1、.第一講 直線上的相遇與追及問題教學(xué)目的：1、 學(xué)會(huì)行程的中，速度、時(shí)間、路程三個(gè)量的關(guān)系2、 掌握相向、背向、同向等概念3、 會(huì)運(yùn)用追及和相遇解決簡(jiǎn)單行程問題基本知識(shí)點(diǎn)行程三個(gè)量的關(guān)系公式：路程=速度×時(shí)間；路程÷時(shí)間=速度；路程÷速度=時(shí)間三個(gè)概念：相向而行：面對(duì)面而行（如圖）。同向而行：面朝的方向相同而行（如圖）背向而行：背靠背方向，方向相反而行（如圖）。相遇和追及問題1、相遇問題含義 ：   兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題。數(shù)量關(guān)系： 總路程（甲速乙速）×相遇時(shí)間 

2、  相遇時(shí)間總路程÷（甲速乙速）（甲速乙速）=總路程÷相遇時(shí)間   2、追及問題含義：    兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)）作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題。數(shù)量關(guān)系：  追及路程（快速慢速）×追及時(shí)間追及時(shí)間追及路程÷（快速慢速）（快速慢速）追及路程÷追及時(shí)間3、注意點(diǎn)： 在處理相遇與追及問

3、題的時(shí)候，一定要注意公式的使用時(shí)二者發(fā)生關(guān)系那一時(shí)刻時(shí)候所處的狀態(tài)。 在行程問題里面所用的時(shí)間都是時(shí)間段，不是時(shí)間點(diǎn)（非常重要）。 無論在哪一類行程問題里面，只要是相遇，就與速度和有關(guān)，只要是追及，就與速度差有關(guān)。相遇例題：例1    南京到上海的水路長392千米，同時(shí)從兩港各開出一艘輪船相對(duì)而行，從南京開出的船每小時(shí)行28千米，從上海開出的船每小時(shí)行21千米，經(jīng)過幾小時(shí)兩船相遇.解    392÷（2821）8（小時(shí)）答：經(jīng)過8小時(shí)兩船相遇。例2    小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑

4、步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長時(shí)間.解   “第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為400×2相遇時(shí)間（400×2）÷（53）100（秒）答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時(shí)間。例3    甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離。解  “兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇”是正確理解本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點(diǎn)3千米，乙距中

5、點(diǎn)3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，相遇時(shí)間（3×2）÷（1513）3（小時(shí)）兩地距離（1513）×384（千米）答：兩地距離是84千米。追及例題：例1    好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬.解  （1）劣馬先走12天能走多少千米.  75×12900（千米）（2）好馬幾天追上劣馬.   900÷（12075）20（天）列成綜合算式   75×12÷（12075

6、）900÷4520（天）答：好馬20天能追上劣馬。例2 小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解  小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈，即200米，此時(shí)小亮跑了（500200）米，要知小亮的速度，須知追及時(shí)間，即小明跑500米所用的時(shí)間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用40×（500÷200）秒，所以小亮的速度是    （500200）÷40×（500÷200）300

7、7;1003（米）答：小亮的速度是每秒3米。例3    我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點(diǎn)開始從甲地以每小時(shí)10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點(diǎn)接到命令，以每小時(shí)30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個(gè)小時(shí)可以追上敵人.解  敵人逃跑時(shí)間與解放軍追擊時(shí)間的時(shí)差是（2216）小時(shí)，這段時(shí)間敵人逃跑的路程是10×（226）千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知追及時(shí)間10×（226）60÷（3010）220÷2011（小時(shí)）答：解放軍在11小時(shí)后可以追上敵人。例4 &

8、#160;  一輛客車從甲站開往乙站，每小時(shí)行48千米；一輛貨車同時(shí)從乙站開往甲站，每小時(shí)行40千米，兩車在距兩站中點(diǎn)16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解  這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時(shí)間就是前面所說的相遇時(shí)間，這個(gè)時(shí)間為                16×2÷（4840）4（小時(shí)）所以兩站間的距離為  

9、        （4840）×4352（千米）列成綜合算式   （4840）×16×2÷（4840）88×4352（千米）答：甲乙兩站的距離是352千米。例5    兄妹二人同時(shí)由家上學(xué)，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時(shí)發(fā)現(xiàn)忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學(xué)校有多遠(yuǎn).解  要求距離，速度已知，所以關(guān)鍵是求出相遇時(shí)間。從題中可知，在相同時(shí)間（從出發(fā)到相遇）內(nèi)

10、哥哥比妹妹多走（180×2）米，這是因?yàn)楦绺绫让妹妹糠昼姸嘧撸?060）米，那么，二人從家出走到相遇所用時(shí)間為180×2÷（9060）12（分鐘）家離學(xué)校的距離為      90×12180900（米）答：家離學(xué)校有900米遠(yuǎn)。例6    孫亮打算上課前5分鐘到學(xué)校，他以每小時(shí)4千米的速度從家步行去學(xué)校，當(dāng)他走了1千米時(shí)，發(fā)現(xiàn)手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好準(zhǔn)時(shí)上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學(xué)校。求孫亮跑步的速度。解

11、0; 手表慢了10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（105）分鐘，后段路程跑步恰準(zhǔn)時(shí)到學(xué)校，說明后段路程跑比走少用了（105）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用9（105）分鐘。所以步行1千米所用時(shí)間為    1÷9（105）0.25（小時(shí)）15（分鐘）跑步1千米所用時(shí)間為    159（105）11（分鐘）跑步速度為每小時(shí)        1÷11601×60115.5

12、（千米）答：孫亮跑步速度為每小時(shí)5.5千米。第二講 環(huán)形跑道的相遇與追及教學(xué)目的：1、 了解什么是環(huán)形跑道問題2、 掌握環(huán)形跑道上相遇與追及的特點(diǎn)基本知識(shí)點(diǎn)1、環(huán)形跑道相遇問題：如上圖，我們可以看到甲、乙兩人背向而行會(huì)在圓周上一點(diǎn)相遇，相遇的時(shí)候他們剛好走過一個(gè)圓周的周長，如果在進(jìn)行多次相遇的時(shí)候，與第一次相遇的情況一樣，新的起點(diǎn)，再次相遇。重點(diǎn)：因此，圓周上的相遇告訴我們，每相遇一次，他們兩個(gè)人的路程和為一個(gè)圓周的周長。相遇幾次，就是幾個(gè)圓周的周長。由此，也可以建立等量關(guān)系，來進(jìn)行解題公式：一個(gè)圓周的周長=（快速慢速）×相遇時(shí)間2、環(huán)形跑道上的追及問題如上圖，我們可以看到甲、乙兩人

13、同向而行，快的會(huì)再一次在圓周上追上慢的，當(dāng)追上的時(shí)候，快的剛好比慢的多走一個(gè)圓周的周長，如果在進(jìn)行多次追及的時(shí)候，與第一次相遇的情況一樣，新的起點(diǎn)，再次追及。重點(diǎn)：因此，圓周上的追及告訴我們，每追及一次，快的就應(yīng)該比慢的多走一個(gè)圓周的周長。追及幾次，就是幾個(gè)圓周的周長。由此，也可以建立等量關(guān)系，來進(jìn)行解題公式：一個(gè)圓周的周長=（快速慢速）×相遇時(shí)間1.在400米的環(huán)形跑道上，A、B兩點(diǎn)相距100米，。甲、乙兩人分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，按照逆時(shí)針方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒鐘。那么，甲追上乙需要的時(shí)間是多少秒.答案：假設(shè)沒有休息 那么100/（

14、54）=100秒鐘 在100/5=20秒 100/20-1=4（次）100+4*10=140秒2.小明在360米的環(huán)形跑道上跑一圈，已知他前半時(shí)間每秒跑5米，后半時(shí)間每秒跑4米，為他后半路程用了多少時(shí)間.答案：x÷4=（360-x）÷5×=160（360÷2-160）÷5160÷444分3.林琳在450嗎長的環(huán)形跑道上跑一圈，已知她前一半時(shí)間每秒跑5米，后一半時(shí)間每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒答案：設(shè)總時(shí)間為X，則前一半的時(shí)間為X/2，后一半時(shí)間同樣為X/2X/2*5+X/2*4=360X=80總共跑了80秒前40秒每秒跑5

15、米，40秒后跑了200米后40秒每秒跑4米，40秒后跑了160米后一半的路程為360/2=180米后一半的路程用的時(shí)間為（200-180）/5+40=44秒4.小君在360米長的環(huán)形跑道上跑一圈。已知他前一半時(shí)間每秒跑5米，后一半時(shí)間每秒跑4米。那么小君后一半路程用了多少秒.答案：設(shè)時(shí)間X秒 5X=360-4X 9X=360 X=40 后一半時(shí)間的路程=40*4=160米 后一半路程=360/2=180米 后一半路程用每秒跑5米路程=180-160=20米 后一半路程用每秒跑5米時(shí)間=20/5=4秒 后一半路程時(shí)間=4+40=44秒 答：后一半路程用了44秒5.小明在420米長的環(huán)形跑道上跑了

16、一圈，已知他前一半時(shí)間每秒跑8米，后一半時(shí)間每秒跑6米.求他后一半路程用了多少時(shí)間.答案：設(shè)總用時(shí)X秒。前一半時(shí)間和后一半時(shí)間都是X/2。然后前一半跑8*(X/2)米，后一半跑6*(X/2)米，總共加起來等于420米。所以列下方程8*(X/2)+6*(X/2)=420.解得X=60。所以后一半跑了30秒。又因?yàn)楹笠话霝?M/S，所以后一半跑了6*30=180M。6.二人沿一周長400米的環(huán)形跑道均速前進(jìn)，甲行一圈4分鐘，乙行一圈7分鐘，他們同時(shí)同地同向出發(fā)，甲走10圈，改反向出發(fā)，每次甲追上乙或迎面相遇時(shí)二人都要擊掌。問第十五次擊掌時(shí)，甲走多長時(shí)間乙走多少路程.答案：前10圈甲跑一圈擊掌一次，

17、即10下 此時(shí)已跑了5+5/7圈；后面2人跑了2/7時(shí)擊掌 一次，然后2人共一圈擊掌1次 耗時(shí) （4+2/7）/（1/4+1/7）=30/7*（11/28）=165/98； 甲共總走了40+165/98 H 已走了 （40+165/98）*（400/7） M第三講 多人相遇與追及問題教學(xué)目的：1、 了解多人相遇與追及的解題技巧。2、 會(huì)運(yùn)用一些其他應(yīng)用題手段來解決問題。基本知識(shí)點(diǎn)多人相遇與追及問題，與之前我們所接觸的行程問題有所不同，因?yàn)樗侨齻€(gè)人或者三個(gè)人以上的行程問題，這樣發(fā)現(xiàn)多了很多關(guān)系，整體處理起來就比較難以入手。解決技巧：數(shù)學(xué)思想就是把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，因此，我們可以把多人的看成是兩個(gè)

18、人兩個(gè)人的行程關(guān)系。對(duì)于行程關(guān)系，我們前面已經(jīng)說過了，除了有相遇與追及之外，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)，超越與背向而行產(chǎn)生距離。超越的關(guān)系：路程公式：（快速慢速）×超越的時(shí)間=拉開的距離會(huì)發(fā)現(xiàn)，超越與追及的公式一樣，因此可以把它們歸為一類。背向而行產(chǎn)生距離：公式：（快速慢速）×相遇時(shí)間=兩個(gè)人產(chǎn)生的距離會(huì)發(fā)現(xiàn)，背向而行產(chǎn)生距離與相遇的公式一樣，因此可以把它們歸為一類。例題解析1、從甲市到乙市有一條公路，它分為三段。在第一段上，汽車速度是每小時(shí)40千米，在第二段上，汽車速度是每小時(shí)90千米，在第三段上，汽車速度是每小時(shí)50千米。已知第一段公路的長恰好是第三段的2倍?，F(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙

19、兩市同時(shí)出發(fā)，相向而行，1小時(shí)20分后，在第二段的1/3處（從甲到乙方向的1/3處）相遇。問：甲、乙相距多少千米.2、當(dāng)兩只小狗剛走完鐵橋長的1/3時(shí)，一列火車從后面開來，一只狗向后跑，跑到橋頭B時(shí)，火車剛好到達(dá)B；另一只狗向前跑，跑到橋頭A時(shí)，火車也正好跑到A，兩只小狗的速度是每秒6米，問火車的速度是多少.3、小明沿著向上移動(dòng)的自動(dòng)扶梯從頂向下走到底，他走了150級(jí)，他的同學(xué)小剛沿著自動(dòng)扶梯從底向上走到頂，走了75級(jí)，如果小明行走的速度是小剛的3倍，那么可以看到的自動(dòng)撫梯的級(jí)數(shù)是多少.4、一輛車從甲地開往乙地，如果把車速提高20，可以比原定時(shí)間提前一小時(shí)到達(dá)；如果以原速行駛120千米后，再將原速提高25，則可提前40分鐘到達(dá)，求甲乙兩地相距多少千米.5、 一只狗追趕一只兔子，狗跳躍6次的時(shí)間，兔只能跳躍5次，狗跳躍4次的距離和兔跳躍7次的距離相同，兔跑了5.5千米以后狗開始在后面追，兔又跑了多遠(yuǎn)被狗追上。6、三種動(dòng)物賽跑，狐貍的速度是兔子的4/5，兔子的速度是松鼠的2倍，一分鐘