1、.習(xí)題8-4 1. 設(shè)z=u2-v2, 而u=x+y, v=x-y, 求, . 解 =2u×1+2v×1=2(u+v)=4x, =2u×1+2v×(-1)=2(u-v)=4y. 2. 設(shè)z=u2ln v, 而, v=3x-2y, 求, . 解 , . 3. 設(shè)z=ex-2y, 而x=sin t, y=t3, 求. 解 . 4. 設(shè)z=arcsin(x- y), 而x+3t, y=4t3, 求. 解 . 5. 設(shè)z=arctan(xy), 而y=ex, 求. 解 . 6. 設(shè), 而y=asin x, z=cos x, 求. 解 . 7. 設(shè), 而x=u+v

2、, y=u-v, 驗(yàn)證. 證明 . 8. 求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)(其中f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)): (1) u=f(x2-y2, exy); 解 將兩個中間變量按順序編為1, 2號, , . (2); 解 , , . (3) u=f(x, xy, xyz). 解 , , . 9. 設(shè)z=xy+xF(u), 而, F(u)為可導(dǎo)函數(shù), 證明. 證明 =xy+xF(u)+xy=z+xy. 10. 設(shè), 其中f(u)為可導(dǎo)函數(shù), 驗(yàn)證. 證明 , , 所以 . 11. 設(shè)z=f(x2+y2), 其中f具有二階導(dǎo)數(shù), 求, , . 解 令u=x2+y2, 則z=f(u), , , , , . 12. 求下

3、列函數(shù)的,(其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)): (1) z=f(xy, y); 解 令u=xy , v=y, 則z=f(u, v). , . 因?yàn)閒(u, v)是u和v的函數(shù), 所以和也是u和v的函數(shù), 從而和是以u和v為中間變量的x和y的函數(shù). , , . (2); 解 令u=x, , 則z=f(u, v). , . 因?yàn)閒(u, v)是u和v的函數(shù), 所以和也是u和v的函數(shù), 從而和是以u和v為中間變量的x和y的函數(shù). , . (3) z=f(xy2, x2y); 解 zx=f1¢×y2+f2¢×2xy=y2f1¢+2xyf2¢, zy

4、=f1¢×2xy+f2¢×x2=2xyf1¢+x2f2¢ zxx=y2f11¢¢×y2+f12¢¢×2xy+2yf2¢¢+2xyf21¢¢×y2+f22¢¢×2xy =y4f11¢¢+2xy3f12¢¢+2yf2¢¢+2xy3f21¢¢+4x2y2 f22¢¢ =y4f11¢¢+

5、4xy3f12¢¢+2yf2¢¢+4x2y2 f22¢¢, zxy=2y f1¢+y2f11¢¢×2xy+f12¢¢×x2+2xf2¢+2xyf21¢¢×2xy+f22¢¢×x2 =2y f1¢+2xy3f11¢¢+x2y2 f12¢¢+2xf2¢+4x2y2f21¢¢+2x3yf22¢¢ =2y

6、f1¢+2xy3f11¢¢+5x2y2 f12¢¢+2xf2¢+2x3yf22¢¢, zyy=2xf1¢+2xyf11¢¢×2xy+f12¢¢×x2+x2f21¢¢×2xy+f22¢¢×x2 =2xf1¢+4x2y2f11¢¢+2x3y f12¢¢+2x3yf21¢¢+x4f22¢¢ =2xf1&#

7、162;+4x2y2f11¢¢+4x3y f12¢¢+x4f22¢¢. (4) z=f(sin x, cos y, ex+y). 解 zx=f1¢×cos x+ f3¢×ex+y=cos x f1¢+ex+y f3¢, zy=f2¢×(-sin y)+ f3¢×ex+y=-sin y f2¢+ex+y f3¢, zxx=-sin x f1¢+cos x×(f11¢¢×

8、cos x+ f13¢¢×ex+y) +ex+y f3¢+ex+y(f31¢¢×cos x+ f33¢¢×ex+y) =-sin x f1¢+cos2x f11¢¢+ex+ycos x f13¢¢+ex+yf3¢ +ex+ycos x f31¢¢+e2(x+y) f33¢¢ =-sin x f1¢+cos2x f11¢¢+2ex+ycos x f13¢

9、62;+ex+yf3¢+e2(x+y) f33¢¢, zxy=cos xf12¢¢×(-sin y)+ f13¢¢×ex+y +ex+y f3¢+ex+y f32¢¢×(-sin y)+ f33¢¢×ex+y =-sin y cos x f12¢¢+ex+ycos x f13¢ +ex+y f3¢-ex+y sin y f32¢+e2(x+y)f33¢ =-sin y cos

10、x f12¢¢+ex+ycos x f13¢¢ +ex+y f3¢-ex+y sin y f32¢¢+e2(x+y)f33¢¢, zyy=-cos y f2¢-sin yf22¢¢×(-sin y)+ f23¢¢×ex+y +ex+y f3¢+ex+yf32¢¢×(-sin y)+ f33¢¢×ex+y =-cos y f2¢+sin2y f22¢¢-ex+ysin y f23¢¢ +ex+y f3¢-ex+ysin y f32¢¢+ f33¢¢×e2(x+y) =-cos y