1、.習題 10-1 1. 設在xOy面內(nèi)有一分布著質量的曲線弧L, 在點(x, y)處它的線密度為m(x, y), 用對弧長的曲線積分分別表達: (1)這曲線弧對x軸、對y軸的轉動慣量Ix, Iy; (2)這曲線弧的重心坐標, . 解 在曲線弧L上任取一長度很短的小弧段ds(它的長度也記做ds), 設(x, y)為小弧段ds上任一點. 曲線L對于x軸和y軸的轉動慣量元素分別為 dIx=y2m(x, y)ds, dIy=x2m(x, y)ds . 曲線L對于x軸和y軸的轉動慣量分別為 , . 曲線L對于x軸和y軸的靜矩元素分別為 dMx=ym(x, y)ds, dMy=xm(x, y)ds . 曲

2、線L的重心坐標為 , . 2. 利用對弧長的曲線積分的定義證明: 如果曲線弧L分為兩段光滑曲線L1和L2, 則 . 證明 劃分L, 使得L1和L2的連接點永遠作為一個分點, 則 . 令l=maxDsi®0, 上式兩邊同時取極限 , 即得 . 3. 計算下列對弧長的曲線積分: (1), 其中L為圓周x=acos t , y=asin t (0£t£2p); 解 = . (2), 其中L為連接(1, 0)及(0, 1)兩點的直線段; 解 L的方程為y=1-x (0£x£1); . (3), 其中L為由直線y=x及拋物線y=x2所圍成的區(qū)域的整個邊界

3、; 解 L1: y=x2(0£x£1), L2: y=x(0£x£1) . . (4), 其中L為圓周x2+y2=a2, 直線y=x及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界; 解 L=L1+L2+L3, 其中 L1: x=x, y=0(0£x£a), L2: x=a cos t, y=a sin t , L3: x=x, y=x , 因而 , . (5), 其中G為曲線x=etcos t , y=etsin t , z=et上相應于t從0變到2的這段弧; 解 , . (6), 其中G為折線ABCD, 這里A、B、C、D依次為點(0,

4、0, 0)、(0, 0, 2)、(1, 0, 2)、(1, 3, 2); 解 G=AB+BC+CD, 其中 AB: x=0, y=0, z=t (0£t£1), BC: x=t, y=0, z=2(0£t£3), CD: x=1, y=t, z=2(0£t£3), 故 . (7), 其中L為擺線的一拱x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)(0£t£2p); 解 . (8), 其中L為曲線x=a(cos t+t sin t), y=a(sin t-t cos t)(0£t£2p). 解 . 4. 求半徑為a, 中心角為2j的均勻圓弧(線密度m=1)的重心. 解 建立坐標系如圖10-4所示, 由對稱性可知, 又 , 所以圓弧的重心為 5. 設螺旋形彈簧一圈的方程為x=acos t, y=asin t, z=kt, 其中0£1£2p, 它的線密度r(x, y, z)