1、P49天府前沿14、如圖，在平行四邊形 ABCD中，點E在AD上，以BE為折痕，將三角形 ABE向上翻 折，點A正好落在CD上的點F處，假設(shè)三角形FDE的周長為8，三角形FCB的周長為22, 求FC的長。答：因為折疊，EF=AE,BF=AB所以 DF+FC=DC=AB=FB(1),DE+EF=DE+EA=DA=CB(2)(1)+(2)得 DF+DE+EF=FB+CB-FCDF+DE+EF=8,FB+CB-FC=(FB+FC+CB)-2FC=22所以-2FC=8-22FC=7P49頁15、如圖，在平行四邊形 ABCD中 AB=X分之一 BC,延長AB至F,使BF=AB 再延長BA至E,使AE=B

2、A請你判斷EC與 FD的位置關(guān)系，并說明理由。答：EC交AD于M,FD交BC于N,AE=AB=BF=CD,內(nèi)錯角相等，據(jù)角邊角定理, 三角形AEM也三角形DMC三角形BFN也三角形 DCN 二AM=DM BN=NC M,N分別為AB,BC的中點, 連接MN AB=1/2BC二 M=DC=NC=MN四邊形MNCD為棱形，MC,ND為對角線，MC垂直ND 所以EC垂直FDP53頁 13、如圖，在梯形 ABCD中, AD/BC,AD=6,BC=16,E是BC的中點，點P以每秒1 個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒2個單位長 度的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B運動，點P停止運動

3、時，點Q也隨之停止運 動，當運動時間為丨秒時，以點P、Q E、D為頂點的四邊形是平行四邊形。答：AP=t，PD=6-tCQ=2t1. EQ=8-2tPD=EQ6-t=8-2tt=2s2. EQ=2t-86-t=2t-83t=14t=14/3 s v 14/3 v 18/3=6，二此時 P 未到 D 點，成立當t=2秒時，PDQE是平行四邊形當t=14/3秒時，PDEQ1平行四邊形14、如圖，三角形ABC是等邊三角形，D E分別在邊BC AC上，且CD=CE 連接DE并延長至點F,使EF=AE連接AF、BE和CF 1求證三角形BDE全 等于三角形FEC判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由

4、1三角形 ABD也三角形 ACD也三角形AFD2四邊形ABDF是平行四邊形因為CD=CE，角ACB=60，所以三角形CDE為全等三角形。因為EF=AE，角AEF等于60度，所以三角形AEF為全等三角形，AE=AC-CE,BD=BC-DC,所以 BD=AF,在三角形 BDE 和三角形 FCE 中，角 BDE=180-60=120,角 CEF=180-60=120, DE=CE,BD=AF=EF,所以三角形 BDE和三角形FCE全等。因三角形ABC是等邊三角形，角CBA等于60度；又角CDF等于60度，所以 DF/AB,又DF=AE，三角形DCE是等邊三角形，所以EF+DE=AE+EC=AC=AB

5、 ， 即DF=AB,故四邊形ABDF是平行四邊形。15、請用兩種方法解答：如圖：CD為直角三角形ABC斜邊AB上的高，AE平 分角BAC，并交CD于點E，過E點作EF/AB,并交BC于F點，求證：CE=BF 。方法一：證：過E作EG平行BC交AB于點G 又因為EF平行于AB，所以有EFBG為平行四邊形，即有：FB=EG 再因AE平分角BAC，所以：角CAE=角BAE因為在直角三角形 ABC中，角BCA=90度，CD垂直于AB易得：角ACD=角B=角EGA因為AE是公共邊所以有三角形CAE全等于三角形GAE所以有：CE=EG=BF方法二：過E作AC的垂直線交AC于M,過F作AB的垂線交AB于G,

6、DE=FG,因為AE平分角A,可證三角形ADE和三角形AEM全等，即ME=ED=FG 在Rt三角形BFG和Rt三角形CEM中，角B加角BCE=90,角ACE加角BCE=90, 所以，角B等于角ACE,在Rt三角形BFG和Rt三角形CEM中,ME=FG,所以 Rt三角形BFG和Rt三角形CEM全等。P5514、如下列圖，在梯形 ABCD中，AD/BC,AB=AD,角BAD的平分線AE交BC于 點E，連結(jié)DE，求證四邊形ABED是菱形；假設(shè)角ABC=60度，CE=2BE, 試判斷三角形CDE的形狀并說明理由。AD答：因為 AD/BC.AB=AD 角 BAD 的平分線 AE 交 BC 于點 E所以角

7、DAE=角AEB=角BAE，所以BE=AB=AD，所以四邊形ABED是菱形 所以角DEC=角B=60度，又因為CE=2BE=2DE ,取CE重點F，連結(jié)DF ,那么EF=ED所以 CDF 是等邊三角形，所以 DF=CF ，一個外角等于兩個內(nèi)角之和，所以角C=角DFE的一半=30度所以角 CDE=90 度，所以 CDE 是直角三角形15 、如圖， AD 是 Rt 三角形 ABC 斜邊 BC 上的高，角 B 的平分線交 AD 于點 E， 交AC于點G,(1)比擬AE、AG的大小，并說明理由；作GF垂直BC于點F， 連結(jié)EF，判斷四邊形AEFG的形狀，并說明理由。3假設(shè)AD=4,BD=3,求 AE

8、的長。1.vZ C+DAC=90，/ BAD+ / DAC=90 ，二/ C= / BAD，丁 BE平分/ ABC，二/ ABE= / CBE，丁/ AGE= / BAD+ / ABE，/AEG= / C+Z CBE，二/ AGE= / AEG，二 AG=AE。2AG=GF(角平分線上的點到兩邊的距離相等BG=BG, 所以 ABG FBG, 故，Z AGB= Z FGB又 EG=EG AG=GF 所以 AEG FEG ,故 AE=EF,即 AG=GF= AE=EF 所以四邊形 AEFG 的形狀是菱形二四邊形AEFG是菱形33 AD=4， BD=3 那么 AB=5，根據(jù)角平分線定理： AE/ED

9、=AB/BD 即 AE/(AD-AE)=AB/BDAE/(3-AE)=5/4解得： AE=5/3P57頁：第十二題：如圖8,在長方形ABCDK AB=3CM,AD=4CM, 過對角線BD的中點0作BD的垂直平分線EF，分別交AD BC于點 E、F，那么AE的長為：解：設(shè) AE=x ，連接 BE，v OE 垂直平分 BD，二 EB=ED=4-x, 在直角三角形 ABE 中，BE2 -AE2 =AB2，即4-x2-x2 =32， 解得： x=7/8，答： AE=7/8P57頁第13題：如圖，依次連接第一個矩形各邊的中點得到一個菱 形，依次連接菱形各邊的中點得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下 去，第一

10、個矩形的面積為一，那么第 n個矩形的面積為：個矩形的面積為snsn = 1/2A(2 n-2)易得第二個矩形的周長為1/2，第三個矩形的周長為1/2八2，依此類 推，第n個矩形的周長為1/2八n-1 ,面積為二1/25-1*1/2八n-1 =1/2八(2 n-2)P57頁14題：如圖，在三角形ABC中，點0是AC邊上端點除外 的一個動點，過點0作直線MV/BC,設(shè)MN交角BCA的平分線于點E, 交角BCA的外角平分線于點F,連結(jié)AE AF，那么當點0運動到何處當點0運動到AC的中點或OA=OC時，四邊形AECF是矩形.由 于CE平分/ BCA，那么有/ 1 = / 2,而MN / BC,利用平

11、行線的性 質(zhì)有/ 1二/3,等量代換有/ 2二/3,于OE=OC，同理OC=OF，于是 OE=OF,而OA=OC,那么可證四邊形AECF是平行四邊形，又CE、CF分別是 / BCA及其外角的角平分線，易證/ ECF是90°從而可證四邊形AECF是矩形. 解答：解：當點O運動到AC的中點或OA=OC時，四邊形AECF是矩形.證 明： CE 平分/ BCA ,/ 仁/2,又t MN / BC,：/ 仁/3,二/ 3=72, EO=CO，同理，F(xiàn)O=CO,. EO=OF, 而 OA=OCAECF是平行四邊形，又CE、CF分別是7 BCA及其外角的角平分線，7 ECF 是 90°,

12、P57頁：15題。在平分四邊 ABCD中，角BAD的平分線交直線BC于點E,交 直線DC于點F° 1在圖1中證明CE=CF;2假設(shè)角ABC=90度，G是EF的中點如圖2，直接寫出角BDG的度數(shù)；3假設(shè)角ABC=120度，F(xiàn)G/CE, FG=CE，分別連接DB、DG如圖3，求 角BDG的度數(shù)。解：1證明：t AF平分/ BAD二/BAF玄DAF.v四邊形ABCD是平行四邊形, AD/ BC,AB/ CD/. / DAF2 CEF,Z BAFW F. /-Z CEF2 F. / CE=Cf(2)連 BG、CG，t BE=AB=DC，EG=CG，Z BEG=135 =Z DCG，BEG D

13、CG，BG=DG ,/Z BGE= Z DGC ,/Z BGD= Z EGC=90BDG是等腰直角三角形，/Z BDG=45 °【曰寧分別連接 GB,GE,GC如圖 4t AB/ DC,Z ABC=120 ,/Z ECFZ ABC=120 ,t FG/ CE且FG=CE/四邊形CEGF是平行四邊形.由1得CE=CF/.平行四邊形CEGI是菱形./ EG=EC/GCFZ GCE=1/2/ ECF=60ECG是等邊三角形./ EG=CGDZ GECZ GCF=60 . /Z GECZ GCF/.Z BEGZ DCG由 AD/ BC 及AF平分Z BAD可得Z BAEZ AEB./ AB=

14、BE在平行四邊形 ABC沖， AB=DC. BE=DC由得 BEGA DCG/-BG=DG,1=Z 2. /Z BGDZ1+Z 3=Z 2+Z 3=Z EGC=60 . /ZB DG=(180 - Z BGD)/2=60°P59頁：13題。長為1,寬為a的矩形紙片a大于二分之一小于1，如圖那 樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形稱第一次操作；再把剩下的 矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時的矩形寬幅的正方形 稱第二次操 作；如此反復(fù)操作下去，假設(shè)在第n次操作后，剩余的矩形為正方形，那么操作 終止，當n=3時，a的值為？1- 第一次換化第二次操作1/2 v a v 1時，第一

15、次操作后剩下的矩形的長為a，寬為1-a，所以第二次操作時正方形的邊長為1-a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為1-a，2a-1 .此時，分兩種情況： 如果 1-a > 2a-1，即 a v 2/3，那么第三次操作時正方形的邊長為2a-1 .那么 2a-1= 1-a- 2a-1，解得 a=3/5; 如果1-av 2a-1，即a>2/3,那么第三次操作時正方形的邊長為1-a.那么 1-a= 2a-1 : - 1-a，解得 a=3/4故答案為3/5 ;或3/4.P59頁第14題：如圖，點G是正方形ABCD寸角線CA的延長線上任意一點， 以線段AG為邊作一個正方形AEFG線段EB和GD

16、相交點H.(1)求證：EB=GD;(2) 判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由；(3)假設(shè)AB=2,AG=/2,求EB的長。g1)因為正方形 AEFG中，AE垂直于AG，那么<EAF=90o -45o= 45o 在三角形 AEB 和三角形 AGD 中，AB=AD , <EAG=<GAD=45o , AE=AG 所以三角形AEB和三角形AGD全等，所以BE=DG。2EB 丄GD，連接 BD，由1得/ ADG= / ABE 那么在 BDH 中，角 ABH+ 角HBD+角BDH=90度，角GDA=角ABH，所以，角HBD+角BDH=90度，所 以，DHB=90所以EB丄GD ;3A

17、B=2,AG=/2設(shè)BD與C交0點，在RT三角形ABD中，BDA2=ABA2+ADA2 =V(4+4)=2 V2,在 Rt 三角形 GODh GDA2=(AG+AO)A2-DOA2=&2)八2- V2八2=6 GD= V6,GD=BE所以 BE=/6。P6 1頁，第15題：如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC,AD=AB=CD=2,角C=60度，M是BC的中點，1求證三角形MDC!等邊三角形；將厶MD(繞點M旋轉(zhuǎn)，當MD艮卩MD丨與AB交于一點E, MC即卩MC同時與 AD交于一點F時，點E, F和點A構(gòu)成AAEF試探究 AEF的周長是否存在最小 值？如果不存在，請說明理由；如果存在，

18、請計算出 AEF周長的最小值.1過點D作DP丄BC于點P，過點A作AQ丄BC于點Q，得到CP=BQ= 1/2AB , CP+BQ=AB=1，得出 BC=2CD，由點 M 是 BC 的中點，推出 CM=CD，由/ C=60° , 根據(jù)等邊三角形的判定即可得到答案；2A AEF的周長存在最小值，理由是連接 AM，由ABMD是菱形，得出MAB , MAD和厶MC D是等邊三角形，推出/ BME= / AMF,證出 BME也 AMF ASA，得出BE=AF , ME=MF，推出 EMF是等邊三角形，根據(jù) MF 的最小值為點M到AD的距離V 3,即EF的最小值是V 3,即可求出厶AEF的 周長.解答"侖 時PC1證明：過點D作DPI BC于點P,過點A作AQL BC于點Q,即AQ/ DP, v AD/ BC,二 ADPQ1 平行四邊形，二 AD=QP=AB=CD/Z C=Z B=60° ,二/ BAQM CDP=30，二 CP=BQ=1/2AB=,1 即 BC=1+1+2=4 v CD=2 二 BC=2CD v 點 M是 BC 的中點，BC=2CM二CD=CM vZ C=60，二 MD是等邊三角形.2解： AEF的周長存在最小值，理由如下：連接 AM由