1、單質(zhì)點(diǎn)體系地震作用的處理方法黃宇（51116），楊星蕊（51134）,高霰（52569）,馮永艷（51159）在討論這個(gè)題目之前，首先我們要明確在我們的計(jì)算中，什么是單質(zhì)點(diǎn)體系，哪些結(jié)構(gòu)可以視作單質(zhì)點(diǎn)體系。根據(jù)我們所學(xué)的知識(shí)，地震作用對(duì)結(jié)構(gòu)物產(chǎn)生的影響屬于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)部分分析內(nèi)容。而結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析地基本特征是需要考慮慣性力的作用。所以體系質(zhì)量的分布及其運(yùn)動(dòng)方向（即位置變化特征）是決定結(jié)構(gòu)動(dòng)力特征的關(guān)鍵因素之一。實(shí)際結(jié)構(gòu)都是由變形體構(gòu)成的，而且質(zhì)量是連續(xù)分布的。所以，確定振動(dòng)過程中全部質(zhì)量位置的獨(dú)立幾何參數(shù)就需要無限多個(gè)，屬于無限自由度的體系。因此，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，常常是將無限自由度的振動(dòng)問題近似的轉(zhuǎn)

2、化為有限自由度的方法。而當(dāng)剛性質(zhì)體的幾何尺寸較小時(shí)，又可以忽略因轉(zhuǎn)動(dòng)引起的慣性力矩，即其視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。實(shí)際工程中，由于橫梁的剛度遠(yuǎn)大于柱子的剛度，分析時(shí)，可將橫梁視為無限剛性，質(zhì)量分別集中到兩端。因此常將如圖所示的排架視為單質(zhì)點(diǎn)體系。根據(jù)動(dòng)靜法列靜力平衡方程，質(zhì)體運(yùn)動(dòng)微分方程為:mxkxcxFpt地震波是一種彈性波，它包括體波和面波，體波分為縱波和橫波，面波分為瑞雷波和洛夫波。地震波傳播速度以縱波最快，橫波次之，面波最慢?？v波使工程結(jié)構(gòu)產(chǎn)生上下顛簸，橫波使工程結(jié)構(gòu)產(chǎn)生水平搖晃，當(dāng)體波和面波同時(shí)到達(dá)時(shí)振動(dòng)最為劇烈。盡管地震運(yùn)動(dòng)是三維運(yùn)動(dòng)，但是建筑結(jié)構(gòu)通常具備一定的彈性。當(dāng)其處于彈性狀態(tài)時(shí)，可將三

3、維地面運(yùn)動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響分解為三個(gè)一維地面運(yùn)動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響之和。地震水平地面運(yùn)動(dòng)作用為例進(jìn)行討論。當(dāng)單質(zhì)點(diǎn)體系受到地震水平地面運(yùn)動(dòng)作用時(shí)，將產(chǎn)生相對(duì)于地面的水平運(yùn)動(dòng)。質(zhì)體受到三個(gè)力作用：一：慣性力：Fim（Xgx），其中xa為地面加速度，x為質(zhì)體相對(duì)的加速度；二：阻尼力：Fdcx；三：彈性恢復(fù)力：FSkx。三力平衡，對(duì)應(yīng)的方程式為：mxcxkxmxg方程表示，當(dāng)結(jié)構(gòu)遇到地震時(shí)，相當(dāng)于將等效外力F=MXa施加于質(zhì)量自由度方向上，體系將在動(dòng)力作用（即地震作用）下產(chǎn)生振動(dòng)，此時(shí)情況為強(qiáng)迫振動(dòng)即受迫振動(dòng),支承處運(yùn)動(dòng)對(duì)于體系的動(dòng)力作用就相當(dāng)于在質(zhì)量上施加一動(dòng)力荷載。下面開始求解。y2y2yXgit.(t)

4、yt-oxaesin(t)d注:d1-2因?yàn)楹苄。晕覀內(nèi)一般情況下，結(jié)構(gòu)原始處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以以上即可作為結(jié)構(gòu)在地震作用下的運(yùn)動(dòng)方程。由于Xg（t）不能表示為時(shí)間的確定性函數(shù)，而只能用概率統(tǒng)計(jì)的方法尋求其統(tǒng)計(jì)規(guī)律，所以,我們通常的實(shí)用方法是地震反應(yīng)譜法。如圖的水塔，由于質(zhì)量集中在一個(gè)確定的位置，結(jié)構(gòu)可以簡化為單質(zhì)點(diǎn)體系（如圖所示）對(duì)其進(jìn)行地震反映分析。盡管地震的地面運(yùn)動(dòng)是三維運(yùn)動(dòng)，但因此結(jié)構(gòu)處于彈性狀態(tài)，可將三維地面運(yùn)動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)的影響分解為三個(gè)一維地面運(yùn)動(dòng)隊(duì)結(jié)構(gòu)的影響之和。故以下只討論單向水平地震對(duì)單質(zhì)點(diǎn)體系的影響。單質(zhì)點(diǎn)體系在地震水平地面運(yùn)動(dòng)作用下，將產(chǎn)生相對(duì)于地面的水平運(yùn)動(dòng)，如圖所示，

5、此時(shí)質(zhì)點(diǎn)上作用有三種力：熄厲加速度姓式單質(zhì)點(diǎn)系在單向地面水平運(yùn)動(dòng)下的運(yùn)動(dòng)方程，在數(shù)學(xué)上為二階線性微分方程。在另初始條件（初位移x（0）=0,初速度為0）下，方程的解為1t.（t）xtdoxaesin（t）d該式實(shí)際上是用積分形式表達(dá)的單質(zhì)點(diǎn)體系地震位移反映。其中：為無阻尼體系自由振動(dòng)圓頻率；為阻尼比。一般工程結(jié)構(gòu)值較小，在0.010.1之間；為有阻尼時(shí)體系自由振動(dòng)圓xgx2X000mxgxmaxkXmax上式左端為質(zhì)點(diǎn)的最大慣性力，將其定義為地震作用，即o0F=mxg0xmax原理知，當(dāng)結(jié)構(gòu)位移反應(yīng)取最大值時(shí)，結(jié)構(gòu)速度反應(yīng)為0。對(duì)比上面的表達(dá)式得頻率。一般情況下，若對(duì)式關(guān)于時(shí)間微分一次和二次，

6、則可得體系地震速度反應(yīng)和地震加速度，注意到'般值很小，則兩式可近似簡化為x（t）t.oXa(t)ecos(t)dxg(t)x（t）.t.(td°xae)sin(t)d對(duì)于工程設(shè)計(jì)來說,最有用的是結(jié)構(gòu)地震時(shí)程反應(yīng)（內(nèi)力、變形等）的最大值。由數(shù)學(xué)00則式F=kXmax成為一靜力方程。按靜力分析方法就可得到結(jié)構(gòu)的最大地震位移及相應(yīng)的內(nèi)力反應(yīng)。為計(jì)算地震作用，定義如下地震加速度反應(yīng)譜o0Sa=xgoxmax因地震反應(yīng)譜可預(yù)先計(jì)算得到，若以確定地震反應(yīng)譜，則單質(zhì)點(diǎn)體系的地震作用可根據(jù)其子鎮(zhèn)周期對(duì)應(yīng)的反應(yīng)譜值十分簡便地按F=mSa(T)計(jì)算得到。又因地震反應(yīng)譜與地面運(yùn)動(dòng)幅值和頻譜有關(guān)，為

7、分別考慮他們的影響，引進(jìn)兩個(gè)參數(shù)地震系數(shù)地震系數(shù)k=xgmax動(dòng)力系數(shù)（T）JSOTLXgmax地震反應(yīng)譜即可表達(dá)為：Sa(T)=kg(T)地震系數(shù)的取值可與地震烈度設(shè)防標(biāo)準(zhǔn)相聯(lián)系。設(shè)防烈度一般定義為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)基準(zhǔn)內(nèi)超越概率為10%的烈度水平，各地的設(shè)防烈度即可取為當(dāng)?shù)氐幕玖叶?。?dāng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期為50年時(shí)，小震烈度比中震烈度約小1.5度，大烈度比中烈度約大1度(當(dāng)基本烈度為9度時(shí)不到1度)。1. 動(dòng)力系數(shù)的取值與結(jié)構(gòu)的阻尼有關(guān)，其圖如下，我國建筑物和構(gòu)筑物抗震設(shè)計(jì)規(guī)范均取T=0T時(shí)，一般為直線b;(T)gT>T時(shí)，有)max對(duì)于參數(shù)b,一般取值為0.651.0之間。最后得地震作用的計(jì)算公

8、式F=(mg)k(T)=G(T)G-單質(zhì)點(diǎn)體系質(zhì)量(T)地震影響系數(shù)，其變化規(guī)律同動(dòng)力系數(shù)這就是地震反應(yīng)譜法的全過程。下面給出反應(yīng)譜理論一種直接算法的推導(dǎo)：空間結(jié)構(gòu)在X方向水平地面加速度作用下的動(dòng)力學(xué)方程為：MDCDKDMEx其中M、C、K分別是質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；D是結(jié)構(gòu)位移向量；Ex是列向量，對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)X方向位移的向量元素為1,其余向量元素為0。向量元素1和0分別表示質(zhì)量矩陣中相應(yīng)的質(zhì)量元素對(duì)于X方向地面加速度xg產(chǎn)生或不產(chǎn)生慣性力。求解結(jié)構(gòu)特征值問題的方程：K,d2M,d可以得到結(jié)構(gòu)的n階自振頻率jj1,2,n及n階振型djj1,2,n。將各dj排列成nn的振型矩陣d，然后用dT

9、左乘式，得到：*TM*UC*UKUdTMExxg*T*T其中，M*dTM,d，C*dTC,d*TK*dTK,d，DdU由于，d關(guān)于M、K的正交性，同時(shí)在工程上通常假定d關(guān)于阻尼矩陣C也具有正交性，所以M*、C*、K*都是對(duì)角矩陣。若設(shè)cj*2jjmj*，這樣式可以表示為在n階振型向量的正交空間下的n個(gè)獨(dú)立的單變量微分方程問題如下：*TmjujcjujkjdjM,EXxg(j1,2,n)或uj2jjujj2ujtjxg(j1,2,n)式中，uj是位移向量D在由振型向量定義的正交空間內(nèi)所表示的廣義位移向量UQ*的第j個(gè)元素，2匕/mj。這里將tj定義為X方向地面振動(dòng)時(shí)，結(jié)構(gòu)計(jì)入扭轉(zhuǎn)的第j階振型參與系數(shù)，表示為：TTTjM,EX/d