1、一講 雙曲線適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級高二（理）適用區(qū)域通用課時時長（分鐘）120知識點雙曲線的定義及應(yīng)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及求法雙曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用雙曲線的綜合問題教學(xué)目標(biāo)1 .理解雙曲線的定義，會求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2 .靈活應(yīng)用雙曲線的幾何性質(zhì)解決一些簡單的問題；3 .理解直線與雙曲線的各種位置關(guān)系，能利用方程根的判別式來研究直線與 雙曲線的各種位置關(guān)系；掌握雙曲線的漸近線方程以及離心率的求解計算；4 .初步掌握與雙曲線有關(guān)的弦長、中點、垂直等問題的一些重要解題技巧； 進一步樹立數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等重要數(shù)學(xué)思想教學(xué)重點1雙曲線幾何性質(zhì)綜合應(yīng)用，2利用“數(shù)”與“形”的結(jié)合，利

2、用方程解決直線與雙曲線的位置關(guān)系和有關(guān)弦長等綜合問題教學(xué)難點1雙曲線幾何性質(zhì)綜合應(yīng)用，2利用“數(shù)”與“形”的結(jié)合，利用方程解決直線與雙曲線的位置關(guān)系和有 關(guān)弦長等綜合問題.教學(xué)過程一、知識講解考點/易錯點1雙曲線的基本概念學(xué)生通過必修2中的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了用坐標(biāo)法來研究直線和圓的方程的方法，具備一定的將幾何問題代數(shù)化的能力，同時通過前一節(jié)橢圓的學(xué)習(xí)，同學(xué)們對方程的推導(dǎo)和運用累積了一定的經(jīng)驗，因此本節(jié)課通過類比的方法，老師因勢利導(dǎo)給予必要的提示、點撥與幫助，學(xué)生可以自學(xué)掌握本節(jié)內(nèi)容.在學(xué)習(xí)知識的同時可以培養(yǎng)學(xué)生的自我學(xué)習(xí)能力，所以教學(xué)方法采取指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)法.教學(xué)情境：我們前面學(xué)習(xí)了圓錐曲線，圓錐

3、曲線有幾種？已經(jīng)詳細學(xué)習(xí)過了哪一種圓錐曲線？1 .橢圓的定義是什么？平面內(nèi)與兩定點Fi、F2的距離的和等于常數(shù) 2a(2a大于F1F2 )的點的軌跡叫做橢圓.2 .橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？如何根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定其焦點在哪個坐標(biāo)軸上？3 .雙曲線的定義是什么？(平面內(nèi)與兩定點Fi、F2的距離的差的絕對值是常數(shù)2a(0<2a < F1F2 )的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點Fi、F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距 2c.)我還想知道2a為什么不能等于或大于F1F2 ?為什么是距離的差的絕對值？學(xué)生活動：如何推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？可否類比求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法來求雙曲線的

4、標(biāo)準(zhǔn)方22程呢？請同學(xué)們自己嘗試推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.、-4 =1(a > 0bA 0)a b22類比：寫出焦點在y軸上，中心在原點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.-y?-2 = 1(a>0,b>0)a b閱讀課本完善自己的推導(dǎo)過程 .類比橢圓，設(shè)參量b的意義：第一、便于寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二、a,b,c的關(guān)系有明顯的幾何意義.雙曲線圖象性質(zhì)：雙曲線定義IIPFil-|PF2|=2a|PF|PF2|=2a方程22xy/-2 72 =1 ( a > 0, b > 0)ab22yx2T72ab(a>0,b>0)圖象z/1*住日 八'、八、Fi(C0), F

5、ie,。)F1(0, -c),F2(0, c)a、b、c的關(guān)系c2 = a2 +b2,a>0,b>0 a不一aE大丁 bc2 = a2 +b2,a >0,b a0a不一aE大丁 b對稱性對稱軸：x軸、y軸對稱中心：原點對稱軸：x軸、y軸對稱中心：原點頂點(-a, 0), (a, 0)實軸長為：2a虛軸長為：2b(0, -a), (0, a)實軸長為：2a虛軸長為：2b根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何確定焦點究竟在哪個坐標(biāo)軸上?考點/易錯點2等軸雙曲線與共軻雙曲線等軸雙曲線：實軸與虛軸長度相等的雙曲線叫等軸雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為:分類方程焦點在X軸上22x y ：= a2(a =0)焦點在

6、y軸上22y x 二2=a (a=0)離心率為：e = 2漸近線方程為：y =x2T=1(a>0,b>0)和 b2共軻雙曲線：以已知雙曲線的實軸為虛軸， 虛軸為實軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軻雙曲線2X它們互為共輾.互為共軻雙曲線的方程為：f a221-三-1(aQb 0).b a性質(zhì)：它們有相同的漸近線它們的四個焦點共圓.離心率滿足11一 一 -122T.eie2考點/易錯點3 雙曲線的漸近線:在學(xué)習(xí)橢圓時，以原點為中心，2a、2b為鄰邊的矩形，對于估計橢圓的形狀，畫出橢圓的22簡圖都有很大作用，試問對雙曲線 今-4=1仍以原點為中心，2a、2b為鄰邊作一矩形, a2 b2那么雙曲

7、線和這個矩形有什么關(guān)系？這個矩形對于估計和畫出雙曲線簡圖有什么指導(dǎo)意義？這些問題不要求學(xué)生回答，只引起學(xué)生類比聯(lián)想.接著再提出問題：當(dāng) a、b為已知時，這個矩形的兩條對角線的方程是什么？b請一名同學(xué)回答，應(yīng)為 y=±-x,并回出兩條對角線，引導(dǎo)學(xué)生從圖中觀察得出結(jié)論；雙a22曲線七=1的兩支向外延伸時，與這兩條漸近線接近；a b現(xiàn)在來看看實軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于焦點在y軸上的雙曲線方程是由焦點在x軸上的雙曲線方程，將 x、y字母對調(diào)所得到，自然前者漸近線方程也可由后者漸近線方程將x、y字母對調(diào)得到；bx2 y2a定義：直線y=±2x叫做雙曲線一2-22

8、 = 1的漸近線；直線y = ±ax叫做雙曲線 aa bb22t=1的漸近線；a b這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠處趨向問題，從而可比較精確的畫出雙曲線;考點/易錯點4離心率:為此，介紹一下雙由于正確認(rèn)識了漸近線的概念，對于離心率的直觀意義也就容易掌握了, 曲線的離心率以及它對雙曲線的形狀的影響:b一也越大，即漸近線a1.雙曲線的焦距與實軸的比 e=£叫做雙曲線的離心率，且 e>1 ； ab鉆y = ±一 x 的a從而得出：雙曲線的離心率越大,斜率的絕對值越大，雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊, 它的開口就越開闊.這時，教師指出：焦點在y軸上的雙曲線的幾

9、何性質(zhì)可以類似得出，雙曲線的幾何性質(zhì)與坐 標(biāo)系的選擇無關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變.、例題精析例題1【題干】 已知圓C的方程為(X3)2+y2=4, 一定點A(3,0),求過定點 A且與圓C外切的動圓圓心P的軌跡方程.【例題2】【題干】已知雙曲線通過點 M (1,1)與N(-2,5)兩點，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 .【例題3】2.2【題干】設(shè)F1, 52為雙曲線x2 4y2 =4的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿FiPF2 =-,求AF1PF2的面積.例題42_ 2_【題干】 已知雙曲線C:x -3y =3.(1)若li： y=kx+m(km#0)與C交于不同的兩點 M,N，且M ,N都在以A(0,1)

10、為圓心的圓上，求m的取值范圍.(2)若將(1)中的“雙曲線 C”改為“雙曲線C的右支”，其他條件不變，求 m的取值范圍.例題5【題干】設(shè)圓錐曲線r的兩個焦點分別為F1, F2,若曲線上存在點p滿足PFj：|F1F2|：|PF2卜4:3:2 ,則曲線r的離心率等于()A.1或3B.2或2C或2D.Z或3223232例題6【題干】設(shè)圓C與兩圓(x + J5)2+y2=4, (xJ5)2 + y2 =4中的一個內(nèi)切，另一個外切.(1)求C的圓心軌跡L的方程;(2)已知點M(3L5,竺5), F (君,0),且P為L上動點，求 MP FP的最大值 55及此時點P的坐標(biāo).【例題7】【題干】平面內(nèi)與兩定點

11、 Ai(_a,0), A2(a,0) (a >0)連續(xù)的斜率之積等于非零常數(shù)m的點的軌跡，加上Ai、A2兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線 .(I)求曲線c的方程，并討論c的形狀與m直的關(guān)系；(n)當(dāng)m=1時，對應(yīng)的曲線為 G；對給定的mW (T,0)U(0,+%),對應(yīng)的曲線為 G,2設(shè)F、F2是C2的兩個焦點.試問：在G上是否存在點N，使得AF1NF2的面積Sm|a .若存在,求tan F1NF2的值；若不存在，請說明理由.三、課堂運用例題1 22【題干】設(shè)雙曲線3L=1(a >0)的漸近線方程為3x±2y =0,則a的值為()a 9A. 4B. 3C. 2D.

12、1【例題2】【題干】雙曲線y2=S的實軸長是()A.2B.;二C. 4D. 4 ;【例題3】x2 y2【題干】 雙曲線4" + -=1的離心率ec (1,2),則k的取值范圍是()A. ( 8, 0)B. ( 12,0)C. ( 3,0)D. (60 , 12)例題4x2y2【題干】如果1kl工 + =1表示焦點在y軸上的雙曲線，那么它的半焦距 c的取值范圍是（）A. (1 , +oo) B. (0,2)C. (2, +8) D. (1,2)例題5x2y2x2y2已知橢圓前+彳=1和雙曲線盍彳=1有公共的焦點'那么雙曲線的漸近線方程是（） 15- 15A. x=±_

13、-y B. y= +x33C. x= i y D . y = ± x例題6【題干】已知點F、A分別為雙曲線 C xy2=1（a>0, b>0）的左焦點、右頂點，點 B（0, a2 b2b）滿足FBAB = 0,則雙曲線的離心率為 .【例題7】一一 4，, ,一， ，、，_1【題干】若雙曲線經(jīng)過點（6,M3）,且漸近線方程是 y = ±gx,求雙曲線的方程.【例題8】22y x一一_【題干】設(shè)F1, F2為雙曲線C：=彳6=1的兩個焦點，點M為雙曲線上一點，且/F1MF2 916=60,求ZMF1F2的面積.【例題9】【題干】Fi、F2是雙曲線的左、右焦點，P是雙

14、曲線上一點，且/ FiPF2=60 ,SPFiF2 =12 a/3,又離心率為2.求雙曲線的方程.【例題10【題干】設(shè)雙曲線的一個焦點為 F,虛軸的一個端點為 B,如果直線FB與該雙曲線的一條 漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（）【例題11】x2 y2a2【題干】已知雙曲線1(a>0，b>0)的右頂點為 A,右焦點為 F,直線x = (c =a2 + b2)與*軸交于點B,且與一條漸近線交于點 C,點O為坐標(biāo)原點，又OA = 20B,oAoC =2,過點F的直線與雙曲線右支交于點M、N,點P為點M關(guān)于x軸的對稱點.求雙曲線的方程；(2)證明：B、P、N三點共線；(3)求4BMN面

15、積的最小值.【例題12】【題干】雙曲線三y2=1 (a>。，b>0)的兩個焦點為Fi、F2,若P為其上一點，且|PFi| = a2 b22|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為()A. (1,3)B. (1,3C. (3 , +°°)D . 3 , +00 )【例題13】x2 y2【題干】已知雙曲線I-b= 1(a>0 , b>0)的左、右焦點分別為F1、F2,點P在雙曲線的右支上，且|PF1|=4|PF2,則此雙曲線的離心率 e的最大值為()4A5B.5 C. 2D.733【例題14】x2 y2【題干】已知雙曲線裝-b>1與直線y=2x有交點

16、，則雙曲線的離心率的取值范圍是()B. (1, V5)uM，+8)D.+8)A. (1, 5)C. M，+8 )【例題15】【題干】已知雙曲線中心在原點，且一個焦點為F(47, 0),直線y = x-1與其相交于 M,N兩點，MN中點的橫坐標(biāo)為一2,則此雙曲線方程是（）3x2y2A. -= 1x2.4y2一=13x2 y2C-= 1x2 y2D-= 1【例題16】【題干】以雙曲線2xC ： -2 a22y6=1(a>0b>0）的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做C的共軻雙曲線.2x（1）寫出雙曲線 彳2著二1的共軻雙曲線的方程;11（2）設(shè)雙曲線C與其共軻雙曲線的離心率分別為e1，e2,求證2+$=1e1e2【例題1