1、第四章第四章 平面問題的極坐標(biāo)解答平面問題的極坐標(biāo)解答4-1 4-1 極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程4-9 4-9 圓孔的孔邊應(yīng)力集中圓孔的孔邊應(yīng)力集中4-4 4-4 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式4-3 4-3 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程4-2 4-2 極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程4-5 4-5 軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移4-6 4-6 圓環(huán)或圓筒受均布壓力。壓力隧洞圓環(huán)或圓筒受均布壓力。壓力隧洞4-7 4-7 曲梁的純彎曲曲梁的純彎曲4-8 4-8 圓盤在勻速轉(zhuǎn)動中的應(yīng)力及位移圓盤在勻速轉(zhuǎn)動

2、中的應(yīng)力及位移4-10 4-10 楔形體在楔頂或楔面受力楔形體在楔頂或楔面受力4-11 4-11 半平面體在邊界上受法向集中力半平面體在邊界上受法向集中力習(xí)題課習(xí)題課4-1 4-1 極坐標(biāo)中的平衡微分方程極坐標(biāo)中的平衡微分方程 在處理彈性力學(xué)問題時(shí)，選擇什么形式的坐標(biāo)系統(tǒng)，雖不會影響對問題本質(zhì)的描繪，但卻直接關(guān)系到解決問題的難易程度。如坐標(biāo)選得合適，可使問題大為簡化。例如對于圓形、楔形、扇形等物體，采用極坐標(biāo)求解比用直角坐標(biāo)方便的多。圖41 考慮平面上的一個(gè)微分體 ，沿 方向的正應(yīng)力稱為徑向正應(yīng)力，用 表示，沿 方向的正應(yīng)力稱為切向正應(yīng)力，用 表示，剪應(yīng)力用 表示，各應(yīng)力分量的正負(fù)號的規(guī)定和直

3、角坐標(biāo)中一樣。徑向及環(huán)向的體力分量分別用 及 表示。如圖4-1。PACBrrrrKKrrrrdrrrrrdddrrdrrdrKrKyxoPABC 考慮圖示單元體的平衡，有三個(gè)平衡方程：0, 0, 0MFFr由 ，可以得出剪應(yīng)力互等關(guān)系： 0Mrr 0rF由 ，有：0)(22)()(drrdKdrdrdddrddrdrdddrrdrrrrrrrrr 0F由 ，有：022)()()(drrdKddrddrdrdddrrdrrdrdrdrrrrrr因?yàn)?很微小，所以取 ， ，并用 代替 ，整理以上兩式，得：d22sindd12cosdrr02101KrrrKrrrrrrrrr這就是極坐標(biāo)的平衡微分方

4、程。 兩個(gè)平衡微分方程中包含三個(gè)未知函數(shù) 、 和 ，所以問題是靜不定的。因此必須考慮變形條件和物理關(guān)系。rrr 上述方程和直角坐標(biāo)系下的平衡方程有所不同，直角坐標(biāo)系中，應(yīng)力分量僅以偏導(dǎo)數(shù)的形式出現(xiàn)，在極坐標(biāo)系中，由于微元體垂直于半徑的兩面面積不等，而且半徑愈小差值愈大，這些反映在方程里帶下劃線的項(xiàng)中。一、幾何方程一、幾何方程位移與形變間的微分關(guān)系4-2 4-2 極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程極坐標(biāo)中的幾何方程及物理方程在極坐標(biāo)中規(guī)定:rrruu -徑向正應(yīng)變-環(huán)向正應(yīng)變-剪應(yīng)變(徑向與環(huán)向兩線段之間的直角的改變)-徑向位移-環(huán)向位移用疊加法討論極坐標(biāo)中的形變與位移間的微分關(guān)系。圖4-2drdrr

5、uo（1）假定只有徑向位移，而無環(huán)向位移。如圖4-2所示。徑向線段 的正應(yīng)變?yōu)椋篜Arudrudrruurrrrr)(環(huán)向線段 的正應(yīng)變?yōu)椋篜Brurdrddurrr)(徑向線段 的轉(zhuǎn)角為：PA0環(huán)向線段 的轉(zhuǎn)角為：PBrrrrurrduduu1)(可見剪應(yīng)變?yōu)椋簉rur1drPP BB A Adruo（2）假定只有環(huán)向位移，而無徑向位移。如圖4-3所示。圖4-3徑向線段 的正應(yīng)變?yōu)椋篜A0r環(huán)向線段 的正應(yīng)變?yōu)椋篜Burrduduu1)(徑向線段 的轉(zhuǎn)角為：PArudrudrruu)(環(huán)向線段 的轉(zhuǎn)角為：PBru可見剪應(yīng)變?yōu)椋簉urur 如果同時(shí)存在徑向和環(huán)向位移，則由疊加法得：ruruur

6、urrururrrrr11這就是極坐標(biāo)中的幾何方程。二、物理方程二、物理方程（1）平面應(yīng)力情況：rrrrrrEGEE)1 (21)(1)(1（2）平面應(yīng)變情況：rrrrrEEE)1 (2)1(1)1(122 將上式中的 換為 ， 換為 。E21E14-3 4-3 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)與相容方程 為了得到極坐標(biāo)中用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)力和相容方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系：sin,cosarctan,222ryrxxyyxr得到：rrxyrryxryyrrxxrcos,sin,sin,cos22rryyrryrrxxrrxcossinsincos2222222222222

7、22222222222coscossin2coscossin2sinsincossin2sincossin2cosrrrrrrryrrrrrrrx222222222222cossinsincoscossinsincoscossinrrrrrrryx 在=0時(shí)，極坐標(biāo)的各分量和直角坐標(biāo)各分量相同。將上面各式代入應(yīng)力分量的表達(dá)式（常體力）：yxxyxyyx22222（a）（b）（c）得到：)1()()()()(11)()(0202202202220220rryxrxrrryyxryxr可以證明，當(dāng)體力為零時(shí)，這些應(yīng)力分量確能滿足平衡微分方程。由（a）+（b），得：22222222211rrrryx

8、于是由直角坐標(biāo)的相容方程：0)(22222yx得到極坐標(biāo)中的相容方程：0)11(222222rrrr 用極坐標(biāo)求解平面問題時(shí)（體力不計(jì)），就只須從相容方程求解應(yīng)力函數(shù) ，然后求出應(yīng)力分量，再考察應(yīng)力分量是否滿足邊界條件，多連體還要滿足位移單值條件。),(r4-4 4-4 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式 在一定的應(yīng)力狀態(tài)下，如果已知極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量，就可以利用簡單的關(guān)系式求得直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量。反之，如果已知直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量，也可以利用簡單的關(guān)系式求得極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量。 設(shè)已知極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量 、 、 。試求直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量 、 、 。rrxyxyrryyxrrrrxy

9、xcaboyxAB圖4-4 如圖4-4，在彈性體中取微小三角板 ，各邊上的應(yīng)力如圖所示。三角板的厚度取為一個(gè)單位。令 邊的長度為 ，則 邊及 邊的長度分別為 及 。 Abcdsabacsindscosds 根據(jù)三角板 的平衡條件 ，可得平衡方程：A 0 xF0cossinsincossincos22dsdsdsdsdsrrrx用 代替 ，得：rrcossin2sincos22rrx同理，由平衡條件 ，可得： 0yF)sin(coscossin)(22rrxy另取微小三角板 ，如圖4-4，根據(jù)平衡條件 ，得到： 0yFBcossin2cossin22rry 綜合以上結(jié)果，得出應(yīng)力分量由極坐標(biāo)向直

10、角坐標(biāo)的變換式為：)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222rrxyrryrrx利用簡單的三角公式，上式可改寫為：2cos2sin22sin2cos222sin2cos22rrxyrrryrrrx4-5 4-5 軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移軸對稱應(yīng)力和相應(yīng)的位移 如果應(yīng)力分量僅是半徑的函數(shù)，如受內(nèi)外壓的圓環(huán)，稱為軸對稱問題。 采用逆解法，假定應(yīng)力函數(shù) 僅是徑向坐標(biāo) 的函數(shù):r)(r相容方程簡化為:0dd1dd222rrr這是一個(gè)四階常微分方程，它的通解為:DCrrBrrA22lnln 這時(shí)，應(yīng)力的表達(dá)式為:02)ln23(2)ln21 (22rr

11、rCrBrACrBrA 正應(yīng)力分量僅是 的函數(shù)，與 無關(guān)，并且剪應(yīng)力為零，應(yīng)力分量對稱于通過z軸的任一平面，稱為軸對稱應(yīng)力。r 將上述應(yīng)力的表達(dá)式代入應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式中，可以得到應(yīng)變的表達(dá)式,再代入位移與應(yīng)變積分后的幾何方程,得到軸對稱應(yīng)力狀態(tài)下的位移分量:cossin4sincos)1 (2)31 () 1(ln)1 (2)1 (1KIHrEBruKICrBrrBrrAEur 對于平面應(yīng)變問題，須將上面公式 換為 ， 換為 。E21E14-6 4-6 圓環(huán)或圓筒受均布壓力。壓力隧洞圓環(huán)或圓筒受均布壓力。壓力隧洞 如圖4-5，圓環(huán)的內(nèi)半徑為a，外半徑為b，受內(nèi)壓力qa，外壓力qb。為軸對稱問題。

12、根據(jù)上節(jié)有解為:02)ln23(2)ln21 (22rrrCrBrACrBrA圖4-5邊界條件為:bbrraarrbrrarrqq)(,)(0)(, 0)(一、圓環(huán)或圓筒受均布壓力一、圓環(huán)或圓筒受均布壓力 在這里只有兩個(gè)方程，而有三個(gè)待定常數(shù)，需要從多連體的位移單值條件補(bǔ)充一個(gè)方程。在環(huán)向位移表達(dá)式：cossin4KIHrEBru中，第一項(xiàng)是多值的，在同一r處， =1和=1+2時(shí)，環(huán)向位移成為多值，這是不可能的，因此，從位移單值條件必須有B=0。 這樣從上面兩個(gè)方程中可解出A和C，代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得到拉密解答：baqCbAqCaA2222于是:baqCbBbAqCaBaA2)ln1 (2)

13、ln1 (22由邊界條件得到:babarqbaraqabrbqbaraqabrb222222222222222211111111 下面分別討論內(nèi)壓力和外壓力單獨(dú)作用的情況。（1）只作用均勻內(nèi)壓時(shí)（ ），例如液壓缸，上面解答化為：0bqaarqabrbqabrb11,1122222222r圖4-6應(yīng)力分布大致如圖4-6所示。當(dāng) 時(shí)，得到具有圓孔的無限大薄板，或具有圓形孔道的無限大彈性體，這時(shí)上面的解答成為：baarqraqra2222,（2）只有外壓時(shí)（ ），例如液壓柱塞，上面解答化為：0aqbbrqbaraqbara2222222211,11應(yīng)力分布大致如圖4-7所示。r圖4-7二、壓力隧洞二

14、、壓力隧洞qo,E,Errr圖4-8 如圖4-8所示，受均勻內(nèi)壓力 作用的圓筒埋在無限大彈性體中，圓筒和無限大彈性體的材料不同。試分別討論兩者的應(yīng)力和位移情況。q 兩者都屬于軸對稱應(yīng)力問題，采用半逆解法。設(shè)圓筒的應(yīng)力表達(dá)式為：CrACrAr2,222設(shè)無限大彈性體的應(yīng)力表達(dá)式為：CrACrAr2,222由應(yīng)力邊界條件求待定常數(shù) 、 、 、 。ACAC（1）在圓筒的內(nèi)表面：qarr)(由此得：qCaA22（2）在無限大彈性體內(nèi)距離圓筒很遠(yuǎn)處幾乎沒有應(yīng)力。0)( , 0)(rrr由此得：02C（3）在圓筒和無限大彈性體的接觸面上，應(yīng)當(dāng)有：brrbrr)()(（1）（2）由此得：CbACbA2222

15、三個(gè)方程不足以確定四個(gè)常數(shù)，下面來考慮位移。 由于圓筒和無限大彈性體都是多連體，并屬于平面應(yīng)變問題，可以寫出兩者的徑向位移的表達(dá)式。圓筒：sincos)11 (2)11 (12KICrrAEur無限大彈性體：sincos)11 (2)11 (12KIrCrAEur將以上兩式簡化后得：sincos)21 (21KIrACrEursincos)21 (21KIrArCEur（3）在接觸面上，兩者應(yīng)具有相同的位移，即：brrbrruu)()(因此有：sincos)21 (21sincos)21 (21KIbAbCEKIbACbE因?yàn)檫@一方程在接觸面上的任意一點(diǎn)都應(yīng)當(dāng)成立，也就是在 取任何數(shù)值時(shí)都應(yīng)當(dāng)

16、成立，所以方程兩邊的自由項(xiàng)必須相等。于是有：)21 (21)21 (21bAbCEbACbE簡化后，得：0)21 (222bAbACn其中：)1 ()1 (EEn（4）聯(lián)立方程（1）、（2）、（3）、（4）求出 、 、 、 ，代入應(yīng)力分量的表達(dá)式，得： ACAC)1 ()21 (1 )1 (2)1 ()21 (1 )1 ()21 (1 )1 ()21 (1 )1 ()21 (1 222222222222nabnrbnqnabnnrbnqnabnnrbnqrr 當(dāng) 時(shí)，應(yīng)力分布大致如圖4-8所示。1n4-7 4-7 曲梁的純彎曲曲梁的純彎曲r 內(nèi)半徑為a，外半徑為b的狹矩形截面的圓軸曲梁，在兩端

17、受大小相等、方向相反的彎矩，為軸對稱問題。有：02)ln23(2)ln21 (22rrrCrBrACrBrA邊界剪應(yīng)力都為零：0)( , 0)(0)( , 0)(0rrbrrarr圖4-9 在梁的內(nèi)外兩面，正應(yīng)力要求:0)(,0)(brrarr02)ln21 (02)ln21 (22CbBbACaBaA從而可得：在梁端的邊界條件要求:Mrrrbabad0d0dddd22arrbrrbarbababaabrrrrr Marabrrrrrrrrrrrrbarbrrbabarbababababa22222)()(dddddddddd則：將 的表達(dá)式：DCrrBrrA22lnln代入，并由邊界條件得：

18、MabCaabbBabA)()lnln(ln2222 在這里有三個(gè)方程和三個(gè)待定常數(shù)，解出A、B和C，代入應(yīng)力分量表達(dá)式，得到郭洛文解答:0lnlnln14lnlnln4222222222222rrrabrbarrbababNaMabrbarrbabNaM其中：222222ln41abababN 4-8 4-8 圓盤在勻速轉(zhuǎn)動中的應(yīng)力及位移圓盤在勻速轉(zhuǎn)動中的應(yīng)力及位移一、等厚度圓盤在勻速轉(zhuǎn)動中的應(yīng)力及位移一、等厚度圓盤在勻速轉(zhuǎn)動中的應(yīng)力及位移 設(shè)有等厚度圓盤，繞其回轉(zhuǎn)軸以勻角速度 旋轉(zhuǎn)。圓盤可以認(rèn)為是在下面的體力作用下處于平衡狀態(tài)：0,2KrKr 由于這里是軸對稱的物體受軸對稱的體力，所以應(yīng)力

19、分布也是軸對稱的。 即：應(yīng)力分量 及 都只是 的函數(shù)，而 rr0rr 。所以有平衡微分方程：02102Krrrrrdrdrrrr令：22,rdrdrr(1) 在這里，由于圓盤只受回轉(zhuǎn)軸的約束，而這種約束是軸對稱的，所以它的彈性位移也是軸對稱的。即：徑向位移 ，而環(huán)向位移 。于是幾何方程簡化為：)(ruurr0u0,rrrrruudrd消去 ，得到相容方程：ru)(rdrdr32222)3(rdrdrdrdr解方程得到：將物理方程代入，再聯(lián)立式(1)，得到由應(yīng)力函數(shù) 表示的相容方程：rBArr28332聯(lián)立式（1），得：2222222831283rBArrBArr(2)其中 和 是任意常數(shù)。AB

20、 盤邊的邊界條件：0)(arr其中 是圓盤的半徑。代入式（2），得：a2243aA取 ，代入式（2）得應(yīng)力分量的表達(dá)式為：0B)3311 (83)1 (8322222222araarar最大應(yīng)力在圓盤的中心：2200max83)()()(arrr徑向位移：)1 ()3(8)1 ()(3332ararEaErrurr在圓盤的中心（ ）， 。最大彈性位移發(fā)生在圓盤的邊緣（ ）：0r0ruar Eaur4)1 ()(32max二、變厚度圓盤在勻速轉(zhuǎn)動中的應(yīng)力及位移二、變厚度圓盤在勻速轉(zhuǎn)動中的應(yīng)力及位移 假定圓盤的厚度為 ，而應(yīng)力不沿厚度變化，則等厚度圓盤的微分方程可以近似地應(yīng)用于每單位厚度的圓盤。于

21、是可得全厚度內(nèi)的平衡微分方程為：)(rtt 0)(2rtrtttdrdrr令：22,trdrdtrtr可得：32222)3()1 ()1 (trdrdttrdrdrdrdttrdrdr 取厚度的變化規(guī)律為： Crt其中 是常數(shù)， 為任意正數(shù)。則上式成為：C32222)3()1 ()1 (Crdrdrdrdr解方程，得：32)3(83rCBrArnm其中 和 是任意常數(shù)，而：AB)1 ()2(22nm由此可得出應(yīng)力分量：2211222211)3(8311)3(83rnrCBmrCArdrdtrrCBrCAtrnmnmrmaCA32)3(83由邊界條件 ，求得： 0)(arr為了應(yīng)力在圓盤的中心（

22、 ）處不成為無限大，取 。0r0B從而得應(yīng)力分量為：)(331)()3(83)()()3(8321222122ararmaararammr)(1 ()()(3()3(8)(3232ararmEaErrumrr且，有：4-9 4-9 圓孔的孔邊應(yīng)力集中圓孔的孔邊應(yīng)力集中 板中開有小孔，孔邊的應(yīng)力遠(yuǎn)大于無孔時(shí)的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力，稱為孔邊應(yīng)力集中。 應(yīng)力集中的程度與孔的形狀有關(guān)。一般說來，圓孔孔邊的集中程度最低。這里簡略討論圓孔孔邊應(yīng)力集中問題，較為復(fù)雜的孔邊應(yīng)力集中問題一般用復(fù)變函數(shù)方法，在第五章中進(jìn)行討論。rrAb圖4-10一、一、 矩形板左右兩邊受集度為矩形板左右兩邊受集度為q

23、q的均布拉力的均布拉力 設(shè)有矩形薄板，在離開邊界較遠(yuǎn)處有半徑為 的小圓孔，在左右兩邊受均布拉力，其集度為 ，如圖4-10。aq2sin2)(,2cos22)(qqqbrrbrr 以遠(yuǎn)大于 的某一長度 為半徑，以小孔中心為圓心作圓，根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換公式，得到大圓的邊界條件：ba上述面力可以分解成兩部分，其中第一部分是：0)(,2)(brrbrrq第二部分是：2sin2)(,2cos2)(qqbrrbrr求面力（a）所引起的應(yīng)力。令： 。得： 2qqb0,112,11222222222rrbaraqbaraq(a)(b)由于 ，所以可近似地取 ，從而得到解答：ab 0ba0),1 (2)

24、,1 (22222rrraqraq求面力（b）所引起的應(yīng)力。采用半逆解法：假設(shè) 為 的某一函數(shù)乘以 ，而 為 的另一函數(shù)乘以 。即：rr2cosrr2sin2sin)(,2cos)(21rrrr又應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力分量之間的關(guān)系為：)1(,11222rrrrrrr因此可以假設(shè)：2cos)(rf代入相容方程，得：0)(9)(9)(2)(2cos32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd刪去 ，求解常微分方程，得：2cos224)(rDCBrArrf從而得應(yīng)力函數(shù)：2cos)(224rDCBrAr從而得應(yīng)力分量：2sin)6226(2cos)6212(2cos)642(422424

25、2rDrCBArrDBArrDrCBrr 對上式應(yīng)用邊界條件（b），并由邊界條件：0)(, 0)(arrarr得到方程：264242qbDbCB0622606422622642242422aDaCBAaaDaCBqbDbCBAb求解 、 、 、 ，令 ，得：ABCD0ba4,4, 042qaDqaCqBA將各已知量代入應(yīng)力分量表達(dá)式，即得齊爾西的解答：2sin)31)(1 (22cos)31 (2)1 (22cos)31)(1 (2)1 (222224422222222raraqraqraqraraqraqrrr二、矩形板四邊受二、矩形板四邊受q的均布拉力的均布拉力 如果矩形薄板在左右兩邊受有

26、均布拉力 ，并在上下兩邊受有均布拉力 ，如圖4-11，也可由前面解答得出應(yīng)力分量。首先命該解答中的 等于 ，然后命該解答中的 等于 ，將 用 代替，最后將兩個(gè)結(jié)果相疊加。得到：1q2qq1qq2q0902sin)31)(1 (22cos)31 (2)1 (22cos)31)(1 (2)1 (2222221442122212222212221raraqqraqqraqqraraqqraqqrr圖4-111q1q2q2q4-10 4-10 楔形體在楔頂或楔面受力楔形體在楔頂或楔面受力rrrP圖4-12 楔形體的中心角為 ，下端為無限長。1. 頂部受集中力P 設(shè)楔形體在楔頂受有集中力，與楔形體的中心

27、線成角 。取單位寬度的部分來考慮，并令單位寬度上所受的力為 。 楔形體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力分量決定于、P、r、，因此，應(yīng)力分量的表達(dá)式中只包含這幾個(gè)量。其中、是無量綱的量，因此根據(jù)應(yīng)力分量的量綱，應(yīng)力分量的表達(dá)式應(yīng)取PN/r的形式，其中N是、組成的無量綱的量。由應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)式可以看出應(yīng)力函數(shù)中r的冪次應(yīng)當(dāng)比各應(yīng)力分量的冪次高出兩次，因此可設(shè)： P)(rf代入相容方程后得：0)(d)(d2d)(d122443fffr求解這一微分方程，得：)sincos(sincos)sincos(sincos)(DCrBrArDCBAfByAxBrArsincos不影響應(yīng)力，取：其中)sincos(DCr于是得：0)

28、1(0)sincos(21122222rrrCDrrrrrrr楔形體左右兩面的邊界條件：0)(, 0)(2/2/ara 上述應(yīng)力分量滿足該邊界條件。集中力P按圣維南原理處理，取出任一圓柱面ab，則該截面上的應(yīng)力和P合成平衡力系：0sinsind:00coscosd:02/2/2/2/PrFPrFryrx將 的表達(dá)式代入，可求出C、D，最后得到密切爾解答：r00)sincossinsincoscos(2rrrrP2.頂部受有力偶M作用rrr圖4-13 設(shè)楔形體在楔頂受有力偶，而每單位寬度內(nèi)的力偶矩為M ，如圖4-13。 根據(jù)和前面相似的分析，應(yīng)力分量應(yīng)為MN/r2的形式，而應(yīng)力函數(shù)應(yīng)與r無關(guān)。)

29、(代入相容方程后，得：0dd4dd122444r求解這一微分方程，得：DCBA2sin2cos 力偶可看成反對稱力，正應(yīng)力和應(yīng)力函數(shù)應(yīng)當(dāng)是 的奇函數(shù)，從而A=D=0,于是：22222222cos2)1(02sin411rCBrrrrBrrrrrr楔形體左右兩面邊界條件：0)( ,0)(2/2/ara上述應(yīng)力分量自動滿足第一式，根據(jù)第二式，可得：cos2BC于是：22)cos2(cos202sin4rBrBrrr 集中力偶M按圣維南原理處理，取出任一圓柱面ab，則該截面上的應(yīng)力M成平衡力系：cossin20d:022/2/MBMrMro最后得到英格立斯的解答：22)cos(sin)cos2(co

30、s0)cos(sin2sin2rMrMrrr3.一面受均布壓力qr圖4-14 設(shè)楔形體在一面受有均布壓力 ,如圖4-14。q 應(yīng)力分量應(yīng)為qN的形式，而應(yīng)力函數(shù)應(yīng)為qNr2的形式：)(2fr代入相容方程后，得：0d)(d4d)(d122442ffr求解這一微分方程，得:)2sin2cos(2DCBArCBADCBADCBArrr2cos22sin2222sin22cos2222sin22cos2邊界條件為:0)(, 0)(0)(,)(00rrq求解常數(shù)，得應(yīng)力分量的李維解答：qqqqqrrr)(tg22sintg)2cos1 ()(tg2)2sin2()2cos1 (tg)(tg2)2sin2

31、()2cos1 (tg4-11 4-11 半平面體在邊界上受法向集中力半平面體在邊界上受法向集中力xyPro00cos2rrrrP利用坐標(biāo)變換可得到直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量式（2）：rPrPrPxyyx223cossin2cossin2cos2（1）（2） 命楔形體的中心角等于一個(gè)平角，這楔形體的兩個(gè)側(cè)邊就連成一個(gè)直邊，而楔形體就成為一個(gè)半平面體，如圖4-15。一、應(yīng)力分量一、應(yīng)力分量0P 當(dāng)平面體在邊界上受有垂直于邊界的力 時(shí)，在密切爾解答中令 、 。于是得式（1）：圖4-15或?qū)⑵渲械臉O坐標(biāo)改為直角坐標(biāo)而得：222222222223)(2)(2)(2yxyxPyxxyPyxxPxyyx二、位移

32、分量二、位移分量 假設(shè)是平面應(yīng)力情況。將應(yīng)力分量代入物理方程，得形變分量：0,cos2,cos2rrrEPrEP再將形變分量代入幾何方程，得：01cos21cos2ruruurrEPurrurEPrurrr于是可以得出位移分量：cossincos)1 (sin)1 (lnsin2sincossin)1 (lncos2KIHrEPEPrEPuKIEPrEPur其中 、 、 都是任意常數(shù)。HIK 由對稱條件 ，得：0)(0u0, 0KH代入式（3），得：（3）sinsin)1 (cos)1 (lnsin2cossin)1 (lncos2IEPEPrEPuIEPrEPur 如果半平面體不受鉛直方向的

33、約束，則常數(shù) 不能確定。如果半平面體受有鉛直方向的約束，就可以根據(jù)這個(gè)約束條件來確定常數(shù) 。II（4） 邊界上任意一點(diǎn) 向下的鉛直位移，即所謂沉陷。由式（4）中的第二式可得 點(diǎn)的沉陷為：MMIEPrEPu)1 (ln2)(2 如果常數(shù) 沒有確定，則沉陷也不能確定。這時(shí)只能求出相對沉陷。I 在邊界上取定一個(gè)基點(diǎn) ，它距載荷作用點(diǎn)的水平距離為 。則邊界上一點(diǎn) 對于基點(diǎn) 的相對沉陷，等于 點(diǎn)的BsMBM沉陷減去 點(diǎn)的沉陷，如圖4-16：B)1 (ln2)1 (ln2IEPsEPIEPrEP簡化以后，得：rsEPln2POsyxBMr圖4-16 半平面體在邊界上受法向分布力作用時(shí)的應(yīng)力和沉陷,可以由半

34、平面體在邊界上受法向集中力用疊加法得出。0a0c0b練習(xí)練習(xí)1 如圖1所示，由內(nèi)外筒組成的組合筒（長度有限，兩端自由），裝配前內(nèi)筒的外半徑比外筒的內(nèi)半徑大 ，求接觸壓力 ，并導(dǎo)出環(huán)向預(yù)應(yīng)力的表達(dá)式。Ap解：解：1.設(shè)裝配后接合處的公共半徑為 ，接觸壓力 使內(nèi)筒的外半徑減小了 ，而使外筒的內(nèi)半徑增大了 ，按位移協(xié)調(diào)條件有：0cp21212.將 代入只受內(nèi)壓力作用圓環(huán)的位移公式，得：pqbbcacra,000)(120202020101cbcbEpc（1）（2）平面問題的極坐標(biāo)解答平面問題的極坐標(biāo)解答習(xí)題課習(xí)題課圖1)(220202020202acacEpc（3）將式（2）、（3）代入式（1），得

35、：)()(2202020202012020202010acacEpccbcbEpc3.若內(nèi)、外筒為同一種材料，則 ，從上式可解得：2121,EEE)(2)(20203020202020abcaccbEp4.內(nèi)、外筒的環(huán)向應(yīng)力為：)1 ()(),1()(220202020220202020rbcbpcraacpc內(nèi)外將 代入只受外壓力作用圓環(huán)的位移公式，得：pqcbaacrb,000解：解：oyxPrr 練習(xí)練習(xí)22楔形體頂端受集中力 作用， 與 軸的夾角為 ，如圖2所示。取單位厚度考慮，試確定楔形體內(nèi)的應(yīng)力分量。Px1.由于描述楔形體幾何特征的角度 是無量綱的，故可由量綱分析法得知，應(yīng)力函數(shù)中

36、 只能以一次冪形式出現(xiàn)，即：r)(rf2.由調(diào)和方程求出 后，即可求得應(yīng)力函數(shù)為：)(f)sincos(sincosDCBAr 由于 不影響應(yīng)力分量，故可刪去，因此有：ByAxBrArsincos0),sincos(2)sincos(rrCDrDCr（1）（2）（3）（4）圖23.楔形體兩側(cè)面的邊界條件能自然滿足：0)(, 0)(ara考慮半徑為 的楔形體上部的靜力平衡條件：raaroaaraaryaaaarrxdrMPrdrdFPrdrdF0:00sincossin:00cossincos:02由前兩式可解出 和 ，從而求出應(yīng)力分量（密切爾解）：CD2sin2cos,2sin2sinPDPC

37、0,)2sin2(sinsin2)2sin2(coscos2rrrPrP 練習(xí)練習(xí)33求圖3所示問題的截面m-n上的應(yīng)力 。xmnxPPaM oxymnxyPoxac2解：解：（a）（b）將圖（a）所示力系向 點(diǎn)簡化，便得圖（b）所示與原力系靜力等效的力系，其中 。根據(jù)圣維南原理，此類代換對遠(yuǎn)離楔頂之處的應(yīng)力的影響可不計(jì)。將楔頂受集中力作用與受力矩作用下的應(yīng)力解答疊加，得原問題的應(yīng)力：oPaM 圖32cos22sin2cos2cos, 02cos22sin2sin22sin2sin222rParParPrr由應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換式可得：)(2cos)()(32cos22sin2)(2sin22cossin2sincos22232233223222222yxxyyxxyyxyxPayxyxPrrx) 1 (0)11)(11(2222222222rrrrrrrr 練習(xí)練習(xí)4 4 試將以 表示的相容方程式 展開。011222222rrrr)1()1(1)1(1)1()(1)(1)(222222222222222222222r