1、情形一：積分區(qū)域D關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱定理4設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在平面區(qū)域D連續(xù)，且D關(guān)于x軸對(duì)稱，則1)當(dāng)f(x,y)f(x,y)(即f(x,y)是關(guān)于y的奇函數(shù))時(shí)，有f(x,y)dxdy0D2)當(dāng)f(x,y)f(x,y)(即f(x,y)是關(guān)于y的偶函數(shù))時(shí)，有f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy.DDi其中Di是由x軸分割D所得到的一半?yún)^(qū)域。例5計(jì)算I(xyy3)dxdy,其中D為由y22x與x2圍成的區(qū)D域。解：如圖所示，積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，且3f(x,y)(xyy)f(x,y)即f(x,y)是關(guān)于y的奇函數(shù)，由定理1有f(xyy3)dxdy0.D類似地，有：定理5設(shè)二元函數(shù)f(

2、x,y)在平面區(qū)域D連續(xù)，且D關(guān)于y軸對(duì)稱，則2f(x,y)dxdy,當(dāng)f(x,y)f(x,y).f(x,y)dxdyd2D0,當(dāng)f(x,y)f(x,y).其中D2是由y軸分割D所得到的一半?yún)^(qū)域。例6 計(jì)算Iy 2x 2; y -2xx2ydxdy,其中D為由D2及y0所圍。解：如圖所示,D關(guān)于y軸對(duì)稱，并且f ( x, y) x2yf (x, y),即被積分函數(shù)是關(guān)于x軸的偶函數(shù)，由對(duì)稱性定理結(jié)論有:Ix2 ydxdyD212x 222 x ydxdy 2 dx x ydxdyD1定理6設(shè)二元函數(shù)f(x, y)在平面區(qū)域D連續(xù)，且D關(guān)于x軸和y軸都對(duì)稱，則(1)當(dāng) f ( x,y)f(x,

3、y)或 f(x, y) f(x, y)時(shí)，有f ( x , y ) dxdyD當(dāng)f ( x, y)f (x, y) f (x, y)時(shí)，有f ( x, y ) dxdyD4 f ( x, y ) dxdyD1其中Di為由x軸和y軸分割D所的到的1/4區(qū)域。9例7計(jì)算二重積分I| y|)dxdy ，其中D:解：如圖所示，D關(guān)于x軸和y軸均對(duì)稱，且被積分函數(shù)關(guān)于x和y是偶函數(shù)，即有f (x, y)f ( x, y ) I y )dxdyf (x, y),由定理2,得4(|xD1I y )dxdy其中Di是D的第一象限部分，由對(duì)稱性知，D1x dxdyI y |dxdy,D1故 I 4(|xD1I

4、y )dxdy4( xD1x |) dxdyx dxdy情形二、積分區(qū)域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則當(dāng)D上連續(xù)定理7設(shè)平面區(qū)域DD1D2,且D1,D2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)滿足1) f(X,y)f(x,y)時(shí)，有f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdyDD12) f(x,y)f(x,y)時(shí)，有f(x,y)dxdy0.DD33(xy)dxdy0.情形三、積分區(qū)域D關(guān)于直線yx對(duì)稱定理8設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在平面區(qū)域D連續(xù)，且DD1D2,Di,D2關(guān)于直線yx對(duì)稱，則1)f(x,y)dxdyf(y,x)dxdy；DDf(x,y)dxdyf(x,y)dxdy.D1D22)當(dāng)f(y,x)f(x,y)時(shí)，有f(x,

5、y)dxdy0.D3)當(dāng)f(y,x)f(x,y)時(shí)，有f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy.DD122例9求I(4)dxdy,D為x2y2R2所圍.解：積分區(qū)域D關(guān)于直線yx對(duì)稱，由定理8,得22,xy 、(/ dxdyd ab2x 、r)dxdy ,bdab22故 I (二)dxdyd ab11 (Y2d a22Q dxdy2 (匕 a2x2)dxdy b2 a2 b2) (x2Dy2)dxdy1 b2)Rr2rdr0R4:-4).4ab類似地，可得：D1D2 ,D1,D2 關(guān)于直線y x對(duì)稱，則(1 )當(dāng) f(y, x)f (x, y),則有定理9設(shè)二元函數(shù)f(x,y)在平面區(qū)域D連續(xù)，且Df(x,y)dxdy0;D(2)當(dāng) f( y, x) f(x, y),則有 f (x , y) dxdy2D1f (x , y)dxdy .例10計(jì)算I(x2Dy2)arcsin(x y)dxdy,其中D為區(qū)域：0x 1,-1解：如圖所示，積分區(qū)域D關(guān)于直線y x對(duì)稱，且滿足f(y,x)f(x,y),由以上性質(zhì)，得:I (x2D2y)arcsin(xy)dxdy0.注：在進(jìn)行二重積分計(jì)算時(shí)，善于觀察被積函數(shù)的積分區(qū)域的特點(diǎn)注意兼顧被積函數(shù)的