1、第三章第三章 行列式行列式*第一節(jié)第一節(jié) 線性方程組與行列式線性方程組與行列式*第二節(jié)第二節(jié) 排列排列*第三節(jié)第三節(jié) n階行列式階行列式*第四節(jié)第四節(jié) 余子式與行列式展開余子式與行列式展開*第五節(jié)第五節(jié) 克萊姆規(guī)則克萊姆規(guī)則 *一一. 初等代數(shù)回顧初等代數(shù)回顧*1. 二階行列式與二元一次方程組二階行列式與二元一次方程組*2. 三階行列式與三元一次方程組三階行列式與三元一次方程組*二二. 線性方程組線性方程組*三三. 后續(xù)內(nèi)容介紹后續(xù)內(nèi)容介紹二階行列式的定義二階行列式的定義:2112221121211211aaaaaaaa二階行列式與二元一次方程組的解的關(guān)系二階行列式與二元一次方程組的解的關(guān)系:

2、當(dāng)二元一次方程組當(dāng)二元一次方程組22221211212111bxaxabxaxa的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式021211211aaaa時(shí)時(shí), 它的解為它的解為:222112112221211aaaaababx 222112112211112aaaababax 三階行列式的定義三階行列式的定義:322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa三階行列式與三元一次方程組的解的關(guān)系三階行列式與三元一次方程組的解的關(guān)系:當(dāng)三元一次方程組當(dāng)三元一次方程組333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxax

3、axa的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式0333231232222131211aaaaaaaaaD時(shí)時(shí), 它的解為它的解為:322311332112312213aaaaaaaaaDDxDDxDDx332211 , ,其中其中:, 3332323222131211aabaabaabD 3333123222131112abaabaabaD 3323122222112113baabaabaaD 由若干個(gè)含有由若干個(gè)含有n個(gè)未知數(shù)的一次方程構(gòu)成的方程組稱為個(gè)未知數(shù)的一次方程構(gòu)成的方程組稱為n元線性元線性方程組方程組. 線性方程組中方程的個(gè)數(shù)未必等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)線性方程組中方程的個(gè)數(shù)未必等于未知數(shù)的個(gè)數(shù). n元線

4、性元線性方程組的一般形式是方程組的一般形式是:mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(1)其中其中, x1, x2,xn表示未知數(shù)表示未知數(shù), aij, bi (i=1,2,m, j=1,2, ,n)表示已知表示已知的常數(shù)的常數(shù), 稱為稱為aij未知數(shù)的未知數(shù)的系數(shù)系數(shù), 稱稱bi為為常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng). 方程組方程組(1)的一個(gè)的一個(gè)解解是指這樣的一組數(shù)是指這樣的一組數(shù)(k1, k2,kn), 用它們依用它們依次代替方程組次代替方程組(1)的未知數(shù)的未知數(shù)x1, x2,xn后后, (1)中的每一個(gè)方程都成為中的每一個(gè)方程都成為恒等式恒

5、等式. 線性方程組及其解法是線性代數(shù)的基本內(nèi)容之一線性方程組及其解法是線性代數(shù)的基本內(nèi)容之一, 同時(shí)線同時(shí)線性代數(shù)的其它內(nèi)容性代數(shù)的其它內(nèi)容, 像矩陣、線性空間等像矩陣、線性空間等, 都與它有著十分密都與它有著十分密切的內(nèi)在聯(lián)系。切的內(nèi)在聯(lián)系。 關(guān)于線性方程組需要解決的問題有關(guān)于線性方程組需要解決的問題有: 線性方程組線性方程組是否有解是否有解?如果有解如果有解, 它它有多少個(gè)解有多少個(gè)解? 如何求如何求出這些出這些解解? 在初等代數(shù)中我們已經(jīng)知道在初等代數(shù)中我們已經(jīng)知道, 二、三元線性方程組可用系二、三元線性方程組可用系數(shù)行列式判斷是否有唯一解數(shù)行列式判斷是否有唯一解, 而且在有唯一解時(shí)還可

6、用行列而且在有唯一解時(shí)還可用行列式表示出這個(gè)唯一的解。式表示出這個(gè)唯一的解。 對(duì)一般的對(duì)一般的n元線性方程組是否也可元線性方程組是否也可用行列式判斷它是否有唯一的解并用行列式表示出這個(gè)唯一用行列式判斷它是否有唯一的解并用行列式表示出這個(gè)唯一的解的解? 回答是肯定的?；卮鹗强隙ǖ摹１菊聦⑹紫劝讯?、三階行列式的定義本章將首先把二、三階行列式的定義推廣到一般的推廣到一般的n階行列式并討論其性質(zhì)階行列式并討論其性質(zhì), 然后給出線性方程組然后給出線性方程組有唯一解的條件及這個(gè)唯一解的求解公式有唯一解的條件及這個(gè)唯一解的求解公式。在下一章我們將。在下一章我們將討論一般的線性方程組的解法。討論一般的線性方程

7、組的解法。 一一. . 基本概念基本概念1. 1. 排列排列: n個(gè)數(shù)碼個(gè)數(shù)碼1,2,n的一個(gè)的一個(gè)排列排列是指由這是指由這n個(gè)數(shù)碼個(gè)數(shù)碼組成的一個(gè)有序組組成的一個(gè)有序組. n個(gè)數(shù)碼的不同排列共有個(gè)數(shù)碼的不同排列共有n!個(gè)個(gè).2. 2. 反序數(shù)反序數(shù): 在一個(gè)排列里在一個(gè)排列里, 如果一個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較如果一個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較小的數(shù)的前面小的數(shù)的前面, 則稱這兩數(shù)構(gòu)成一個(gè)則稱這兩數(shù)構(gòu)成一個(gè)反序反序. 一個(gè)排列中所一個(gè)排列中所有反序的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)排列的有反序的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)排列的反序數(shù)反序數(shù). 例如排列例如排列213的反的反序數(shù)是序數(shù)是1, 而排列而排列231的反序數(shù)是的反序數(shù)是2.3. 3

8、. 奇排列奇排列, , 偶排列偶排列: 如果一排列的反序數(shù)是奇如果一排列的反序數(shù)是奇(偶偶)數(shù)數(shù), 則則稱這個(gè)排列為稱這個(gè)排列為奇奇(偶偶)排列排列. 例如例如213是奇排列是奇排列, 231是偶排是偶排列列.4. 4. 對(duì)換對(duì)換: 把一個(gè)排列中的數(shù)碼把一個(gè)排列中的數(shù)碼i和和j的位置互換的位置互換, 而其它數(shù)而其它數(shù)碼的位置保持不變則得到一個(gè)新的排列碼的位置保持不變則得到一個(gè)新的排列. 對(duì)排列進(jìn)行的這對(duì)排列進(jìn)行的這樣一種變換稱為一個(gè)樣一種變換稱為一個(gè)對(duì)換對(duì)換, 并并用用符號(hào)符號(hào)(i, j)表示表示. 二二. . 基本性質(zhì)基本性質(zhì)定理定理1 1. 設(shè)設(shè)i1i2in和和j1j2jn是是n個(gè)數(shù)碼的任

9、意兩個(gè)個(gè)數(shù)碼的任意兩個(gè)排列排列, 那么總可以由那么總可以由i1i2in經(jīng)過一系列對(duì)換而得經(jīng)過一系列對(duì)換而得到到j(luò)1j2jn.定理定理2 2. 每一個(gè)對(duì)換都改變排列的奇偶性每一個(gè)對(duì)換都改變排列的奇偶性.定理定理3 3. 當(dāng)當(dāng)n 2時(shí)時(shí), n個(gè)數(shù)碼的奇排列與偶排列的個(gè)個(gè)數(shù)碼的奇排列與偶排列的個(gè)數(shù)相等數(shù)相等, 各為各為n!/2.*一一. 定義定義*1. n階行列式階行列式*2. 轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式*二二. n階行列式的性質(zhì)階行列式的性質(zhì)*三三. 例題例題一一. n階行列式的有關(guān)定義階行列式的有關(guān)定義1.1.n階行列式階行列式: 用符號(hào)用符號(hào)nnnnnnaaaaaaaaa212222111211表示

10、的表示的n階行列式階行列式是指是指代數(shù)和代數(shù)和nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)() 1(, 其中求和號(hào)是對(duì)其中求和號(hào)是對(duì)n個(gè)個(gè)數(shù)碼的所有的排列求和數(shù)碼的所有的排列求和, 共有共有n!項(xiàng)項(xiàng); (j1j2jn)表示排列表示排列j1j2jn的反序數(shù)的反序數(shù). 或者說或者說, n階行列式是所有可能的取自不同行不同列上的階行列式是所有可能的取自不同行不同列上的n個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積nnjjjaaa2121的代數(shù)和的代數(shù)和, 當(dāng)當(dāng)j1j2jn是偶排列是偶排列時(shí)時(shí), 這一項(xiàng)的符號(hào)為正這一項(xiàng)的符號(hào)為正, 否則這一項(xiàng)的符號(hào)為負(fù)否則這一項(xiàng)的符號(hào)為負(fù).*例例1一一. n階行列式的有關(guān)定義階行列

11、式的有關(guān)定義2.2.轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式: 把把n階行列式階行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211的行變?yōu)榱械男凶優(yōu)榱?或者列變?yōu)樾谢蛘吡凶優(yōu)樾?后得到的行列式后得到的行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212221212111稱為原行列式稱為原行列式D的的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式.二二. n階行列式的性質(zhì)階行列式的性質(zhì)引理引理3.3.1 設(shè)設(shè)i1i2in和和j1j2jn都是都是n個(gè)數(shù)碼的排列個(gè)數(shù)碼的排列,則則nnjjjaaa2121是是n階行列式中的一項(xiàng)階行列式中的一項(xiàng), 這一項(xiàng)的符號(hào)是這一項(xiàng)的符號(hào)是)()(2121) 1(nnjjjii i命題命題3.3.2 行列式與

12、它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.命題命題3.3.3 交換行列式的兩行交換行列式的兩行(或兩列或兩列)的位置的位置, 則行列式的絕對(duì)則行列式的絕對(duì)值不變而符號(hào)改變值不變而符號(hào)改變.推論推論3.3.4 如果一個(gè)行列式的兩行如果一個(gè)行列式的兩行(或兩列或兩列)完全相同完全相同, 則這個(gè)行則這個(gè)行列式等于零列式等于零.命題命題3.3.5 把一個(gè)行列式的某一行把一個(gè)行列式的某一行(列列)的所有元素乘以同一個(gè)的所有元素乘以同一個(gè)數(shù)數(shù) k, 等于用等于用k乘這個(gè)行列式乘這個(gè)行列式.推論推論3.3.6 一個(gè)行列式中某一行一個(gè)行列式中某一行(列列)中所有元素的公因子可以中所有元素的公因子可以提到行

13、列式符號(hào)的外邊提到行列式符號(hào)的外邊.推論推論3.3.7 如果一個(gè)行列式中有一行如果一個(gè)行列式中有一行(列列)的所有元素都是零的所有元素都是零, 那那么這個(gè)行列式等于零么這個(gè)行列式等于零.推論推論3.3.8 如果一個(gè)行列式有兩行如果一個(gè)行列式有兩行(列列)的對(duì)應(yīng)元素成比例的對(duì)應(yīng)元素成比例, 那么那么這個(gè)行列式等于零這個(gè)行列式等于零.二二. n階行列式的性質(zhì)階行列式的性質(zhì)命題命題3.3.9 設(shè)某行列式的第設(shè)某行列式的第i行的所有元素都是兩項(xiàng)之和行的所有元素都是兩項(xiàng)之和, 則則:nnnnininiiiinaaacbcbcbaaa21221111211對(duì)于列也有類似的性質(zhì)對(duì)于列也有類似的性質(zhì).nnnn

14、iniinnnnniniinaaacccaaaaaabbbaaa212111211212111211命題命題3.3.10 把行列式的某一行把行列式的某一行(列列)的元素乘以同一數(shù)后加到另的元素乘以同一數(shù)后加到另一行一行(列列)的對(duì)應(yīng)元素上的對(duì)應(yīng)元素上, 行列式不變行列式不變.*例例2,例例3三三. 行列式例題行列式例題 例例1 根據(jù)行列式的定義計(jì)算根據(jù)行列式的定義計(jì)算:hgfedcba00000000 例例2 計(jì)算行列式計(jì)算行列式:333222111321321321aaaaaaaaa 例例3 計(jì)算計(jì)算n階行列式階行列式:0111101111011110*參閱行列式的性質(zhì)參閱行列式的性質(zhì)*一一

15、. 基本定義基本定義*1. 子式子式, 例例1*2. 余子式余子式, 例例2*3. 代數(shù)余子式代數(shù)余子式, 例例3*二二.按行按行(列列)展開行列式展開行列式*1. 定理定理3.4.1*2. 定理定理3.4.2*3. 定理定理3.4.3*三三. 例例4,5,6一一. 基本定義基本定義 1.1.子式子式: 在行列式在行列式D中任意選定中任意選定k行和行和k列列, 位于這些行和列的位于這些行和列的相交處的元素所構(gòu)成的相交處的元素所構(gòu)成的k階行列式叫做行列式階行列式叫做行列式D的一個(gè)的一個(gè)k階子式階子式. 例例1.1. 在四階行列式在四階行列式4443424134333231242322211431

16、1211aaaaaaaaaaaaaaaaD 中中, 取定第二行和第三行取定第二行和第三行, 第一列和第四列第一列和第四列. 則位于這些行列相交則位于這些行列相交處的元素就構(gòu)成處的元素就構(gòu)成D的一個(gè)的一個(gè)2階子式階子式:.34312421aaaaM 2.2.余子式余子式: n(n 1)階行列式階行列式D的某一元素的某一元素aij的的余子式余子式Mij是指是指在在D中去掉中去掉aij所在的第所在的第i行和第行和第j列后所得到的列后所得到的n1階子式階子式. 例例2.2. 在四階行列式在四階行列式44434241343332312423222114311211aaaaaaaaaaaaaaaaD 中中

17、a23的余子式是的余子式是:.44424134323114121123aaaaaaaaaM一一. 基本定義基本定義一一. 基本定義基本定義 3.3.代數(shù)余子式代數(shù)余子式: 設(shè)設(shè)Mij是是n(n 1)階行列式階行列式D的元素的元素aij的余子式的余子式, 則稱則稱Aij=(1)i+jMij是是aij的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式. 例例3.3. 在四階行列式在四階行列式44434241343332312423222114311211aaaaaaaaaaaaaaaaD 中中a23的代數(shù)余子式是的代數(shù)余子式是:.) 1(444241343231141211233223aaaaaaaaaMA二二. .按行按

18、行( (列列) )展開展開行列式行列式 定理定理3.4.13.4.1 如果如果n(n 1)階行列式階行列式D的第的第i行行(或第或第j列列)中的元中的元素除素除aij外都是零外都是零, 則則D=aijAij=(1)i+j aij Mij. 定理定理3.4.23.4.2 n(n 1)階行列式階行列式D等于它的任一行等于它的任一行(列列)的所有元的所有元素與它們的對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和素與它們的對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和. 即即 :. 2211122111njnjjjjjniijijininiiiinjijijAaAaAaAaAaAaAaAaD 定理定理3.4.33.4.3 n(n 1)階行列式階行列式D的某一行的某一行(列列)的元素與另一行的元素與另一行(列列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積的和等于零的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積的和等于零. 即即, 當(dāng)當(dāng)i j時(shí)時(shí) :, 022111jninjijinkjkikAaAaAaAa. 022111njnijijinkkjkiAaAaAaAa三三. .例題例題 例例4 4 計(jì)算行列式計(jì)算行列式:3351110243152113D 例例5 5 計(jì)算行列式計(jì)算行列式:12211000000000100001axaaaaxxxxnnnn 例例6 6 計(jì)算行列式計(jì)算行列式:1121122221