1、數(shù)字信號(hào)處理數(shù)字信號(hào)處理 信號(hào)與系統(tǒng)系列課程組信號(hào)與系統(tǒng)系列課程組 國(guó)家電工電子教學(xué)基地國(guó)家電工電子教學(xué)基地 為了從數(shù)學(xué)概念和工程概念上更好地理解小為了從數(shù)學(xué)概念和工程概念上更好地理解小波分析，將通過(guò)多分辨率的概念來(lái)闡述小波理論。波分析，將通過(guò)多分辨率的概念來(lái)闡述小波理論。 定義定義:多分辨分析多分辨分析(Multi-Resolution Analysis，MRA) 1)存在一組嵌套的子空間，滿足2)尺度不變性 x(t)Vj x(2t)Vj+1 3)位移不變性 x(t)V0 x(t-k)V04)存在尺度函數(shù)(scaling function) f(t)，使得 f f(t- -k)；kZ 是V0

2、的一個(gè)規(guī)范正交基。 由以上性質(zhì)可得：f fj,k(t)=2j/2f f(2jt- -k)；k Z是Vj規(guī)范正交基 V0V1V2V3V0 V1V2V3 L2多分辨分析空間嵌套關(guān)系示意圖多分辨分析空間嵌套關(guān)系示意圖 例：例：Haar多分辨分析多分辨分析(分段常數(shù)函數(shù)構(gòu)成的分段常數(shù)函數(shù)構(gòu)成的MRA) V0: 在區(qū)間上k,k+1), kZ分段常數(shù)函數(shù)構(gòu)成的構(gòu)成的空間V1 : 在區(qū)間上k/2,(k+1)/2 ), kZ分段常數(shù)函數(shù)構(gòu)成的構(gòu)成的空間V2 : 在區(qū)間上k/22,(k+1)/22 ), kZ分段常數(shù)函數(shù)構(gòu)成的構(gòu)成的空間Vj : 在區(qū)間上k/2j,(k+1)/2j ), kZ分段常數(shù)函數(shù)構(gòu)成的構(gòu)

3、成的空間V0的一個(gè)規(guī)范正交基為fH(t-k)；kZ 為 其他0101)(Httf稱fH(t)為Haar尺度函數(shù) 。f fj,k(t)=2j/2f f(2jt- -k)；k Z是是Vj規(guī)范正交基規(guī)范正交基 信號(hào)在嵌套子空間信號(hào)在嵌套子空間Vj中的正交投影：中的正交投影： 對(duì)任意x(t) L2，由于f1,k(t)=21/2f(2t-k)；kZ是V1規(guī)范正交基，所以x(t)在V1中的正交投影可表示為 kktkcty)()(, 111f )(),(, 11ttxkckf一般地，x(t)在Vj中的正交投影可表示為 kkjjjtkcty)()(,f )(),(,ttxkckjjf例：例：Haar多分辨分析

4、多分辨分析函數(shù)x(t)在子空間V0和V1在的正交投影 )2(2)(0ntnhtn- - ffh0n: 尺度函數(shù)系數(shù)尺度函數(shù)系數(shù)(scaling function coefficient)， 也稱為尺度濾波器也稱為尺度濾波器(scaling filter) 。 尺度函數(shù)尺度函數(shù)f f(t)的的f (t)V0 f (t)V1 由由f f1 1,k(t) k Z的正交性可得的正交性可得 tkttttkhkd)2(2)()(),(, 10- - - -ffffscaling equationdilation equation refinement equation例：試求例：試求Haar多分辨分析系統(tǒng)

5、中的多分辨分析系統(tǒng)中的h0k。 解：解： tkttttkhkd)2(2)()(),(HH, 1H0- - - -fffffH(t)t101t1/2021/221/2fH(2t)t1/2021/2121/2fH(2t-1) 00h 10h) 12()2()(HHH- - tttffft1011/2fH(t)fH(2t)fH(2t-1)21/21/)()(ntnhtn- - 220ff小波函數(shù)與正交補(bǔ)空間小波函數(shù)與正交補(bǔ)空間 由于V0 V1 ，定義空間V0在V1中的正交補(bǔ)空間為W0，即 V1 = V0W0W0V0V1 對(duì)給定的多分辨分析系統(tǒng)，則存在小波函數(shù)y y(t)，使得y(t-k); kZ是W

6、0的正交基。 一般地，空間Vj在Vj+1中的正交補(bǔ)空間為Wj，即 Vj+1 = VjWj yj,k(t)=2j/2 y(2jt-k)；kZ 是Wj的正交基。 例：試求例：試求Haar多分辨分析中的小波函數(shù)多分辨分析中的小波函數(shù)y yH( (t) )。 解：由定義可知解：由定義可知 V1 = W0 V0 所以所以y yH H( (t) V1 ，即，即y yH H( (t)在區(qū)間在區(qū)間0,1/2，1/2,1必須是常數(shù)。必須是常數(shù)。又由于又由于y yH H( (t)必須與必須與V0正交，所以正交，所以y yH H( (t)的的一個(gè)解一個(gè)解為為 - - 其他 012/112/10 1)(HtttyyH

7、(t)t101/21-1 小波函數(shù)與正交補(bǔ)空間小波函數(shù)與正交補(bǔ)空間V1 = W0 V0 W0 V1 y(t) W0 V1 y(t)可用V1空間的正交基f1,k(t); k Z表示為 )()(ktkhtk- - 221fyh1k稱為小波函數(shù)系數(shù)(wavelet function coefficient)。 由f1,k(t) kZ的正交性可得 tkttttkhkd)()()(),(,- - - -2211fyfy例：試求例：試求Haar多分辨分析系統(tǒng)中的多分辨分析系統(tǒng)中的h1k。 解：解： tkttkhd)()(- - - -221fyt1/2021/221/2fH(2t)()(ktkhtk- -

8、 221fyt1/2021/2121/2fH(2t-1)yH(t)t101/21-1 01h 11h)()()(HHH122- - - tttffy)(khkhk- - - 1101h0k與h1k的關(guān)系為)(kMhk- - - 0121/21/- -小波函數(shù)與正交補(bǔ)空間小波函數(shù)與正交補(bǔ)空間若x(t) V2，則有 V2 = W1 V1 =W1 W0 V0 所以f0,k(t)， y0,k(t)， y1,k(t); kZ構(gòu)成了空間V2的一個(gè)正交基，x(t)可表示為 kkkkkktkdtkdtkctx)()()()(, 11,00,00yyf )(),(,00ttxkckf )(),(,ttxkdkjjy小波函數(shù)與正交補(bǔ)空間小波函數(shù)與正交補(bǔ)空間一般地，若x(t) L2，則有 L2 = V0