1、第二章2.32.3.2理解教材新知把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二 隨手打開(kāi)一本書(shū)，發(fā)現(xiàn)每?jī)蓵?shū)頁(yè)之間所在的平隨手打開(kāi)一本書(shū)，發(fā)現(xiàn)每?jī)蓵?shū)頁(yè)之間所在的平面也形成一個(gè)空間問(wèn)題，或?qū)⒁粡埣埐鸠B后也會(huì)形面也形成一個(gè)空間問(wèn)題，或?qū)⒁粡埣埐鸠B后也會(huì)形成同樣的問(wèn)題成同樣的問(wèn)題 問(wèn)題問(wèn)題1 1：通過(guò)上述問(wèn)題，聯(lián)想空間兩直線(xiàn)、空間線(xiàn)與：通過(guò)上述問(wèn)題，聯(lián)想空間兩直線(xiàn)、空間線(xiàn)與面都可形成角，那么空間兩平面會(huì)形成角嗎？面都可形成角，那么空間兩平面會(huì)形成角嗎？ 提示：可以提示：可以 問(wèn)題問(wèn)題2 2：動(dòng)手折疊一張紙，隨著翻動(dòng)，會(huì)發(fā)現(xiàn)兩平面：動(dòng)手折疊一張紙，隨著翻動(dòng)，會(huì)發(fā)現(xiàn)兩平面形成角有何特點(diǎn)？形成

2、角有何特點(diǎn)？ 提示：可以是銳角、直角、鈍角、平角提示：可以是銳角、直角、鈍角、平角 問(wèn)題問(wèn)題3 3：兩平面形成的角可否為：兩平面形成的角可否為0 0角？角？ 提示：可以，當(dāng)兩平面平行時(shí)滿(mǎn)足提示：可以，當(dāng)兩平面平行時(shí)滿(mǎn)足 二面角二面角 (1)定義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的定義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的 所組成的圖形叫做二面角所組成的圖形叫做二面角(如圖如圖) 叫做二面角的棱，叫做二面角的棱，叫做二面角的面叫做二面角的面 記法：記法： ，在，在，內(nèi)，分別取點(diǎn)內(nèi)，分別取點(diǎn)P、Q時(shí)，可時(shí)，可記作記作 ；當(dāng)棱記為；當(dāng)棱記為l時(shí)，可記作時(shí)，可記作 或或 .兩個(gè)半兩個(gè)半平面平面半平面半平面和和ABPABQlPlQ直線(xiàn)直線(xiàn)A

3、B (2)二面角的平面角二面角的平面角: 定義：在二面角定義：在二面角l的棱的棱l上上任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)O，如圖所示，以點(diǎn)，如圖所示，以點(diǎn)O為垂足，為垂足，在在 分別作垂直于棱分別作垂直于棱l的射的射線(xiàn)線(xiàn)OA和和OB，則射線(xiàn)，則射線(xiàn)OA和和OB構(gòu)成的構(gòu)成的AOB叫做叫做 直二面角：平面角是直二面角：平面角是 的二面角的二面角半平面半平面和和內(nèi)內(nèi)二面角的平面角二面角的平面角直角直角 建筑工地上，泥水匠砌墻時(shí)，建筑工地上，泥水匠砌墻時(shí)，為了保證墻面與地面垂直，泥水為了保證墻面與地面垂直，泥水匠常常在較高處固定一條端點(diǎn)系匠常常在較高處固定一條端點(diǎn)系有鉛錘的線(xiàn)，再沿著該線(xiàn)砌墻，有鉛錘的線(xiàn)，再沿著該線(xiàn)砌墻

4、，如圖，這樣就能保證墻面與地面如圖，這樣就能保證墻面與地面垂直垂直 問(wèn)題問(wèn)題1 1：由上述可知當(dāng)直線(xiàn)與平面垂直時(shí)，過(guò)此直線(xiàn)：由上述可知當(dāng)直線(xiàn)與平面垂直時(shí)，過(guò)此直線(xiàn)可作無(wú)數(shù)個(gè)平面，那么這些平面與已知平面有何關(guān)系？可作無(wú)數(shù)個(gè)平面，那么這些平面與已知平面有何關(guān)系？ 提示：垂直提示：垂直 問(wèn)題問(wèn)題2 2：若要判斷兩平面是否垂直，根據(jù)上述問(wèn)題能：若要判斷兩平面是否垂直，根據(jù)上述問(wèn)題能否得出一方法？否得出一方法？ 提示：可以，只需在一平面內(nèi)找一直線(xiàn)垂直于另一平提示：可以，只需在一平面內(nèi)找一直線(xiàn)垂直于另一平面即可面即可 1面面垂直的定義面面垂直的定義 (1)定義：如果兩個(gè)平面相交，且它們所成的二面定義：如果

5、兩個(gè)平面相交，且它們所成的二面角是角是 ，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直 (2)畫(huà)法：畫(huà)法： 記作：記作： .直二面角直二面角 2兩平面垂直的判定兩平面垂直的判定 (1)文字語(yǔ)言：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)文字語(yǔ)言：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的平面的 ，則這兩個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面垂直 (2)圖形語(yǔ)言：如圖圖形語(yǔ)言：如圖 (3)符號(hào)語(yǔ)言：符號(hào)語(yǔ)言：AB，ABB，AB.垂線(xiàn)垂線(xiàn) 1 1對(duì)于二面角及其平面角的理解對(duì)于二面角及其平面角的理解 (1) (1)二面角是一個(gè)空間圖形，而二面角的平面角是二面角是一個(gè)空間圖形，而二面角的平面角是平面圖形，二面角的大小通過(guò)其平面角的大小表示，平面圖形，二面角的

6、大小通過(guò)其平面角的大小表示，體現(xiàn)了由空間圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化的思想體現(xiàn)了由空間圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化的思想 (2) (2)二面角的平面角的定義是兩條二面角的平面角的定義是兩條“射線(xiàn)射線(xiàn)”的夾角，的夾角，不是兩條直線(xiàn)的夾角，因此，二面角不是兩條直線(xiàn)的夾角，因此，二面角的取值范圍是的取值范圍是0 0180180. . 2 2對(duì)于平面與平面垂直的判定定理的理解對(duì)于平面與平面垂直的判定定理的理解 平面與平面垂直的判定定理告訴我們，可以通過(guò)平面與平面垂直的判定定理告訴我們，可以通過(guò)直線(xiàn)與平面垂直來(lái)證明平面與平面垂直通常我們將直線(xiàn)與平面垂直來(lái)證明平面與平面垂直通常我們將其記為其記為“線(xiàn)面垂直，則面面垂直線(xiàn)面垂直

7、，則面面垂直”因此，處理面面因此，處理面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為處理線(xiàn)面垂直問(wèn)題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為處理線(xiàn)面垂直問(wèn)題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線(xiàn)線(xiàn)垂直問(wèn)題以后證明平面與平面垂直，只要在理線(xiàn)線(xiàn)垂直問(wèn)題以后證明平面與平面垂直，只要在一個(gè)平面內(nèi)找到一條直線(xiàn)和另一個(gè)平面垂直即可一個(gè)平面內(nèi)找到一條直線(xiàn)和另一個(gè)平面垂直即可 例例1如圖，在空間四邊形如圖，在空間四邊形ABCD中，中，ABBC，CDDA，E，F(xiàn)，G分別是分別是CD，DA，AC的中點(diǎn)，求的中點(diǎn)，求證：平面證：平面BEF平面平面BGD. 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥要證明兩個(gè)平面互相垂直，有兩種要證明兩個(gè)平面互相垂直，有兩種方法：一種是用定義證明，一種是用判定定理

8、證方法：一種是用定義證明，一種是用判定定理證明在這里易證明在這里易證AC平面平面BGD，而，而EFAC，故，故EF所在平面與平面所在平面與平面BGD垂直垂直精解詳析精解詳析ABBC，G為為AC中點(diǎn)，所以中點(diǎn)，所以ACBG.同理可證，同理可證，ACDG.又又BGDGG，AC面面BGD.E，F(xiàn)為為ADC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，EFAC，EF面面BGD.又又EF平面平面BEF，平面平面BEF平面平面BGD. 一點(diǎn)通一點(diǎn)通證明面面垂直的方法有兩種證明面面垂直的方法有兩種 (1)根據(jù)定義若根據(jù)定義若ABE是二面角是二面角l的平面的平面角，且角，且ABE90，則，則.具體作法是：作出兩面構(gòu)成的二面角的平面角，計(jì)算

9、具體作法是：作出兩面構(gòu)成的二面角的平面角，計(jì)算其為其為90. (2)利用面面垂直的判定定理具體作法是在其中利用面面垂直的判定定理具體作法是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找與另一個(gè)平面垂直的直線(xiàn)一個(gè)平面內(nèi)尋找與另一個(gè)平面垂直的直線(xiàn)1對(duì)于直線(xiàn)對(duì)于直線(xiàn)m，n和平面和平面，能得出，能得出的一組條件的一組條件是是 ()Amn，m，n Bmn，m，nCmn，n，m Dmn，m，n解析：解析：A與與D中中也可與也可與平行，平行，B中不一定中不一定，故選，故選C.答案：答案：C2如圖，在正方體如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E是是CC1的中點(diǎn)，求證：平面的中點(diǎn)，求證：平面A1BD平面平面BED. 例例2(2

10、011珠海二中珠海二中)ABC為正三角形，為正三角形，EC平面平面ABC，BDCE，且，且CECA2BD，M是是EA的中點(diǎn)求證：的中點(diǎn)求證： (1)DEDA； (2)平面平面BDM平面平面ECA； (3)平面平面DEA平面平面ECA. 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥(1)利用垂直關(guān)系證明并計(jì)算利用垂直關(guān)系證明并計(jì)算DE、DA可得結(jié)論；可得結(jié)論； (2)證明證明OM面面AEC； (3)由由(2)可證可證 一點(diǎn)通一點(diǎn)通 證明垂直關(guān)系時(shí)，注意證明垂直關(guān)系時(shí)，注意“線(xiàn)線(xiàn)垂直線(xiàn)線(xiàn)垂直 線(xiàn)面垂直線(xiàn)面垂直 面面垂直面面垂直”的應(yīng)用的應(yīng)用3.如圖，設(shè)如圖，設(shè)P是正方形是正方形ABCD外一點(diǎn)，且外一點(diǎn)，且 PA平面平面ABC

11、D，則平面，則平面PAB與平面與平面 PBC、平面、平面PAD的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是 () A平面平面PAB與平面與平面PBC、平面、平面PAD都垂直都垂直 B它們兩兩都垂直它們兩兩都垂直 C平面平面PAB與平面與平面PBC垂直、與平面垂直、與平面PAD不垂直不垂直 D平面平面PAB與平面與平面PBC、平面、平面PAD都不垂直都不垂直解析：解析：ADAB，ADPA且且PAABA，AD面面PAB.面面PAD面面PAB.BCAD，BC面面PAB.面面PBC面面PAB.答案：答案：A4.如圖所示，如圖所示，ABCDA1B1C1D1 為長(zhǎng)方體，且底面為長(zhǎng)方體，且底面ABCD為正為正 方形求證：截面方

12、形求證：截面ACB1平面平面 BDD1B1？解：解：四邊形四邊形ABCD是正方形，是正方形，ACBD.BB1底面底面ABCD，ACB1B.又又BDBB1B，故故AC平面平面BDD1B1，又又AC平面平面ACB1，截面截面ACB1平面平面BDD1B1. 例例3(12分分)四邊形四邊形ABCD是正方形，是正方形，PA平面平面ABCD，且，且PAAB. (1)求二面角求二面角APDC平面角的度數(shù)；平面角的度數(shù)； (2)求二面角求二面角BPAD平面角的度數(shù)；平面角的度數(shù)； (3)求二面角求二面角BPAC平面角的度數(shù)平面角的度數(shù) 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥(1)證明面證明面PAD面面PCD； (2)定義法確定二面

13、角；定義法確定二面角； (3)BAC為所求角，可求為所求角，可求精解詳析精解詳析(1)PA平面平面ABCD，PACD，又四邊形，又四邊形ABCD為正方形，為正方形，(2分分)CDAD，PAADA.CD平面平面PAD，又，又CD平面平面PCD，平面平面PAD平面平面PCD.(3分分)二面角二面角APDC平面角的度數(shù)為平面角的度數(shù)為90.(4分分)(2)PA平面平面ABCD，ABPA，ADPA.BAD為二面角為二面角BPAD的平面角的平面角 (6分分)又由題意又由題意BAD90，二面角二面角BPAD平面角的度數(shù)為平面角的度數(shù)為90. (8分分)(3)PA平面平面ABCD，ABPA，ACPA.BAC

14、為二面角為二面角BPAC的平面角的平面角 (10分分)又四邊形又四邊形ABCD為正方形，為正方形，BAC45.即二面角即二面角BPAC平面角的度數(shù)為平面角的度數(shù)為45. (12分分) 一點(diǎn)通一點(diǎn)通 解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是解答此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是 清楚二面角的平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置清楚二面角的平面角的大小與頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān)，通常可根據(jù)需要選擇特殊點(diǎn)作平面角的頂無(wú)關(guān)，通?？筛鶕?jù)需要選擇特殊點(diǎn)作平面角的頂點(diǎn)求二面角的大小的方法為：一作，即先作出二面點(diǎn)求二面角的大小的方法為：一作，即先作出二面角的平面角；二證，即說(shuō)明所作角是二面角的平面角；角的平面角；二證，即說(shuō)明所作角是二面角的平面角；三求，即

15、利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函數(shù)值，其中關(guān)鍵是三角函數(shù)值，其中關(guān)鍵是“作作”5下列說(shuō)法中正確的是下列說(shuō)法中正確的是()兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角；異面直兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角；異面直線(xiàn)線(xiàn)a，b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，則分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，則a，b形形成的角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ)；二面成的角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ)；二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線(xiàn)所成角的最小角；二面角的大小與其平面角射線(xiàn)所成角的最小角；二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒(méi)有關(guān)系的頂點(diǎn)在棱上的位置沒(méi)有關(guān)系解析：解析：由二面角的定義知，從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平由二面角的定義知，從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，由于有四個(gè)二面角，故面所組成的圖形叫做二面角，由于有四個(gè)二面角，故不對(duì)；由于不對(duì)；由于a，b垂直于這個(gè)二面角的兩個(gè)面，則垂直于這個(gè)二面角的兩個(gè)面，則a，b都垂直于二面角的棱，故正確；中所作的射線(xiàn)不一都垂直于二面角的棱，故正確；中所作的射線(xiàn)不一定垂直于二面角的棱，故不對(duì)；由定義知正確定垂直于二面角的棱，故不對(duì)；由定義知正確答案：答案： 1 1要證明兩平面垂直