1、Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012第 15 章市場風(fēng)險(xiǎn)：模型構(gòu)建法市場風(fēng)險(xiǎn)：模型構(gòu)建法1Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20120. 多元正態(tài)分布分量線性組合的分布多元正態(tài)分布分量線性組合的分布l設(shè)隨機(jī)變量V1, V2 , V3，的聯(lián)合分布為正態(tài)分布 其中： 為它們的期望。 為其協(xié)方差矩陣。求： 的概率分布。 2( ,)N123

2、( ,)u u u111213212223313233 1 12233VVVRisk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121. 模模型構(gòu)建型構(gòu)建法基本思路法基本思路l問題的提出：我們需要知道某一資產(chǎn)組合未來一天概率分布情況，從而可以知道損失的分布情況，進(jìn)而可以計(jì)算VaR。l除了歷史模擬法之外，另外還有一種計(jì)算市場風(fēng)險(xiǎn)的方法，這種方法被稱為模型構(gòu)建法 或方差協(xié)方差法。l總思路：對市場變量的 聯(lián)合分布做出一定的假設(shè)，并采用歷史數(shù)據(jù)來估計(jì)模型中的參數(shù)。進(jìn)而得到資產(chǎn)未來價(jià)值的概

3、率分布，從而可以計(jì)算其VaR。3Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.1 單一資產(chǎn)模型單一資產(chǎn)模型l對于單一資產(chǎn)價(jià)值 在展望期 的損失可表示成 （1） 其中： 為展望期內(nèi)的收益率 的波動率。而 ， 是服從某種分布的隨機(jī)變量。 通常4nVT,:n Tnnn TLVZ : n n T: n n Tv:log()log()nn Tn TnvVV:1n n TnTZRisk Management and Financial Institutions 3e, Chap

4、ter 15, Copyright John C. Hull 20121.1.1微軟的例子微軟的例子l假定：（1）交易組合只包含價(jià)值為1000萬美元的微軟公司股票 （2）微軟公司股票的當(dāng)前的日波動率2% (對應(yīng)于年波動率32%)l求交易組合在10天展望期內(nèi)99%的置信水平下的VaR？5Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.1.1 微微軟的例子軟的例子（續(xù)）（續(xù)）解：依題意可知日波動率 ，展望期 。當(dāng)前價(jià)值因此, 交易組合未來10天損失的概率分布可表示成其中假

5、設(shè)隨機(jī)變量 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布得到VaR 為 710102%632,456LZZ 6+1=2%n10T 71 10nV Z1632,456(0.99)632,456 2.33$1,473,621NRisk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.1.2 AT&T 例子例子l接下來我們考慮價(jià)值為500萬美元的AT&T的股票投資。l假定AT&T股票的波動率為每天1% (對應(yīng)于年波動率16%)l10天價(jià)格變化的標(biāo)準(zhǔn)差為lVaR 為50 000 10144,

6、$158,158114233405,.$368,7Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.2 多資產(chǎn)組合模型多資產(chǎn)組合模型l對于多資產(chǎn)組合價(jià)值 在展望期 的損失可表示成 （2） 其中： 為展望期內(nèi)的資產(chǎn)組合價(jià)值 的波動率。 (3) 是每個(gè)資產(chǎn)收益率的協(xié)方差矩陣。 是服從某種分布的隨機(jī)變量。 8nVT, :n TV nn TLZ , :V n n TV2, :1,2,1,2,()()V nn Tnnk nnnk nV VVV VVZRisk Management

7、 and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.2.1 交交易易組合的例子組合的例子例：考慮由價(jià)值1 000萬美元微軟股票及價(jià)值為500萬美元的AT&T股票的交易組合。其中它們的相關(guān)系數(shù)為0.3。 求資產(chǎn)組合99%的VaR9Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.2.2 交交易組易組合價(jià)值的合價(jià)值的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差l由兩種股票所組成的交易組合的標(biāo)準(zhǔn)差為l這種情

8、況下 X = 2% ，Y = 1% 以及r = 0.3. 所以，由兩種股票所組成的交易組合的標(biāo)準(zhǔn)差為 220,227277626XXYX YXYYr r 10（ 10,5 10）5 1010Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.2.3交交易易組合的組合的VaRl交易組合的展望期為10，置信度為 99% VaR 為l風(fēng)險(xiǎn)分散的帶來風(fēng)險(xiǎn)值的下降為(1,473,621+368,405)1,622,657=$219,369657,622, 1$33.210220,2

9、27111.3 方差方差-協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 (vari = covii)Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 201212112131212232313233123varcovcovcovcovvarcovcovcovcovvarcovcovcovcovvarnnnnnnn 從式（3）可知資產(chǎn)組合波動率計(jì)算的關(guān)鍵是計(jì)算資產(chǎn)價(jià)值的方差-協(xié)方差陣1.3.1方差方差-協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 的計(jì)算的計(jì)算Risk Management and Financial Instit

10、utions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012131.等權(quán)重（樣本協(xié)方差）2.利用EWMA模型。在在2008年年9月方差和相關(guān)系數(shù)均有月方差和相關(guān)系數(shù)均有所上升所上升Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 201214DJIAFTSECACNikkei等權(quán)重1.111.421.401.38EWMA2.193.213.091.59EWMA weightsEqual 1342. 0409. 0113. 0342. 0197

11、1. 0629. 0409. 0971. 01611. 0113. 0629. 0611. 011211. 0201. 0062. 0211. 01918. 0496. 0201. 0918. 01489. 0062. 0496. 0489. 01相關(guān)系數(shù)波動率 (% 每天)Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.4 對對于利率變量的處理于利率變量的處理l久期法: 應(yīng)用久期公式得出DP 與 Dy 之間的線性關(guān)系， 此處只假設(shè)利率曲線是平行移動，因此在計(jì)算，Va

12、R時(shí)只需知道Dy的概率分布情況就可以了.l現(xiàn)金流映射: 變量是10個(gè)不同期限零息債券.l主成分分析法: 2 或 3 獨(dú)立的移動15PDPyD DRisk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.4.1 現(xiàn)現(xiàn)金流金流映射法映射法l我們往往將以下期限的零息債券的價(jià)格作為市場的監(jiān)測變量 (1 月、3月、6月、1年、2年、5年、7年、10年及30年)l將各種債券映射成上述零息債券的線性組合。l假定6個(gè)月6.0%的利率及1年7.0% 的利率，在0.8年數(shù)量為1 050 000美元

13、的現(xiàn)金流.l6個(gè)月0.1%的波動率及1年0.2%的波動率16Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.4.2 例子例子l考慮頭寸為100萬美元的債券，債券期限為0.8年。其中：6個(gè)月6.0%的利率及1年7.0% 的利率，在0.8年數(shù)量為1 050 000美元的現(xiàn)金流.6個(gè)月0.1%的波動率及1年0.2%的波動率 如何將期限為0.8年的債券分解成6個(gè)月和一年的零息債券？17Risk Management and Financial Institutions 3e,

14、 Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.4.2 例例（1）將6個(gè)月6%的利率及1年7% 的利率，進(jìn)行插值來求得0.8年利率 6.6%$ 1 050 000, 0.8年現(xiàn)金流的貼現(xiàn)值為0.81050000997,6621.067518Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012例例（續(xù)）（續(xù)）l對6個(gè)月0.1%的波動率及1年0.2%的波動率也進(jìn)行插值來求得0.8年波動率，即0.16%l假定，我們映射到6個(gè)月期限的現(xiàn)金流的價(jià)值占

15、整體現(xiàn)值的比率為a因此，映射到1年期限現(xiàn)金流的價(jià)值占整體現(xiàn)值的比率為 (1- a)19Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012例例（續(xù)）（續(xù)）l假定6個(gè)月期和1年期的債券的相關(guān)系數(shù)為 0.7l進(jìn)行方差匹配l求得 a=0.320 337222220.00160.0010.002 (1)2 0.7 0.001 0.002(1)aaaa 20Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyri

16、ght John C. Hull 2012例例（續(xù)）（續(xù)）因此，0.8年價(jià)值為997 662美元的零息債券被價(jià)值為的6個(gè)月期零息債券及價(jià)值為的一年期零息債券的組合代替.這里的現(xiàn)金流映射的優(yōu)點(diǎn)是現(xiàn)金流的價(jià)值及方差都沒有改變319589$320337.099766221678074$679663.0997662Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.6 線線性模型性模型我們假定l投資組合每天的價(jià)值變化是由市場變量每天收益的線性組合l市場變量的價(jià)格變化服從正態(tài)分布2

17、2Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.5 線線性模型的應(yīng)用性模型的應(yīng)用l股票l債券l匯率遠(yuǎn)期合約l利率互換23Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 20121.5 線線性模型與期權(quán)產(chǎn)品性模型與期權(quán)產(chǎn)品假設(shè)一個(gè)期權(quán)的交易組合只依賴于單一股票價(jià)格, S. 定義以及SPDDSSxDD24Risk Management and Financ

18、ial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012線性模型與期權(quán)線性模型與期權(quán)產(chǎn)品（續(xù)）產(chǎn)品（續(xù)）l我們有以下近似式l類似，當(dāng)交易組合包含幾種不同基礎(chǔ)資產(chǎn)的期權(quán)時(shí)其中 i 是投資組合中第i個(gè)資產(chǎn)的 deltaxSSPDDDDDiiiixSP25Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012例例l假定一交易組合是由基礎(chǔ)資產(chǎn)微軟股票及AT&T 股票的期權(quán)所組成，微軟期權(quán)的delta為1 000，

19、AT&T期權(quán)的deltas為20 000，微軟股票的價(jià)格為 120， AT&T股票的價(jià)格為30。l我們 得出以下近似式其中Dx1 和 Dx2分別為微軟及AT&T股票的日 收益率21000,2030000, 1120 xxPDDD26Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012但是一個(gè)期權(quán)的日但是一個(gè)期權(quán)的日 收益率分布不收益率分布不是一個(gè)正態(tài)是一個(gè)正態(tài)線性模型無法獲取投資組合價(jià)值的概率分布的峰度。27Gamma的影響的影響Risk Manage

20、ment and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 201228 正 Gamma負(fù) Gamma具有正態(tài)分布的基礎(chǔ)資產(chǎn)的概率具有正態(tài)分布的基礎(chǔ)資產(chǎn)的概率分布與分布與 長頭寸期權(quán)的概率分布的長頭寸期權(quán)的概率分布的對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 201229Long CallAsset Price具有正態(tài)分布的基礎(chǔ)資產(chǎn)的概率具有正態(tài)分布的基礎(chǔ)資產(chǎn)的概率分布與分布與

21、期權(quán)空頭的期權(quán)空頭的概率分布的對概率分布的對應(yīng)關(guān)系應(yīng)關(guān)系Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 201230Short CallAsset PriceRisk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012二次模型二次模型對于依賴于單一資產(chǎn)價(jià)格的投資組合，由泰勒展開我們得出由此得出假設(shè) Dx 服從正態(tài)分布，我們可以得出下列矩2)(21SSPDDD22)(21

22、xSxSPDDD6364243424222222875. 15 . 4)(75. 0)(5 . 0)(DDDSSPESSPESPE31二次二次模型（續(xù)）模型（續(xù)）Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 201232l但當(dāng) Dxi 是多元正態(tài)分布，且n不是很大時(shí)，利用該式我們可以估計(jì)么 DP 矩。l統(tǒng)計(jì)學(xué)中Cornish Fisher展開由分布的矩入手，對概率分布的分位數(shù)進(jìn)行估計(jì)l然而，當(dāng)市場變量的個(gè)數(shù)很大時(shí)，這個(gè)模型將不再可行Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 15, Copyright John C. Hull 2012蒙特卡羅模擬蒙特卡羅模擬我們可以在實(shí)施模型構(gòu)建法時(shí)采用蒙特卡羅模擬法l利用當(dāng)前的市場變量對交易組合進(jìn)行定價(jià)l從Dxi服從的多元正態(tài)分布中進(jìn)行一次抽樣l由Dxi的抽樣計(jì)算出在交易日末的市場變量l利用新產(chǎn)生的市場變量來對交易組合重新定價(jià)33Risk Management and Financial Institutions 3e, Ch