1、時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章第一章習(xí)題第一章習(xí)題第二章習(xí)題第二章習(xí)題第三章習(xí)題第三章習(xí)題第四章習(xí)題第四章習(xí)題第五章習(xí)題第五章習(xí)題第六章習(xí)題第六章習(xí)題第七章習(xí)題第七章習(xí)題第八章習(xí)題第八章習(xí)題時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章第一章習(xí)題第一章習(xí)題1. 用單位脈沖序列(n)及其加權(quán)和表示題1圖所示的序列。 題1圖時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章解： x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1)+2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6)2 給定信號(hào)： 2n+54n160n40 其它(1) 畫出x(n)序列的波形， 標(biāo)上各序列值； (2) 試用延遲的單位脈沖序

2、列及其加權(quán)和表示x(n)序列；(x(n)=時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章（3） 令x1(n)=2x(n2)， 試畫出x1(n)波形； 解解： (1) x(n)序列的波形如題2解圖（一）所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4)4014)(6)()52(mmmnmnm（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（二）所示。 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章題2解圖（一）時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章題2解圖（二）時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章3

3、判斷下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 確定其周期。 是常數(shù)AnAnx 873cos)()81( je)(nnx(1)(2)解解： （1） 因?yàn)?, 所以, 這是有理數(shù)， 因此是周期序列， 周期T=14。（2） 因?yàn)?, 所以=16, 這是無理數(shù)， 因此是非周期序列。738123142時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章4 對(duì)題1圖給出的x(n)要求： (1) 畫出x(n)的波形； (2) 計(jì)算xe(n)=x(n)+x(n)， 并畫出xe(n)波形； (3) 計(jì)算xo(n)= x(n)x(n)， 并畫出xo(n)波形;2121時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章解解：（1） x(n)的波形

4、如題4解圖（一）所示。時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章題4解圖（二）(2) 將x(n)與x(n)的波形對(duì)應(yīng)相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫無疑問， 這是一個(gè)偶對(duì)稱序列。 xe(n)的波形如題4解圖（二）所示。 時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章(3) 畫出xo(n)的波形如題4解圖（三）所示。題4解圖（三）時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章5 設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述， x(n)與y(n)分別表示系統(tǒng)輸入和輸出， 判斷系統(tǒng)是否是線性非時(shí)變的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(nn0)n0為整常數(shù) 時(shí)

5、域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章解解： （1） 令輸入為x(nn0)輸出為 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) 而 y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n)故該系統(tǒng)是非時(shí)變系統(tǒng)。 因?yàn)?y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。

6、時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章（2） 令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=2x(nn0)+3而y(nn0)=2x(nn0)+3 =y(n)故該系統(tǒng)是非時(shí)變的。 由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n)故該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章(3) 這是一個(gè)延時(shí)器， 延時(shí)器是線性非時(shí)變系統(tǒng)， 下面證明。 令輸入為x(nn1)輸出為y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延時(shí)器是非時(shí)變系統(tǒng)。 由

7、于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=aTx1(n)+bTx2(n)故延時(shí)器是線性系統(tǒng)。時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章6 給定下述系統(tǒng)的差分方程， 試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)， 并說明理由。 （1） y(n)=x(n)+x(n+1) 該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)， 因?yàn)閚時(shí)間的輸出還和n時(shí)間以后（n+1）時(shí)間）的輸入有關(guān)。如果|x(n)|M, 則|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。（2） y(n)=x(nn0)假設(shè)n00， 系統(tǒng)是因果系統(tǒng)， 因?yàn)閚時(shí)刻輸出只和n時(shí)刻以后的輸入有關(guān)。 如果|x(n)|M, 則|y(n)|M， 因此系統(tǒng)是

8、穩(wěn)定的。時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章題7圖7 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)和輸入序列x(n)如題7圖所示， 要求畫出y(n)輸出的波形。時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5解解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)= x(m)h(nm)m時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章解法（二）采用解析法。 按照題7圖寫出x(n)和h(n)的表達(dá)式分別為x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+ n2)由于x(n)*(n)=x(n)

9、x(n)*A(nk)=Ax(nk)故y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+x(n2)將x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5)時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章11 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述： ) 1(21)() 1(21)(nxnxnyny設(shè)系統(tǒng)是因果的， 利用遞推法求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章解解： 令x(n)=(n), 則) 1(21)() 1(21)(nnnhnhn=0時(shí)，設(shè)h(-1)=0, 1

10、) 1(21)0() 1(21)0(hhn=1時(shí)， 12121)0(21) 1 ()0(21) 1 (hh時(shí)域離散信號(hào)和時(shí)域離散系統(tǒng)第 1 章n=2時(shí)， 21) 1 (21)2(hhn=3時(shí)， 221)2(21) 3(hh歸納起來， 結(jié)果為)() 1(21)(1nnunhn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章1 已知 |, 0|, 1)e (00jX求X(ej)的傅里葉反變換x(n)。 第二章習(xí)題第二章習(xí)題 nnnxnsinde21)(0j00解解： 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章2 試求如下序列的傅里葉變換：(1) x1(n)=(n3)(2) x3(n)=anu(n)0a1解解(1)3jjj1

11、ee)3()e (nnnXj0jjj3e11e e )()e (aanuaXnnnnnn(2)時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章3 求出序列 的Z變換及收斂域:)(2-nnu 21 2112 2)(2)(2ZT00zzzzznununnnnnnnnnn時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章18 已知2112523)(zzzzX分別求： （1） 收斂域0.5|z|2對(duì)應(yīng)的原序列x(n)。 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章解解：cnzzzXnxd)(j21)(1)2)(5 . 0(232523)()(12111zzzzzzzzzXzFnnn（1） 收斂域0.5|z|2:n0時(shí)，c內(nèi)有極點(diǎn)0.5，x(n)=

12、ResF(z), 0.5=0.5n=2nn0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 0， 但0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改求c外極點(diǎn)留數(shù)， c外極點(diǎn)只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章最后得到 x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2:n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2，nnznnzzzzzFzFnx25 . 0)2()2)(5 . 0(235 . 02),(sRe5 . 0),( sRe)( 2n0時(shí)， c內(nèi)有極點(diǎn)0.5、 2、 0， 但極點(diǎn)0是一個(gè)n階極點(diǎn)， 改成求c外極點(diǎn)留數(shù)， 可是c外沒有極點(diǎn)， 因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)

13、時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章21|,252311)(211zzzzzX(1)19 用部分分式法求以下X(z)的反變換：21|,41121)(21zzzzX(2)時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章解解： (1)21z 411311)(21zzzX 4131)(22zzzzX21652161 )21)(21(31 4131)(2zzzzzzzzzX時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章)(2165)21(61)(2116521161)(11nunxzzzXnn21z 41121)(21zzzX(2)時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析第章 21252123 2121z2z 412)(2zzzzzzzX1121

14、12521123)(zzzX) 1()21(25)21(23)(nunxnn離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章 教材第教材第3章習(xí)題與上機(jī)題解答章習(xí)題與上機(jī)題解答 1 計(jì)算以下序列的N點(diǎn)DFT， 在變換區(qū)間0nN1內(nèi)， 序列定義為 (2) x(n)=(n) (3) x(n)=(nn0) 0n0N (5) NmnxmnN0,e)(2j(7) x(n)=ej0nRN(n) (8) x(n)=sin(0n)RN(n) 離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章（2）1100( )( )( )1 0,1,1NNknNnnX kn WnkN（3）00100100( )() ()

15、0,1,1NknNnNknknNNnX knn WWnnWkN離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章(5)(2j)(2j10)(2j102je1e1 ee)(kmNNkmNNnnkmNknNNnmnNWkXmkmkN 0 0kN1離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章(7) 00002j()211j()j72j()001e( )ee1ek NNNNk nnknNNknnNXkW0210j()()202sin ()2e 0,1,12sin ()/2NkNNkNkNkN1, 1, 0e1e1)()2( jj700NkkXkNN或離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)

16、第章（8） 解法一 直接計(jì)算： )(ee j21)()sin()(00jj08nRnRnnxNnnNknNNnnnNnknNWnxnX2j10jj1088eee j21)()(00002211j()j()001ee2jNNk nk nNNnn0000jj22j(-k)j()N11e1e2j1e1eNNkN離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章解法二解法二 由DFT的共軛對(duì)稱性求解。因?yàn)?()sin(j)cos()(e)(00j70nRnnnRnxNNn所以)(Im)()sin()(708nxnRnnxN所以)()(Imj DFT)(j DFTo778kXnxnx)()(21j)(j

17、)(*77o78kNXkXkXkX即結(jié)果與解法一所得結(jié)果相同。 此題驗(yàn)證了共軛對(duì)稱性。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章 2 已知下列X(k)， 求x(n)=IDFTX(k)jje2( )e 20NkmNX kkNmk其它(1)離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章nmNNmnNNNN)(2jj2jjee2ee21解: （1） 10)(1)(IDFT)(NkknNWkXNkXnx)2( j)2( jee21mnNmnNmnN2cos n=0, 1, , N1離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章3 已知長(zhǎng)度為N=10的兩個(gè)有限長(zhǎng)序列：9 504 01)(

18、1nnnx9 5 14 0 1)(2nnnx做圖表示x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)， 循環(huán)卷積區(qū)間長(zhǎng)度L=10。 解解: x1(n)、 x2(n)和y(n)=x1(n) * x2(n)分別如題3解圖（a）、 （b）、 （c）所示。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章題3解圖離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章 9 已知x(n)長(zhǎng)度為N， X(k)=DFTx(n)， 為自然數(shù)，mmNnNNnnxny1 01 0)()(離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章1 0)(DFT)(mNknykYmN求Y(k)與X(k)的關(guān)系式。

19、解:110010( )( )( ) ( ) mNNknknmNmNnnkNnmNnY ky n Wx n Wkkx n WXmm整數(shù)離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章12 已知f(n)=x(n)+jy(n)， x(n)與y(n)均為長(zhǎng)度為N的實(shí)序列。 設(shè)F(k)=DFTf(n)N 0kN1 現(xiàn)給出F(k)=1+jN，求X(k)=DFTx(n)N， Y(k)=DFTy(n)N以及x(n)和y(n)。 解解: 由DFT的共軛對(duì)稱性可知x(n)X(k)=Fep(k)jy(n)jY(k)=Fop(k)1j1j1 21)()(21)(*NNkNFkFkXNkNFkFkY)()(j21)(

20、*)(1)(10nWNnxNkknN)(1)(10nNWNnyNkknN離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章15 已知實(shí)序列x(n)的8點(diǎn)DFT的前5個(gè)值為0.25, 0.125-j0.3018, 0, 0.125-j0.0518, 0。 （1） 求X(k)的其余3點(diǎn)的值； （2） 18( )(58 )( )mx nx nm R n求X1(k)=DFTx1(n)8；（3） j/42( )( )enx nx n，求228( )DFT( )Xkx n。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章解解： （1）因?yàn)閤(n)是實(shí)序列， 由第7題證明結(jié)果有X(k)=X*(Nk)， 即

21、X(Nk)=X*(k), 所以， X（k）的其余3點(diǎn)值為X(5), X(6), X(7)=0.125+j0.0518, 0, 0.125+j0.3018 （2） 根據(jù)DFT的時(shí)域循環(huán)移位性質(zhì)， 51188( )DFT( )( )kX kx nWX k(3) 811j/4 -j/4228280011(1)(1)888800( )DFT( )( )( )ee =( )( )(1)( )NNknnnknnNNknknnnXkx nx n Wx nx n Wx n WXkR k離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章18 用微處理機(jī)對(duì)實(shí)數(shù)序列作譜分析， 要求譜分辨率F50 Hz， 信號(hào)最高頻

22、率為 1 kHz， 試確定以下各參數(shù)： (1) 最小記錄時(shí)間Tp min； (2) 最大取樣間隔Tmax； (3) 最少采樣點(diǎn)數(shù)Nmin； (4) 在頻帶寬度不變的情況下， 使頻率分辨率提高1倍（即F縮小一半）的N值。 離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章解解: （1） 已知F=50 Hz， 因而s02. 05011minpFT（2）ms5 . 010212113maxminsmaxffT（3）pminmin3max0.02s400.5 10TNT離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章（4） 頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變， 應(yīng)該使記錄時(shí)間擴(kuò)大1倍， 即為0.04

23、 s， 實(shí)現(xiàn)頻率分辨率提高1倍（F變?yōu)樵瓉淼?/2）。80ms0.5s04. 0minN離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章 第第4章章 習(xí)題習(xí)題 1 如果某通用單片計(jì)算機(jī)的速度為平均每次復(fù)數(shù)乘需要4 s， 每次復(fù)數(shù)加需要1 s， 用來計(jì)算N=1024點(diǎn)DFT， 問直接計(jì)算需要多少時(shí)間。 用FFT計(jì)算呢？照這樣計(jì)算， 用FFT進(jìn)行快速卷積對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理時(shí)， 估計(jì)可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理的信號(hào)最高頻率（注：H(k)=DFTh(n)已計(jì)算好存入內(nèi)存）。 解解: 當(dāng)N=1024時(shí)， 直接計(jì)算DFT的復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算次數(shù)為N2=10241024=1 048 576次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算次數(shù)為N（N1）=102

24、41023=1 047 552次直接計(jì)算所用計(jì)算時(shí)間TD為TD=410610242+1 047 552106=5.241 856 s離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章66F665 10lblb10210245 1010 1024 10 10230.72 msNTNN N 快速卷積時(shí)， 需要計(jì)算一次N點(diǎn)FFT（考慮到H(k)=DFTh(n)已計(jì)算好存入內(nèi)存）、 N次頻域復(fù)數(shù)乘法和一次N點(diǎn)IFFT。 所以， 計(jì)算1024點(diǎn)快速卷積的計(jì)算時(shí)間Tc約為用FFT計(jì)算1024點(diǎn)DFT所需計(jì)算時(shí)間TF為：（有錯(cuò)）（有錯(cuò)）離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章cF210247168

25、0 s4 1024 s65536 sTT 次復(fù)數(shù)乘計(jì)算時(shí)間所以， 每秒鐘處理的采樣點(diǎn)數(shù)（即采樣速率）s6102415 625 /65536 10F次 秒由采樣定理知， 可實(shí)時(shí)處理的信號(hào)最高頻率為smax156257.8125 kHz22Ff（有錯(cuò)）（有錯(cuò)）離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章應(yīng)當(dāng)說明， 實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)， fmax還要小一些。 這是由于實(shí)際中要求采樣頻率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重疊相加法時(shí)， 重疊部分要計(jì)算兩次。 重疊部分長(zhǎng)度與h(n)長(zhǎng)度有關(guān)， 而且還有存取數(shù)據(jù)和指令周期等消耗的時(shí)間。 離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章4 設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為2N

26、的有限長(zhǎng)實(shí)序列， X(k)為x(n)的2N點(diǎn)DFT。 (1) 試設(shè)計(jì)用一次N點(diǎn)FFT完成計(jì)算X(k)的高效算法。 (2) 若已知X(k) ，試設(shè)計(jì)用一次N點(diǎn)IFFT實(shí)現(xiàn)求X(k)的2N點(diǎn)IDFT運(yùn)算。離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章解解: 本題的解題思路就是DIT-FFT思想。（1） 在時(shí)域分別抽取偶數(shù)和奇數(shù)點(diǎn)x(n)， 得到兩個(gè)N點(diǎn)實(shí)序列x1(n)和x2(n)： x1(n)=x(2n) n=0, 1, , N1x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, , N1根據(jù)DIT-FFT的思想， 只要求得x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT， 再經(jīng)過簡(jiǎn)單的一級(jí)蝶形運(yùn)算就可得到x(n)

27、的2N點(diǎn)DFT。 因?yàn)閤1(n)和x2(n)均為實(shí)序列， 所以根據(jù)DFT的共軛對(duì)稱性， 可用一次N點(diǎn)FFT求得X1(k)和X2(k)。 具體方法如下：離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章令 y(n)=x1(n)+jx2(n)Y(k)=DFTy(n) k=0, 1, , N1則*11ep*22ep1( )DFT ( )( ) ( )()21j( )DFTj( )( ) ( )()2X kx nYkY kYNkXkx nYkY kYNk2N點(diǎn)DFTx（n）=X（k）可由X1(k)和X2(k)得到122122( )( )( ) 0,1,1()( )( )kNkNX kX kWXkkNX

28、 kNX kWXk離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章這樣， 通過一次N點(diǎn)IFFT計(jì)算就完成了計(jì)算2N點(diǎn)DFT。 當(dāng)然還要進(jìn)行由Y(k)求X1(k)、 X2(k)和X(k)的運(yùn)算(運(yùn)算量相對(duì)很少)。 （2） 與（1）相同， 設(shè)x1(n)=x(2n) n=0, 1, , N1x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, , N1X1(k)=DFTx1(n) k=0, 1, , N1X2(k)=DFTx2(n) k=0, 1, , N1則應(yīng)滿足關(guān)系式122122( )( )( ) 0,1,1()( )( )kNkNX kX kWXkkNX kNX kWXk離散傅里葉變換(DFT)及其快

29、速算法(FFT)第章由上式可解出1221( )( )()2 0,1,2,11( )( )()2kNX kX kX kNkNXkX kX kN W由以上分析可得出運(yùn)算過程如下： 由X(k)計(jì)算出X1(k)和X2(k): 1221( )( )()21( )( )()2kNX kX kX kNXkX kX kN W離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章 由X1(k)和X2(k)構(gòu)成N點(diǎn)頻域序列Y(k): Y(k)=X1(k)+jX2(k)=Yep(k)+Yop(k)其中， Yep(k)=X1(k), Yop(k)=jX2(k)， 進(jìn)行N點(diǎn)IFFT， 得到y(tǒng)(n)=IFFTY(k)=Rey

30、(n)+j Imy(n) n=0, 1, , N1由DFT的共軛對(duì)稱性知*ep1*op21Re ( ) ( )( )DFT( )( )21jIm ( ) ( )( )DFT( )j( )2y ny ny nYkx ny ny ny nYkx n離散傅里葉變換(DFT)及其快速算法(FFT)第章 由x1(n)和x2(n)合成x(n):12 2( )1 2nxnx nnxn偶數(shù)奇數(shù)，0n2N1在編程序?qū)崿F(xiàn)時(shí)， 只要將存放x1(n)和x2(n)的兩個(gè)數(shù)組的元素分別依次放入存放x(n)的數(shù)組的偶數(shù)和奇數(shù)數(shù)組元素中即可。時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章 教材第教材第5章習(xí)題與上機(jī)題解

31、答章習(xí)題與上機(jī)題解答1. 已知系統(tǒng)用下面差分方程描述:) 1(31)()2(81) 1(43)(nxnxnynyny試分別畫出系統(tǒng)的直接型、 級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 式中x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出信號(hào)。 時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章解解： 將原式移項(xiàng)得) 1(31)()2(81) 1(43)(nxnxnynyny將上式進(jìn)行Z變換， 得到121)(31)()(81)(43)(zzXzXzzYzzYzY21181431311)(zzzzH時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章 (1) 按照系統(tǒng)函數(shù)H(z)， 根據(jù)Masson公式， 畫出直接型結(jié)構(gòu)

32、如題1解圖（一）所示。題1解圖（一）時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章(2) 將H(z)的分母進(jìn)行因式分解： )411)(211 (31181431311)(111211zzzzzzzH按照上式可以有兩種級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu): 1114111 211311)(zzzzH時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章畫出級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（二）（a)所示。 111411311 2111)(zzzzH畫出級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（二）（b)所示。 時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章題1解圖（二）時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章(3) 將H(z)進(jìn)行

33、部分分式展開： )411)(211 (311)(111zzzzH4121)41)(21(31)(zBzAzzzzzH時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章310)21()41)(21(3121zzzzzA37)41()41)(21(3141zzzzzB413721310)(zzzzH時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章11411372113104137)21(310)(zzzzzzzH根據(jù)上式畫出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖（三）所示。題1解圖（三）時(shí)域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及數(shù)字信號(hào)處理的實(shí)現(xiàn)第 4 章3. 設(shè)系統(tǒng)的差分方程為y(n)=(a+b)y(n1)aby(n2)+x

34、(n2)+(a+b)x(n1)+ab式中, |a|1， |b|0時(shí)， |z1|slsu， 所以不滿足教材（6.2.56）式。 按照教材（6.2.57）式, 增大sl， 則plpuslsu0.3538=0.30221.1708 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章采用修正后的設(shè)計(jì)巴特沃斯模擬帶通濾波器。 (3) 將帶通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成歸一化低通指標(biāo)。 套用圖5.1.5中帶通到低通頻率轉(zhuǎn)換公式， sl220slpsslW1, B求歸一化低通邊界頻率： p1,2220slssl0.35380.30221.97440.3022 0.4399WBps3 dB,15 dBaa無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波

35、器的設(shè)計(jì)第章(4) 設(shè)計(jì)模擬歸一化低通G(p)：ps0.10.3sp0.11.5ssppspsp101101 09744lglg 0.18032.5183lglg1.9744kkNaa 取N=3。 無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章查教材表6.2.1， 得到歸一化低通系統(tǒng)函數(shù)G(p)：321( )221G pppp(5) 頻率變換， 將G(p)轉(zhuǎn)換成模擬帶通Ha(s)： 220wa33w22 322222223300w0ww365432( )( )|()2()2()0.0850.87981.44840.70760.51240.11010.0443spsBHsG

36、 pB ssssBss Bs Bsssssss無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章(6) 用雙線性變換公式將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)： 11a21115123415561234561( )( )|(0.0181 1.7764 100.05434.44090.05432.7756 100.0181)(12.2723.51513.26852.31290.96280.278)zsTzH zHszzzzzzzzzzzz以上繁雜的設(shè)計(jì)過程和計(jì)算， 可以用下面幾行程序ex612.m實(shí)現(xiàn)。 程序運(yùn)行結(jié)果如題12解圖所示。 得到的系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)為無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章B = 0.023

37、4 0 0.0703 0 0.0703 0 0.0234A= 1.0000 2.2100 3.2972 2.9932 2.0758 0.8495 0.2406與手算結(jié)果有差別， 這一般是由手算過程中可能產(chǎn)生的計(jì)算誤差造成的。無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章%程序ex612.m wp=0.25， 0.45； ws=0.15， 0.55； Rp=3； As=15； %設(shè)置帶通數(shù)字濾波器指標(biāo)參數(shù)N， wc=buttord(wp， ws， Rp， As)； %計(jì)算帶通濾波器階數(shù)N和3 dB截止頻率WcB， A=butter(N， wc)； %計(jì)算帶通濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項(xiàng)式系數(shù)向量A和B

38、myplot(B， A)； %調(diào)用自編繪圖函數(shù)myplot繪制帶通濾波器的損耗函數(shù)曲線無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章題12解圖有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章 教材第教材第7章習(xí)題與上機(jī)題解答章習(xí)題與上機(jī)題解答1 已知FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為： （1） h(n)長(zhǎng)度N=6 h(0)=h(5)=1.5 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3（2） h(n)長(zhǎng)度N=7 h(0)= h(6)=3 h(1)= h(5)= 2 h(2)=h(4)=1 h(3)=0試分別說明它們的幅度特性和相位特性各有什么特點(diǎn)。 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章解解： （1）

39、由所給h(n)的取值可知，h(n)滿足h(n)=h(N1n)， 所以FIR濾波器具有A類線性相位特性： 5 . 221)(N由于N=6為偶數(shù)(情況2)， 所以幅度特性關(guān)于=點(diǎn)奇對(duì)稱。 （2） 由題中h(n)值可知， h(n)滿足h(n)=h(N1n)， 所以FIR濾波器具有B類線性相位特性： 32212)(N由于7為奇數(shù)(情況3)， 所以幅度特性關(guān)于=0, , 2三點(diǎn)奇對(duì)稱。有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章2 已知第一類線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度為16， 其16個(gè)頻域幅度采樣值中的前9個(gè)為： Hg(0)=12， Hg(1)=8.34， Hg(2)=3.79， Hg(3)H

40、g(8)=0 根據(jù)第一類線性相位FIR濾波器幅度特性Hg()的特點(diǎn)， 求其余7個(gè)頻域幅度采樣值。 解解： 因?yàn)镹=16是偶數(shù)（情況2）， 所以FIR濾波器幅度特性Hg()關(guān)于=點(diǎn)奇對(duì)稱， 即Hg(2)=Hg()。 其N點(diǎn)采樣關(guān)于k=N/2點(diǎn)奇對(duì)稱， 即Hg(Nk)=Hg(k) k=1, 2, , 15綜上所述, 可知其余7個(gè)頻域幅度采樣值： Hg(15)=Hg(1)=8.34， Hg(14)=Hg(2)=3.79， Hg(13)Hg(9)=0有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章3 設(shè)FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為)9 . 01 . 29 . 01 (101)(4321zzzzzH求出該濾波器的

41、單位脈沖響應(yīng)h(n)， 判斷是否具有線性相位， 求出其幅度特性函數(shù)和相位特性函數(shù)。解解: 對(duì)FIR數(shù)字濾波器， 其系統(tǒng)函數(shù)為104321)9 . 01 . 29 . 01 (101)()(NnnzzzzZnhzH有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章1( )1, 0,9, 2.1, 0.9,110h n 由h(n)的取值可知h(n)滿足： h(n)=h(N1n) N=5所以， 該FIR濾波器具有第一類線性相位特性。 頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)為所以其單位脈沖響應(yīng)為有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章10j)(jgje )(e )()e (NnmnhHHee9 . 0e1 . 2e9 .

42、01 1014 j3 j2 jj2 j2 jjj2 je )ee9 . 01 . 2e9 . 0e (1012 je )2cos2cos8 . 11 . 2(101有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章幅度特性函數(shù)為 102cos2cos8 . 11 . 2)(gH相位特性函數(shù)為221)(N4 用矩形窗設(shè)計(jì)線性相位低通FIR濾波器， 要求過渡帶寬度不超過/8 rad。 希望逼近的理想低通濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej)為有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章 |0 | 0e)e (cjjdcaH（1） 求出理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)；（2） 求出加矩形窗設(shè)計(jì)的低通FIR濾波器

43、的單位脈沖響應(yīng)h(n)表達(dá)式， 確定與N之間的關(guān)系； （3） 簡(jiǎn)述N取奇數(shù)或偶數(shù)對(duì)濾波特性的影響。解: （1）ccjjjjddc11( )(e)edeed22sin() ()nnh nHnnaaa有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章（2） 為了滿足線性相位條件， 要求， N為矩形窗函數(shù)長(zhǎng)度。 因?yàn)橐筮^渡帶寬度rad, 所以要求, 求解得到N32。 加矩形窗函數(shù), 得到h(n)： 21Na8N48)()()(sin)()()(cdnRanannRnhnhNNnNaNnanan其它021, 1 0)()(sinc有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章（3） N取奇數(shù)時(shí)， 幅度特性函數(shù)H

44、g()關(guān)于=0, , 2三點(diǎn)偶對(duì)稱， 可實(shí)現(xiàn)各類幅頻特性； N取偶數(shù)時(shí)， Hg()關(guān)于=奇對(duì)稱， 即Hg()=0， 所以不能實(shí)現(xiàn)高通、 帶阻和點(diǎn)阻濾波特性。 5 用矩形窗設(shè)計(jì)一線性相位高通濾波器， 要求過渡帶寬度不超過/10 rad。 希望逼近的理想高通濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej)為其它0 | e)e (jjdcaH有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章（1） 求出該理想高通的單位脈沖響應(yīng)hd(n)； （2） 求出加矩形窗設(shè)計(jì)的高通FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)表達(dá)式， 確定與N的關(guān)系； （3） N的取值有什么限制？為什么？解解: （1） 直接用IFTHd(ej)計(jì)算： jjdd1(

45、 )(e ) ed2nh nHccjjjj1eedeed2nnaa有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章ccj()()1eded2njnaaccj()j()j()j()1eeee2()nnnnnaaaaa)(sin)(sin)(1cananan)()(sin)(cananan有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章hd(n)表達(dá)式中第2項(xiàng)正好是截止頻率為c的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。 而(n)對(duì)應(yīng)于一個(gè)線性相位全通濾波器： Hdap(ej)=ej即高通濾波器可由全通濾波器減去低通濾波器實(shí)現(xiàn)。 （2） 用N表示h(n)的長(zhǎng)度， 則h(n)=hd(n)RN(n)=)()()(sin)(c

46、nRnnnNaaa)()(sincanan有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章為了滿足線性相位條件： h(n)=h(N1n)要求滿足12Na（3） N必須取奇數(shù)。 因?yàn)镹為偶數(shù)時(shí)（情況2）， H(ej)=0， 不能實(shí)現(xiàn)高通。 根據(jù)題中對(duì)過渡帶寬度的要求， N應(yīng)滿足：, 即N40。 取N=41。N4106 理想帶通特性為 | |0 | e)e (cccjjdBBHa有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章（1） 求出該理想帶通的單位脈沖響應(yīng)hd(n)； （2） 寫出用升余弦窗設(shè)計(jì)的濾波器的h(n)表達(dá)式， 確定N與之間的關(guān)系； （3） 要求過渡帶寬度不超過/16 rad。 N的取值是否有

47、限制？為什么？解解: （1）jjdd1( )()ed2nh nHeccccjjjj()1eedeed2BamanB)()(sin)()(sin(ccananananB有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章上式第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別為截止頻率c+B和c的理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)。 所以， 上面hd(n)的表達(dá)式說明， 帶通濾波器可由兩個(gè)低通濾波器相減實(shí)現(xiàn)。 （2） h(n)=hd(n)w(n)ccsin()()sin()20.540.46 cos( )()()1NB nananRnnanaN為了滿足線性相位條件， 與N應(yīng)滿足12Na有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章實(shí)質(zhì)上， 即使不要

48、求具有線性相位， 與N也應(yīng)滿足該關(guān)系， 只有這樣， 才能截取hd(n)的主要能量部分， 使引起的逼近誤差最小。 （3） N取奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)， 均可實(shí)現(xiàn)帶通濾波器。 但升余弦窗設(shè)計(jì)的濾波器過渡帶為8/N ， 所以， 要求， 即要求N128。 7 試完成下面兩題：試完成下面兩題： （1） 設(shè)低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)與頻率響應(yīng)函數(shù)分別為h(n)和H(ej)， 另一個(gè)濾波器的單位脈沖響應(yīng)為h1(n)， 它與h(n)的關(guān)系是h1(n)=(1)nh(n)。 試證明濾波器h1(n)是一個(gè)高通濾波器。 N816有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章（2） 設(shè)低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)與頻率響應(yīng)函數(shù)分別為h(n

49、)和H(ej)， 截止頻率為c, 另一個(gè)濾波器的單位脈沖響應(yīng)為h2(n)， 它與h(n)的關(guān)系是h2(n)=2h(n)cos0n， 且c0(c)。 試證明濾波器h2(n)是一個(gè)帶通濾波器。解解: （1） 由題意可知)(ee 21)()cos()() 1()(jj1nhnhnnhnhnnn對(duì)h1(n)進(jìn)行傅里葉變換, 得到有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章mnnnnmnhhHjjjj1j1e ee )(21e )e (e )(e )(21)( j)( jnnnnnhnh)e ()e (21)( j)( jnHH上式說明H1(ej)就是H(ej)平移的結(jié)果。 由于H(ej)為低通濾波器，

50、通帶位于以=0為中心的附近鄰域， 因而H1(ej)的通帶位于以=為中心的附近， 即h1(n)是一個(gè)高通濾波器。有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章這一證明結(jié)論又為我們提供了一種設(shè)計(jì)高通濾波器的方法（設(shè)高通濾波器通帶為c, ）： 設(shè)計(jì)一個(gè)截止頻率為c的低通濾波器hLp(n)。 對(duì)hLp(n)乘以cos(n)即可得到高通濾波器hHp(n) cos(n)=(1)nhLp(n)。 (2) 與(1)同樣道理， 代入h2(n)=2h(n) cos0n, 可得2)e ()e ()e ()( j)( jj200HHH有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章因?yàn)榈屯V波器H(ej)通帶中心位于=2k，

51、且H2(ej)為H(ej)左右平移0， 所以H2(ej)的通帶中心位于=2k0處， 所以h2(n)具有帶通特性。 這一結(jié)論又為我們提供了一種設(shè)計(jì)帶通濾波器的方法。 8 題8圖中h1(n)和h2(n)是偶對(duì)稱序列， N=8， 設(shè) H1(k)=DFTh1(n) k=0， 1， ， N1 H2(k)=DFTh2(n) k=0， 1， ， N 1（1） 試確定H1(k)與 H2(k)的具體關(guān)系式。 | H1(k)|=| H2(k)|是否成立？為什么？（2） 用h1(n)和h2(n)分別構(gòu)成的低通濾波器是否具有線性相位？群延時(shí)為多少？有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章題8圖有限脈沖響應(yīng)(FIR)

52、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章解解： （1） 由題8圖可以看出h2(n)與h1(n)是循環(huán)移位關(guān)系： h2(n)=h1(n+4)8R8(n)由DFT的循環(huán)移位性質(zhì)可得)() 1()(e)()(11j1482kHkHkHWkHkkk| )(| )(| )(|11482kHkHWkHk(2) 由題8圖可知， h1(n)和h2(n)均滿足線性相位條件： h1(n)=h1(N1n)h2(n)=h2(N1n)有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章所以， 用h1(n)和h2(n)構(gòu)成的低通濾波器具有線性相位。 直接計(jì)算FTh1(n)和h2(n)也可以得到同樣的結(jié)論。 設(shè) )(jg11j11e )()(FT)e

53、(HnhH27) 1(21)()(21N)(jg22j22e )()(FT)e (HnhH所以， 群延時(shí)為27d)(d112有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章9 對(duì)下面的每一種濾波器指標(biāo)， 選擇滿足FIRDF設(shè)計(jì)要求的窗函數(shù)類型和長(zhǎng)度。 （1） 阻帶衰減為20 dB， 過渡帶寬度為1 kHz， 采樣頻率為12 kHz； （2） 阻帶衰減為50 dB， 過渡帶寬度為2 kHz， 采樣頻率為20 kHz； （3） 阻帶衰減為50 dB， 過渡帶寬度為500 Hz， 采樣頻率為5 kHz。 解解： 我們知道， 根據(jù)阻帶最小衰減選擇窗函數(shù)類型， 根據(jù)過渡帶寬度計(jì)算窗函數(shù)長(zhǎng)度。 為了觀察方便，

54、重寫出教材第211頁(yè)中表7.2.2。有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章結(jié)合本題要求和教材表7.2.2， 選擇結(jié)果如下： （1） 矩形窗滿足本題要求。 過渡帶寬度1 kHz對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率為B=200/12 000=/60， 精確過渡帶滿足：1.8/N/60， 所以要求N1.860=108。 （2） 選哈明窗， 過渡帶寬度1 kHz對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率為B=4000/20 000=/5， 精確過渡帶滿足： 6.6/N/5， 所以要求N6.65=33。 （3） 選哈明窗， 過渡帶寬度1 kHz對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率為B=1000/5000=/5， 精確過渡帶滿足：

55、 6.6/N/5， 所以要求N6.65=33。 10 利用矩形窗、升余弦窗、改進(jìn)升余弦窗和布萊克曼窗設(shè)計(jì)線性相位FIR低通濾波器。 要求希望逼近的理想低通濾波器通帶截止頻率c= /4 rad，N=21。 求出分別對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)。有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章解解: (1) 希望逼近的理想低通濾波器頻響函數(shù)Hd(ej)為jjde 0 | 4(e )0 | 4aH其中, a=(N1)/2=10。 (2) 由Hd(ej)求得hd(n)： 4j 10jd/4sin(10)14( )eed2(10)nnh nn有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章 (3) 加窗得到FIR濾波器單位脈

56、沖響應(yīng)h(n)： 升余弦窗:Hn2( )0.5 1cos( )1NwnRnNHnd21sin(10)24( )( ) ( )1cos( )2(10)20nnhnh n w nRnn有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章 改進(jìn)升余弦窗：Hm2( )0.540.46 cos( )1NnwnRnNHmHm21sin(10)24( )( )( )0.540.46 cos( )p(10)20dnnhnh n wnRnn 布萊克曼窗:BldBl( )( )( )hnh n wn)(204cos08. 0202cos5 . 042. 0)10()10(4sin21nRnnnn有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾

57、波器的設(shè)計(jì)第章11 將技術(shù)要求改為設(shè)計(jì)線性相位高通濾波器， 重復(fù)題10。 解解: 方法一 將題10解答中的逼近理想低通濾波器(Hd(ej)、 hd(n)改為如下理想高通濾波器即可。 43| 00 | 43e)e (10jjdH有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章d)e (21)(jddHnhdee de21j4/310j10j4/3m)10()10(43sin)10()10(sinnnnn3sin(10)4(10)(10)nnn有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章上式中(n10)對(duì)應(yīng)于全通濾波器。 上式說明， 高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)等于全通濾波器的單位脈沖響應(yīng)減去低通濾波器的單位

58、脈沖響應(yīng)。 仿照10題， 用矩形窗、 升余弦窗、 改進(jìn)升余弦窗和布菜克曼窗對(duì)上面所求的hd(n)加窗即可。 計(jì)算與繪圖程序與題10解中類同， 只要將其中的h(n)用本題的高通h(n)替換即可。 方法二 根據(jù)第7題（1）的證明結(jié)論設(shè)計(jì)。 （1） 先設(shè)計(jì)通帶截止頻率為/4的低通濾波器。 對(duì)四種窗函數(shù)所得FIR低通濾波器單位脈沖響應(yīng)為題9解中的hR(n)、 hHn(n)、 hHm(n)和hBl(n)。 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章(2) 對(duì)低通濾波器單位脈沖響應(yīng)乘以cosn可得到高通濾波器單位脈沖響應(yīng)： 矩形窗： )()cos()10()10(4sin)cos()()(21R1nRnn

59、nnnhnh 升余弦窗： 2HnHn( )( )cos( )( 1)( )nh nhnnhn )()cos(202cos1)10(2)10(4sin21nRnnnn有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章 改進(jìn)升余弦窗： )cos()()(Hn3nnhnh)()cos(202cos46. 054. 0)10()10(4sin21nRnnnn 布萊克曼窗： )()cos(204cos08. 0202cos5 . 042. 0)10()10(4sin)(214nRnnnnnnh有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章題12圖12 利用窗函數(shù)（哈明窗）法設(shè)計(jì)一數(shù)字微分器， 逼近題12圖所示的理想

60、微分器特性， 并繪出其幅頻特性。 有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章解解: (1) 由于連續(xù)信號(hào)存在微分， 而時(shí)域離散信號(hào)和數(shù)字信號(hào)的微分不存在， 因而本題要求設(shè)計(jì)的數(shù)字微分器是指用數(shù)字濾波器近似實(shí)現(xiàn)模擬微分器， 即用數(shù)字差分濾波器近似模擬微分器。 下面先推導(dǎo)理想差分器的頻率響應(yīng)函數(shù)。 設(shè)模擬微分器的輸入和輸出分別為x(t)和y(t)， 即ttxktyd)(d)(令x(t)=ejt， 則y(t)=jket=jkx(t)對(duì)上式兩邊采樣（時(shí)域離散化）， 得到有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)第章()j()jej ny nTkx nTkTjj(e )FT ()j(e )kYy nTXT其