1、3.1 3.1 不等關(guān)系與不等式不等關(guān)系與不等式第一課時第一課時 第三章第三章 不等式不等式問題提出問題提出t57301p21.1.在數(shù)學(xué)中，表示等量關(guān)系的式子叫做在數(shù)學(xué)中，表示等量關(guān)系的式子叫做等式等式，那么，那么“不等式不等式”的含義如何理解？的含義如何理解？表示不等關(guān)系的式子叫做不等式表示不等關(guān)系的式子叫做不等式. . 2.2.現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系系，又存在著大量的不等關(guān)系. .例如，兩例如，兩點(diǎn)之間線段最短，三角形兩邊之和大于點(diǎn)之間線段最短，三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，等等第三邊、兩邊之差小于第三邊

2、，等等. .人人們還經(jīng)常用長與短、高與矮、輕與重、們還經(jīng)常用長與短、高與矮、輕與重、大與小、不超過或不少于等來描述某種大與小、不超過或不少于等來描述某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系. .因此，因此，如何用數(shù)學(xué)語言表述這樣的不等關(guān)系，如何用數(shù)學(xué)語言表述這樣的不等關(guān)系，就成為一個新的學(xué)習(xí)的內(nèi)容就成為一個新的學(xué)習(xí)的內(nèi)容. .mnpqaaaamnpqaaaa知識探究知識探究( (一一) )：用不等式表示不等關(guān)系：用不等式表示不等關(guān)系思考思考1 1：限速限速40km/h40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行使時，應(yīng)使汽車的速度前方路段行使時，應(yīng)使汽車的

3、速度v v不超不超過過40km/h.40km/h.怎樣用不等式表示這里的不等怎樣用不等式表示這里的不等關(guān)系？關(guān)系？ 思考思考2 2：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量奶中脂肪的含量f f應(yīng)不少于應(yīng)不少于2.5%2.5%，蛋白質(zhì)，蛋白質(zhì)的含量的含量p p 應(yīng)不少于應(yīng)不少于2.3%2.3%，怎樣用不等式，怎樣用不等式組表示這里的不等關(guān)系？組表示這里的不等關(guān)系？ 0 0v40 v40 2.5%2.3%fp 思考思考3 3：設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A A與平面與平面的距離為的距離為d d，B B為為平面平面上的任意一點(diǎn)，則上的任意一點(diǎn)，則d d與與|AB|AB|的大小的大小關(guān)系怎樣

4、表示？關(guān)系怎樣表示？d|AB|d|AB|A AB Bd d思考思考4:4:某種雜志原以每本某種雜志原以每本2.52.5元的價格銷元的價格銷售，可以售出售，可以售出8 8萬本萬本. .據(jù)市場調(diào)查，若單據(jù)市場調(diào)查，若單價每提高價每提高0.10.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少元，銷售量就可能相應(yīng)減少20002000本本. .若把提價后雜志的定價設(shè)為若把提價后雜志的定價設(shè)為x x元，元，怎樣用不等式表示銷售的總收入不低于怎樣用不等式表示銷售的總收入不低于2020萬元？萬元？ 2. 5(80. 2)200. 1xx-闖思考思考5 5：某鋼鐵廠要把長度為某鋼鐵廠要把長度為4000mm4000mm的鋼的鋼管截成

5、管截成500mm500mm和和600mm600mm兩種兩種. .按照生產(chǎn)的要按照生產(chǎn)的要求，求，600mm600mm鋼管的數(shù)量不能超過鋼管的數(shù)量不能超過500mm500mm鋼鋼管的管的3 3倍倍. .如何用不等式組表示上述所有如何用不等式組表示上述所有不等關(guān)系？不等關(guān)系？ 5006004000300 xyxyxy知識探究知識探究( (二二) )：比較實(shí)數(shù)大小的基本原理：比較實(shí)數(shù)大小的基本原理 思考思考1 1：實(shí)數(shù)可以比較大小，對于兩個實(shí)實(shí)數(shù)可以比較大小，對于兩個實(shí)數(shù)數(shù)a a，b b，其大小關(guān)系有哪幾種可能？，其大小關(guān)系有哪幾種可能？ a ab b，a ab b，a ab. b. 思考思考2 2

6、：任何一個實(shí)數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上的一任何一個實(shí)數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上的一個點(diǎn)，那么大數(shù)與小數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)的相個點(diǎn)，那么大數(shù)與小數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)的相對位置關(guān)系如何？對位置關(guān)系如何？ 大數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于小數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的右邊大數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于小數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的右邊 思考思考3 3：如果兩個實(shí)數(shù)的差是正數(shù)，那如果兩個實(shí)數(shù)的差是正數(shù)，那么這兩個實(shí)數(shù)的大小關(guān)系如何？反之成么這兩個實(shí)數(shù)的大小關(guān)系如何？反之成立嗎？如何用數(shù)學(xué)語言描述這個原理？立嗎？如何用數(shù)學(xué)語言描述這個原理？ a ab b0 a0 ab b 思考思考4 4：如果兩個實(shí)數(shù)的差等于零，那么如果兩個實(shí)數(shù)的差等于零，那么這兩個實(shí)數(shù)的大小關(guān)系如何？反之成立這兩個實(shí)數(shù)的大小關(guān)系如何？

7、反之成立嗎？如何用數(shù)學(xué)語言描述這個原理？嗎？如何用數(shù)學(xué)語言描述這個原理？ a ab=0 a=b b=0 a=b 思考思考5 5：如果兩個實(shí)數(shù)的差是負(fù)數(shù)，那么如果兩個實(shí)數(shù)的差是負(fù)數(shù)，那么這兩個實(shí)數(shù)的大小關(guān)系如何？反之成立這兩個實(shí)數(shù)的大小關(guān)系如何？反之成立嗎？如何用數(shù)學(xué)語言描述這個原理？嗎？如何用數(shù)學(xué)語言描述這個原理？ 思考思考6 6：考察下列三個不等式：考察下列三個不等式： |x|x|x|x；x x2 20 0；sinxsinx0. 0. 這些不等式各有什么特點(diǎn)？如何通過數(shù)這些不等式各有什么特點(diǎn)？如何通過數(shù)學(xué)概念加以區(qū)分？學(xué)概念加以區(qū)分？ a ab b0 a0 ab b 絕對不等式，矛盾不等式，

8、條件不等式絕對不等式，矛盾不等式，條件不等式. . 思考思考7 7：怎樣理解怎樣理解abab？思考思考8 8：對于數(shù)列對于數(shù)列aan n ，a an n1 1a an n或或a an n1 1a an n(nN(nN*) )與與a an n1 1aan n等價嗎？等價嗎？理論遷移理論遷移 例例1 1 某用戶計劃購買單價分別為某用戶計劃購買單價分別為6060元、元、7070元的單片軟件和盒裝磁盤，使用資金元的單片軟件和盒裝磁盤，使用資金不超過不超過500500元，根據(jù)需要，軟件至少買元，根據(jù)需要，軟件至少買3 3片，磁盤至少買片，磁盤至少買2 2盒，用不等式組表示軟盒，用不等式組表示軟件數(shù)件數(shù)x

9、 x與磁盤數(shù)與磁盤數(shù)y y應(yīng)滿足的條件應(yīng)滿足的條件. . 607050032xyxy 例例2 2 比較下列兩組代數(shù)式的大?。罕容^下列兩組代數(shù)式的大?。?(1)x(1)x2 2+3+3與與3x3x； (2) x(2) x6 6+1+1與與x x4 4+x+x2 2；(3) (3) (4)(4)2(0,0,)12與1aabababb2222()()()()(0)與xyxyxyxyxy小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè)1.1.用不等式表示不等關(guān)系是一種數(shù)學(xué)建用不等式表示不等關(guān)系是一種數(shù)學(xué)建模，準(zhǔn)確理解題意，設(shè)定字母表示相關(guān)模，準(zhǔn)確理解題意，設(shè)定字母表示相關(guān)數(shù)量，是正確建模的關(guān)鍵數(shù)量，是正確建模的關(guān)鍵. .對具有多個不

10、對具有多個不等關(guān)系的實(shí)際問題，要用不等式組來表等關(guān)系的實(shí)際問題，要用不等式組來表示示. . 2.2.兩個實(shí)數(shù)的差的符號能反映這兩個實(shí)兩個實(shí)數(shù)的差的符號能反映這兩個實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，這是確定兩個實(shí)數(shù)大小數(shù)的大小關(guān)系，這是確定兩個實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本原理，同時也是發(fā)掘不等式關(guān)系的基本原理，同時也是發(fā)掘不等式性質(zhì)的理論依據(jù)性質(zhì)的理論依據(jù). .3.3.用用“差比法差比法”比較兩個實(shí)數(shù)的大小，比較兩個實(shí)數(shù)的大小，一般分三步進(jìn)行：作差一般分三步進(jìn)行：作差變形變形判斷符判斷符號號. . 其中變形的目的在于判斷差式的符其中變形的目的在于判斷差式的符號，常用的變形手段有因式分解、配方號，常用的變形手段有因式分解、配

11、方等等. .作業(yè)：作業(yè)： P74P74練習(xí)：練習(xí)：1 1，2.2. P75 P75習(xí)題習(xí)題3.1B3.1B組：組：1.1.第二課時第二課時 3.1 3.1 不等關(guān)系與不等式不等關(guān)系與不等式問題提出問題提出1.1.反映實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本原理是什么？反映實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本原理是什么？a ab b0 a0 ab b a ab=0 a=b b=0 a=b a ab b0 a0 ab b 2.2.用用“差比法差比法”比較兩個代數(shù)式大小的比較兩個代數(shù)式大小的一般步驟如何？一般步驟如何？ 作差作差變形變形判斷符號判斷符號 3.3.對不等式的認(rèn)識僅停留在上述層面上對不等式的認(rèn)識僅停留在上述層面上是不夠的，為了

12、深入研究各種背景下的是不夠的，為了深入研究各種背景下的不等關(guān)系，我們必須建立相關(guān)的不等式不等關(guān)系，我們必須建立相關(guān)的不等式理論，這是我們需要進(jìn)一步研究的問題理論，這是我們需要進(jìn)一步研究的問題. .探究（一）：不等式的基本性質(zhì)探究（一）：不等式的基本性質(zhì) 思考思考1 1：有一個不爭的事實(shí)：若甲的身材有一個不爭的事實(shí)：若甲的身材比乙高，則乙的身材比甲矮，反之亦然比乙高，則乙的身材比甲矮，反之亦然. .從從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)分析，這里反映了一個不數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)分析，這里反映了一個不等式性質(zhì)，等式性質(zhì)，你能用數(shù)學(xué)符號語言表述這你能用數(shù)學(xué)符號語言表述這個不等式性質(zhì)嗎？個不等式性質(zhì)嗎？ a ab bb ba a（對稱

13、性）（對稱性） 思考思考2 2：又有一個不爭的事實(shí)：若甲的又有一個不爭的事實(shí)：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲的身材比丙高，這里反映出的不等式性的身材比丙高，這里反映出的不等式性質(zhì)如何用數(shù)學(xué)符號語言表述？質(zhì)如何用數(shù)學(xué)符號語言表述？a ab b，b bc ac ac c；a ab b，b bc ac ac c（傳遞性）（傳遞性）思考思考3 3：再有一個不爭的事實(shí)：若甲的年再有一個不爭的事實(shí)：若甲的年薪比乙高，如果年終兩人發(fā)同樣多的獎薪比乙高，如果年終兩人發(fā)同樣多的獎金或捐贈同樣多的善款，則甲的年薪仍金或捐贈同樣多的善款，則甲的年薪仍然比乙高，這里反映出的

14、不等式性質(zhì)如然比乙高，這里反映出的不等式性質(zhì)如何用數(shù)學(xué)符號語言表述？何用數(shù)學(xué)符號語言表述？ a ab a+cb a+cb+cb+c（可加性）（可加性） 思考思考4 4：還有一個不爭的事實(shí)：若甲班的還有一個不爭的事實(shí)：若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，則甲班的人數(shù)比乙班多則甲班的人數(shù)比乙班多. . 這里反映出的這里反映出的不等式性質(zhì)如何用數(shù)學(xué)符號語言表述？不等式性質(zhì)如何用數(shù)學(xué)符號語言表述？ a ab b，c cd a+cd a+cb+db+d（同向可加性）（同向可加性）思考思考5 5：如果如果a ab b，c c0 0，那么，那么acac與與bcbc

15、的的大小關(guān)系如何？如果大小關(guān)系如何？如果a ab b，c c0 0，那么，那么acac與與bcbc的大小關(guān)系如何？為什么？的大小關(guān)系如何？為什么？思考思考6 6：如果如果a ab b0 0，c cd d0 0，那么，那么acac與與bdbd的大小關(guān)系如何？為什么？的大小關(guān)系如何？為什么？ a ab b，c c0 ac0 acbcbc； a ab b，c c0 ac0 acbcbc a ab b0 0，c cd d0 ac0 acbd bd 思考思考7 7：如果如果a ab b0 0，nNnN*，那么，那么a an n與與b bn n的大小關(guān)系如何？的大小關(guān)系如何？nananbnb思考思考8 8

16、：如果如果a ab b0 0，nNnN*，那么，那么與與 的大小關(guān)系如何？的大小關(guān)系如何？nanbna a ab b0 0 (nN(nN*) )nb a ab b0 a0 an nb bn n (nN (nN*) )探究（二）：探究（二）：不等式的拓展性質(zhì)不等式的拓展性質(zhì) 思考思考1 1：在等式中有移項(xiàng)法則，即在等式中有移項(xiàng)法則，即a ab bc ac ac cb b，那么移項(xiàng)法則在不等式，那么移項(xiàng)法則在不等式中成立嗎？中成立嗎？ a ab bc ac ac cb b思考思考2 2：如果如果a ai ib bi i(i(i1 1，2 2，3 3，n)n)，a a1 1a a2 2a an n與

17、與b b1 1b b2 2b bn n的的大小關(guān)系如何？大小關(guān)系如何？a ai ib bi i (i(i1 1，2 2，3 3，n)n)a a1 1a a2 2a an nb b1 1b b2 2b bn n 思考思考3 3：如果如果a ai ib bi i(i(i1 1，2 2，3 3，n)n)，那么，那么a a1 1a a2 2aan nb b1 1b b2 2bbn n嗎？嗎？aibi0 (i1，2，3，n) a1a2anb1b2bn思考思考4 4：如果如果a ab b，那么，那么a an n與與b bn n的大小關(guān)的大小關(guān)系確定嗎？系確定嗎？ a ab b，n n為正奇數(shù)為正奇數(shù) a

18、an nb bn n思考思考5 5：如果如果a ab b，c cd d，那么，那么a ac c與與b bd d的大小關(guān)系確定嗎？的大小關(guān)系確定嗎？a ac c與與b bd d的大的大小關(guān)系確定嗎？小關(guān)系確定嗎？a ab b，c cd ad ac cb bd d思考思考6 6： 若若a ab b，abab0 0，那么，那么 的大小關(guān)系如何？的大小關(guān)系如何？11ab與 a ab b，abab0 011ab理論遷移理論遷移 例例1 1 已知已知a ab b0 0，c c0 0， 求證求證: .: .ccab 例例2 2 已知已知 ，x xy y0 0， 求證：求證： . . 110abxyxayb

19、例例3 3 若若a ab b0 0，判斷下列結(jié)論是否成，判斷下列結(jié)論是否成立立. .（1 1） （2 2） （3 3） （4 4）acac2 2bcbc2 211ab11aba22ab 例例4 4 給出三個不等式：給出三個不等式： abab0 0， , bcbcadad， 以其中任意兩個作條件，余下一個做結(jié)以其中任意兩個作條件，余下一個做結(jié)論，可組成幾個正確命題論，可組成幾個正確命題. .cdab小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè)1.1.不等式的不等式的8 8條基本性質(zhì)，就是不等式的條基本性質(zhì)，就是不等式的運(yùn)算法則，是分析、研究和解決不等式運(yùn)算法則，是分析、研究和解決不等式問題的邏輯依據(jù)，在此基礎(chǔ)上還可引伸問題

20、的邏輯依據(jù)，在此基礎(chǔ)上還可引伸出許多其他性質(zhì)，學(xué)習(xí)上要求掌握基本出許多其他性質(zhì)，學(xué)習(xí)上要求掌握基本性質(zhì)，了解拓展性質(zhì)性質(zhì)，了解拓展性質(zhì). .2.2.上述不等式性質(zhì)都是可以證明的結(jié)論，上述不等式性質(zhì)都是可以證明的結(jié)論，反映實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本原理是證明不反映實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本原理是證明不等式性質(zhì)的理論基礎(chǔ)等式性質(zhì)的理論基礎(chǔ). .3.3.在不等式的基本性質(zhì)中，有些條件與在不等式的基本性質(zhì)中，有些條件與結(jié)論是等價的，有些是不等價的，在不結(jié)論是等價的，有些是不等價的，在不等式的乘法、乘方、開方運(yùn)算性質(zhì)中，等式的乘法、乘方、開方運(yùn)算性質(zhì)中，還要附加大于還要附加大于0 0的條件，應(yīng)用時必須認(rèn)準(zhǔn)的條件，應(yīng)用時必須認(rèn)準(zhǔn). .4.4.不等式的不等式的8 8條基本性質(zhì)還可作適當(dāng)變條基本性質(zhì)還可作適當(dāng)變通，如通，如abab，b bc ac ac c；abab，c c0 acbc0 acbc；a ab b，c c0