1、微積分（微積分（I I）浙江大學(xué)理學(xué)院浙江大學(xué)理學(xué)院講課人：朱靜芬講課人：朱靜芬Email:Email:局部有界性局部有界性局部保號(hào)性局部保號(hào)性不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處處也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)故故xxxx因此，三角函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。因此，三角函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。定理定理2 2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有

2、嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)續(xù)反函數(shù). .例如例如,2,2sin上上單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在 xy. 1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上上單單調(diào)調(diào)減減少少且且連連續(xù)續(xù)在在同同理理 xy.,cot,arctan上單調(diào)且連續(xù)上單調(diào)且連續(xù)在在 xarcyxy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).定理定理3 3).(lim)()(lim,)(,)(lim000000 xfufxfuuufuxxxxxxx 則有則有連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)若若證證,)(0連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)uuuf .)()(, 0, 000成立成立恒有恒有

3、時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng) ufufuu,)(lim00uxxx 又又,0, 0, 00時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)于于 xx.)(00成成立立恒恒有有 uuux將上兩步合起來將上兩步合起來:,0, 0, 00時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) xx)()()()(00ufxfufuf .成成立立 )()(lim00ufxfxx ).(lim0 xfxx 意義意義1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;.)(. 2的的理理論論依依據(jù)據(jù)變變量量代代換換xu 例例.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx eln 解解. 0)1ln(: xxx即即.)(,)(,)

4、(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情況的特殊情況.例如例如,), 0()0,(1內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xy例例.1lim0 xexx 求求解解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式. 0,0yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得xaxx1lim0 . 01:x xex即即. 0)1(

5、ln:x xaax即即xeaxx1limln0 .lnlnlim0axaxx 例例解解. 1sinlimarcsinlim0arcsin0 ttxxttxx.arcsinlim0 xxx求求.arctan,arcsin0 xxxxx時(shí)，時(shí)，即，當(dāng)即，當(dāng)例例解解. 1tanlimarctanlim0arctan0 ttxxttxx.arctanlim0 xxx求求三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)

6、且且連連續(xù)續(xù)在在 定理定理5 5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) )定理定理6 6 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連內(nèi)都是連續(xù)的續(xù)的. .例例解解xexxxaxax1lim1)1(lim)1ln(00 ).0(1)1(lim0為為常常數(shù)數(shù)求求 axxaxxxax)1ln(lim0 . a . 1)1(0 axaxx時(shí)時(shí)，即即，當(dāng)當(dāng)例例. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原原式式. 1s

7、in e例例.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx注意注意: 初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法.例：求例：求xxxxarctan)2ln(lim21xxxxarctan)2ln(lim2141arctan) 12ln(12解：解：1 ,211 ,211 | ,1 | ,1lim)(22212xbaxbaxxxbxaxxbxaxxxfnnn所以在其上是連續(xù)的所以在其上是連續(xù)的. .例：例：解：解：,1lim)( 2212nnnx

8、bxaxxxf設(shè)設(shè) . ),( )( , , 上連續(xù)上連續(xù)在在取何值時(shí)取何值時(shí)問問xfba, ), 1( ),1 , 1( ),1,( )( 上上為為初初等等函函數(shù)數(shù)在在由由于于 xf 1 )( , ),( )( xxfxf在在只只需需上上連連續(xù)續(xù)在在要要處連續(xù)即可處連續(xù)即可. . 即應(yīng)有即應(yīng)有 , ) 1 ()(lim)(lim11fxfxfxx , ) 1()(lim)(lim11fxfxfxx11baba解此方程組得所求解此方程組得所求: : . 1 , 0ba得得到到方方程程組組的的表表達(dá)達(dá)式式由由 , )( xf),()(lim, 0)(lim00為為常常數(shù)數(shù)若若babxvaxuxx

9、xx .)(lim )(0bxvxxaxu 則則)(00)(ln)(lim)(lim :xvxuxxxvxxexu 證證)(ln)(lim0e xuxvxx )(limln)(lim)(lnlim)(lim0000ee xuxvxuxvxxxxxxxx .e lnlnbaabaeb xxexxxxxxecos1)sin1ln(limcos112020e)sin1(lim , )0( 2cos1 , )1ln( 2得得由由 xxxxx 220sin 2limxxexxe . 2sinlim2lim 2200eexxexxx 也可再用等價(jià)無窮小替代也可再用等價(jià)無窮小替代 . )sin1(lim c

10、os1120 xxxxe 求求例：例：解：解： e lnlim11211naaanxxnxxx 原原式式 e11lnlim11211 naaanxxnxxx e1lim11211 naaanxxnxxx)1()1()1(lim11211 xnxxxaxaxaxe .21lnlnln21naaaaaaen axaxxxxln1)1ln( 0時(shí)0) , ,( ,lim 2111211 nxnxnxxxaaanaaa求求例：例：解：解：615sinlim20 xxexx例例如如；代代人人。解解因因式式，約約分分，再再直直接接型型有有理理分分式式的的極極限限要要分分二二006131lim)3)(3(3

11、lim93lim3323 xxxxxxxxx例例如如；代代人人。有有理理化化，約約分分，再再直直接接型型無無理理分分式式的的極極限限要要先先三三004121lim)2)(4(4lim)2)(4()2)(2(lim42lim4444 xxxxxxxxxxxxxx例例如如：一、初等函數(shù)在有意義的點(diǎn)一、初等函數(shù)在有意義的點(diǎn)時(shí)時(shí)分分式式的的極極限限四四、 x mnmnmnbabxbxbaxaxammmnnnx0/.lim0011011023832753lim22 xxxxx 832753lim23xxxxx0753832lim232 xxxxx23lim xxxxx五五 第一個(gè)重要極限。第一個(gè)重要極限

12、。 1sinlim0 xxx： = ( 設(shè)設(shè)y=arcsinx) xxxarcsinlim01sinlim0 yyy 六六 第二個(gè)重要極限。第二個(gè)重要極限。 exxx 10)1(limexxx )11(lim xxxx3)1(lim xxx3)11(lim33)11(limexxx 2)1232(lim22xxxx 2)1221(lim2xxx1222122222)1221 (lim xxxxx =e0sin1lim xxx0arctanlim xxx七七 有界量與無窮小量的乘積是無窮小量有界量與無窮小量的乘積是無窮小量)1)(1(31lim)1311(lim22131xxxxxxxxx )1

13、)(1(2lim221xxxxxx )1)(1()2)(1(lim21xxxxxx 2112limxxxx 133 九九 對(duì)于無窮小可用等價(jià)的量代替。對(duì)于無窮小可用等價(jià)的量代替。 xxx2sinsinlim0232tan3sinlim0 xxx22tanlim0 xxx212lim0 xxx xxx)1ln(lim0 )1ln(1lim0 xxx1ln)1ln(lim10 exxx 因因 時(shí)，時(shí)，sin3x3x，sin2x2x，所以，所以0 xxexx1lim0 1)1ln(lim0 yyy y=ex-1 0 x這說明這說明 時(shí)，時(shí)， ln（1+x） x0 xex-1x x 。 八八 型極限，先運(yùn)算再求極