxy即即, ,11221233xyyxyyxy 例例1、求、求123122313(,)262f x xxx xx xx x

12、 的標(biāo)準(zhǔn)形的標(biāo)準(zhǔn)形.整理ppt則得標(biāo)準(zhǔn)形則得標(biāo)準(zhǔn)形 222123123(,)226f x xxzzz 1122331 0 10 1 20 0 1yzyzyz 即即, ,或或 113223332yzzyzzyz 再令再令 113223332zyyzyyzy 所作的可逆線性變換是所作的可逆線性變換是 1112223331 1 01 0 11 1311 00 1 21110 0 10 0 10 01xzzxzzxzz 整理ppt3 3、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形1）正交變換：正交變換：如果線性變換如果線性變換x=Py的矩陣的矩陣P是正交矩陣，則稱之為是正交矩陣，則稱之為正交變換正交變換.2）任一任一n元實(shí)二次型元實(shí)二次型 12(,), ()TTnf x xxx AxAA 都可以通過正交變換都可以通過正交變換 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形 xPy 2221122.nnyyy 其中平方項(xiàng)的系數(shù)其中平方項(xiàng)的系數(shù) 為為A的全部特征值的全部特征值12,n 整理ppt3) 用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟(i) 寫出寫出 的矩陣的