1、【標(biāo)題】平面幾何知識在解析幾何解題中的應(yīng)用 【作者】楊 麗 娜 【關(guān)鍵詞】平面幾何 解析幾何 應(yīng)用 【指導(dǎo)老師】楊 世 輝 【專業(yè)】數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 【正文】1引言解析幾何是在建立坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線，用代數(shù)方法解決幾何問題的一門學(xué)科，它開創(chuàng)了形、數(shù)結(jié)合研究方法。解析幾何的形成改變了代數(shù)與幾何相分離的趨向，人們可以通過計(jì)算來解決作圖問題，用代數(shù)方法證明幾何問題，又可以借助幾何圖形來說明代數(shù)方程的性質(zhì)，大大促進(jìn)了代數(shù)與幾何的發(fā)展。解決幾何問題的最大難點(diǎn)是如何把握好解題的總體思想策略，但在平時的解析幾何教學(xué)中師生往往偏重于相關(guān)量的數(shù)量關(guān)系的研究，屏氣了最基

2、本、最直接的解題思路，不重視平面幾何知識，丟掉了基礎(chǔ)性的東西，解析幾何歸根結(jié)底是研究解決幾何問題，因而不能片面的強(qiáng)調(diào)代數(shù)方法。2在現(xiàn)代中學(xué)教學(xué)中，解解析幾何時，可以靈活應(yīng)用平面幾何的知識，找到簡捷的解題途徑,簡化解析幾何的解題過程。運(yùn)用平面幾何知識，能培養(yǎng)我們認(rèn)真分析圖形的幾何特征，養(yǎng)成綜合應(yīng)用知識的習(xí)慣，提高解題技巧與能力。解題時，若能把握形的幾何特征，注意挖掘隱蔽條件，靈活利用平面幾何知識，對于拓廣解題思路，減少運(yùn)算量，將會起到非常重要的作用。本文通過充分運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)解答解析幾何問題，讓中學(xué)教師重視平面幾何的應(yīng)用。2 預(yù)備知識2.1圓周角定理(推論):同弧和等弧所對的圓

3、周角相等2.2三角形外角的性質(zhì)1. 三角形的外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ).2. 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.3. 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.4. 三角形的外角和等于360°.2.3直角三角形的性質(zhì)1.在直角三角形中,30°角所對的直角邊是斜邊的一半.                     

4、60;  2.在直角三角形中,斜邊上的中線是斜邊的一半.2.4拋物線定義平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線L的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線.2.5橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.2.6比例的基本性質(zhì) 由比例的基本性質(zhì)可導(dǎo)出比例 的不同形式 , 這種不同形式還有以下6 種:  因此在比例 中, 相關(guān)的項(xiàng)可任意交換, 這一特性在涉及比例的邏輯推理中經(jīng)常用到.2.7合比性質(zhì)和等比性質(zhì)可以互推合比性質(zhì)  等比性質(zhì)

5、60; 合比性質(zhì) 等比性質(zhì)     (其中b1+b2 0, 以下類似之處,均假定已滿足條件) 以此類推有 等比性質(zhì)  合比性質(zhì) 2.8梯形中位線定理  梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的一半.已知: 如圖,梯形ABCD中,AD/BC,M,N分別是AB,DC的中點(diǎn).求證:MN/BC,     MN= (BC+AD).證明:過A作AF/DC,交BC于F，如圖，取AF的中點(diǎn)E，連結(jié)ME、

6、NE,責(zé)，ME/BC,ME= BF,AFCD是平行四邊形，AE=EF,DN=NC,EFCN和AEND都是平行四邊形.EN/BC.M、E、N在同一直線上.MN/BC.又EN=AD,                                   &

7、#160;                                圖21MN=ME+EN= BF+AD= (BC-FC)+AD= BC- AD+AD= (AD+BC) 2.9角平分線性質(zhì) 三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個

8、角的兩邊對應(yīng)成比例.已知: ABC中,AD是角平分線,求證: 證明: 作CE/DA交BA的延長線于E（如圖），責(zé) =   BAD= E,  DAC= ACE.  BAD= DAC，  E= ACE.                         AE=AC. 

9、;                                              圖22   &#

10、160;                      2.10垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的兩條弧.推論一 平分弦(不是直徑)的直徑垂直與這條弦,并且平分這條弦所對的兩段弧 推論二 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對的弧 推論三 平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦,并且平分這條弦所對的另

11、一條弧 推論四 在同圓或者等圓中,兩條平行弦所夾的弧相等已知:在O中,CD是 直徑，AB是弦，垂足為E.求證：AE=BEAC=BC,AD=BD證明:連結(jié)OA,OB,   OA=OB,CD所在直線是等腰三角形和O的對稱軸1 兩個半圓重合2 A,B兩點(diǎn)重合3 AE,BE重合       4 AC,BC重合5 AD,BD重合  2.11相似三角形的性質(zhì)1.對角相等,對應(yīng)邊成比例;2.對應(yīng)線段的比等于相似比,即相似三角形對應(yīng)邊的比、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線

12、、對應(yīng)、對應(yīng)周長的比都等于相似;3.對應(yīng)面積的比等于相似比的平方.3 本文獲得的結(jié)果3.1 直角三角形的性質(zhì)、拋物線的定義在解析幾何中的應(yīng)用例13 高中數(shù)學(xué)第二冊P133, 復(fù)習(xí)參考題八( B 組第2題): 過拋物線 =2px( p>0) 的焦點(diǎn)F 的直線與拋物線交于點(diǎn)A、B, 自AB 向準(zhǔn)線引垂線, 垂足分別為A、B,求證： AFB=90°。方法1 如圖: 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), A( ,y1),B( 

13、,y2),F( ,0),K AF= ,  K BF= ,所以K AF* K BF= ,若KAB不存在,                                     &#

14、160;              易證AFB=90°, 若KAB存在,                     圖31設(shè)AB 方程為: , 解方程組    &

15、#160;消去x并整理得 ,由韋達(dá)定理:  將代入得:  所以AFBF即AFB=90°.方法2 由拋物線定義有|AA |= |AF| ,|BB |= |BF| 所以1=2, 3=4 而1+2+3+4+AAF+BBF=360°, 而AAF+BBF=180°, 所以2( 2+4) =180°, AFB=90°.評注：顯然方法2要簡單的多，該題的解答既可采用常規(guī)的

16、坐標(biāo)法,又可如上采用圓錐曲線的幾何性質(zhì), 借助平面幾何的方法進(jìn)行推理, 但幾何方法較之解析法比較快捷.我們在復(fù)習(xí)解析幾何時要對圓錐曲線的幾何性質(zhì)引起重視, 注意數(shù)形結(jié)合, 尤其是有關(guān)拋物線的一些性質(zhì)用平幾知識證明更為方便.3.2 中位線定理的運(yùn)用例2求證：已知C是拋物線，以過焦點(diǎn)F的弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。解析以p > 0為例.如圖,過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A, B 兩點(diǎn), 要研究直線與圓的位置關(guān)系只需討論圓心M 到準(zhǔn)線x =  的距離與圓半徑的大小即可.

17、60;于是,過A,M,B 分別作準(zhǔn)線l: x = 的垂線,垂足分別為C, H, D,由平面幾何知識可知, MH是梯形ACDB 的中位線,  圖32即|MH | =  ( |AC | + |BD | ) . 再由拋物線的定義可得, | AC | = |AF | , | BD | = | B F |&#

18、160;, 所以|MH | = |AB | ,故以| AB |為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。            評注：中位線定理和拋物線定義的結(jié)合使本題思路簡單化，很容易就能得出結(jié)果，這就使在解解析幾何題的適當(dāng)運(yùn)用平面幾何知識的妙處所在.3.3 橢圓的定義的應(yīng)用例34 已知橢圓 右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E,過橢圓的右焦點(diǎn)F的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn).點(diǎn)C在右準(zhǔn)線上,且CB/

19、x軸,求證:直線AC經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).分析與解   本題給出了焦點(diǎn)弦,因而采用圓錐曲線的統(tǒng)一定義來解題,是很自然的想法.故過A作AD l于D,連AC交x軸于M則 .由于給出的是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.而且沒有給出長半軸與短半軸的確切值,說明本題的結(jié)論具有一般性.因而本題可以變成這樣一道平面幾何題:梯形ABCD中,E,F分別在腰AB,CD上,AD/CB/EF,且 ,AC交EF于M,求證:FM=ME.這樣一道高考題就變成了一道連初中學(xué)生都可以解決的問題了!下面簡單敘述證明過程:因?yàn)锳D/CB/EF,所以  |FM|= 

20、60; ,                  又因?yàn)?#160;,                            

21、0;    圖33所以 故     即M是EF的中點(diǎn).評注： 加強(qiáng)了對橢圓定義的應(yīng)用，避開了繁瑣的計(jì)算，圓錐曲線的定義反映了圓錐曲線的本質(zhì)屬性,若能熟練應(yīng)用于解題過程,可以收到事半功倍之效，更進(jìn)一步的學(xué)好橢圓，讓學(xué)生認(rèn)識到在解幾何題中，幾何性質(zhì)，幾何定義不容忽視.3.4角平分線性質(zhì)定理及比例的等比性質(zhì)的運(yùn)用例41 ABC中A( 3, 0) , B( 6, 4) , C( - 5, 6) ,求A 的角平分線AT 的長.

22、解：方法1 利用到角的正切公式:由A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)，可得因?yàn)锳T為A的角平分線，所以tanBAT=tanCAT, 即 得KAT=7 直線AT方程為y=7( x- 3) ,又因?yàn)橹本€BC的方程為2x11y560直線AT與直線BC相交，聯(lián)立兩方程，解得T( ), 得AT                     

23、0;         圖34方法2 設(shè)T 點(diǎn)坐標(biāo)為( x0, y0) , 由已知得，直線AB的方程為4x3y120，直線AC的方程為3x4y90，直線BC的方程為2x11y560，T 點(diǎn)到直線AB、AC 距離d1 與d2 相等，T點(diǎn)在直線BC上，解方程組聯(lián)立方程組 可得T 點(diǎn)坐標(biāo)為T( ), 再由兩點(diǎn)間距離公式可求出AT .方法3 把T看成有向線段BC的分點(diǎn),

24、0;設(shè)T( x0, y0) ,利用角平分線性質(zhì)有 而|AC|=10,|AB|=5,而 .由分點(diǎn)坐標(biāo)公式得: 所以 評注： 顯然方法3最優(yōu), 利用平面幾何解解析幾何之妙!在三角形方面的幾何題中經(jīng)常用到三角形的角平分線的有關(guān)性質(zhì)，從本題中可以看出運(yùn)用幾何性質(zhì)的解法是最簡單的，計(jì)算量也是最少的，在高中階段學(xué)習(xí)解析幾何時我們一定要聯(lián)系初中學(xué)習(xí)過的一些平面幾何知識，這樣也能讓我們提高學(xué)習(xí)思維能力，更有助于我們學(xué)好解析幾何.3.5圓的相關(guān)性質(zhì)在解析幾何中的應(yīng)用圓在平面幾何中占有著重要的地位，同時，圓的性質(zhì)在解析幾何中也有著廣泛而靈活的應(yīng)

25、用，運(yùn)用好圓的性質(zhì)，不僅使我們免去解析幾何中復(fù)雜而冗長的運(yùn)算，還能充分地感受到平面幾何的魅力。下面我們就來感受一下利用同弧和等弧所對的圓周角相等的性質(zhì)來解解析幾何的問題。例55 如圖1，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1F2在x軸上,長軸A1A2的長為4,左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M,|MA1|:|A1F1|=2:1.(1)求橢圓的方程;(2)若P在l上運(yùn)動,求 的最大值.圖35                 

26、;                    圖6解:（1）由已知條件A1A24得A1(-2,0)，A2(2,0)準(zhǔn)線l 又因?yàn)閨MA1|:|A1F1|=2:1，有MA1= a，A1F1=ac所以|MA1|:|A1F1|（ a）：（ac）2：1解得c1。左準(zhǔn)線的方程為x=4,F1 (-1,0 ),F2(1,0)，橢圓的方程為 （2）方法1是:

27、設(shè)P(-4,y0),y0 0,設(shè)直線PF1 的斜率k1=   ,直線PF2的斜率k2= - , ,  為銳角, 只需求tan 的最大值即可.tan   的最大值為arctan . 方法2:設(shè)圓C為過F1F2且與直線l相切的圓,切點(diǎn)為P,因?yàn)橹本€l上除P點(diǎn)外,其余的點(diǎn)都在圓外,由同弧和等弧所對的圓周角相等及三角形外角的性質(zhì)可知,直線l上的所有點(diǎn)中P點(diǎn)對F1、F2的所形成的圓周角最大,此時P、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,圓C的半徑r=|PC|=|C

28、F1|= =4,  , 且 ,tan 評注：第二問求 的最大值時通過以上兩種方法，第一種是解析幾何的方法，運(yùn)算量較大，第二種運(yùn)用了圓的性質(zhì)：同弧和等弧所對的圓周角相，以及三角形的外角性質(zhì)，可以明顯看出運(yùn)用幾何性質(zhì)來解題可以減少很多運(yùn)算量，同時可以優(yōu)化解題方法。例66如圖, M 是橢圓 上任意一點(diǎn), F1 , F2 為焦點(diǎn), I 是 M F1 F2 的內(nèi)心, 延長M I交F1 F2 于N, 則求 的值.解析  

29、;因?yàn)镮是M F1 F2 的內(nèi)心,所以F1 I, F2 I分別是M F1 F2 , M F2 F1 的角平分線,     圖評注:  比例的合比性質(zhì)和比例的等比性質(zhì)在平面幾何教學(xué)當(dāng)中占有重要的地位，在解析幾何解題過程中巧妙運(yùn)用該性質(zhì)，可以減少運(yùn)算量，使繁瑣問題簡單化。同時也提高了學(xué)生綜合運(yùn)用知識的能力，在解析幾何教學(xué)時應(yīng)加以重視.3.6垂徑定理及圓的有關(guān)性質(zhì)的運(yùn)用例77已知圓 = 64和點(diǎn)P (3,4) , A, B 為圓周上的兩個動點(diǎn),且滿足A

30、PB = 90°,責(zé)恒有PA PB=0,求弦AB 的中點(diǎn)的軌跡方程.分析:如果設(shè)直線A B 的方程, 需引入兩個參數(shù),共有六個參數(shù),還得討論斜率是否存在,聯(lián)立方程得方程組,消去一個未知數(shù),再利用根與系數(shù)的關(guān)系整體代入消元,計(jì)算量大,我們可以不設(shè)出直線的方程求解,見解法一.解法一:設(shè)A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , M( x , y)PA ?PB = 0( x1 - 3 , y1 

31、;- 4) ( x2 - 3 , y2 - 4)= ( x1 - 3) ( x2 - 3) + ( y1 - 4) ( y2 - 4) = 0整理得: x1 x2 + y1 y2 - 6 x - 8 y + 25 = 0A,B點(diǎn)在圓上              

32、0;                    圖                           又  &#

33、160;     即 為所求軌跡方程.解法二:設(shè)M( x , y) ,連結(jié)MO，由垂徑定理得OM A B.A PB = 90°，即A PB是直角三角形，在Rt A PB 中, | PM| = | A B| = | BM|.而|AM|= 即   為所求軌跡方程. 評注:解法一是充分利用方程思想及設(shè)而不求整體代換的方法來解決的;解法二充分利用了圓的特殊幾何性質(zhì),挖掘幾何元素之間的等量關(guān)系,從而避開了復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算.3.7相似三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的運(yùn)用例8 8過拋物線y =  ( a > 0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P, Q兩點(diǎn),若線段PF與FQ的長分別為p, q,則 等于（  ）A.2a       B.          C.4a