1、精品文檔鋼琴的銷售存儲策略背景與問題像鋼琴這樣的奢飾品銷售量很小， 商店里一般不會有很多的庫存， 讓他的積壓資金。 一家商店根據(jù)以往的經驗， 平均每周銷售出 1 架鋼琴， 現(xiàn)在經理制定的策略是， 每周周末檢查庫存量，當庫存量為 0 或 1 時，使下周的庫存量達到 3 架；否則不訂購。建立馬氏鏈模型，計算穩(wěn)態(tài)下失去銷售機會的概率和每周的平均銷售量訂購。問題分析對于鋼琴這種商品的銷售，顧客的到來時相互獨立的，在服務體系中通常認為需求量近似的服從泊松分布，其參數(shù)值可以由均值為每周銷售1 架鋼琴得到， 由此可以推算出不同需求量的概率，周末的庫存量可能是0,1,2,3（架），而周初的庫存量只能是2 和

2、3 這兩種狀態(tài)，每周不同的需求量將導致周初庫存的變化，于是可以用馬氏鏈模型來描述這個過程，當需求量超過庫存量的時候就會失去銷售機會，可以計算這種情況下發(fā)生的概率。在動態(tài)過程中，這個概率每周是不同的， 每周的銷售量也是不同的， 通常采用的辦法是在時間充分長以后，按穩(wěn)定態(tài)情況進行分析和計算失去銷售機會的概率和每周的平均銷售量。模型假設1. 鋼琴每周的需求量服從泊松分布，均值為1 架。2.存儲策略：當周末庫存量為0 或 1 時，訂購，是下周庫存達到3 架，周初到貨；否則，不訂購。3. 以每個周期的不存量作為狀態(tài)變量，狀態(tài)轉移具有無后性。4. 在穩(wěn)態(tài)情況下計算該存儲策略失去銷售機會的概率，和每周的平均

3、銷售量。符號說明Dn ：第 n 周的需求量Sn ：第 n 周初的庫存量P ：狀態(tài)轉移矩陣ai (n) : 狀態(tài)概率：穩(wěn)態(tài)概率分布Rn ：第 n 周的平均銷售量。1 歡迎下載精品文檔模型建立根據(jù)鋼琴每周的需求量服從泊松分布，均值為1 架即， Dn 服從均值為1 的泊松分布，即P(D nk)eke 1(k0,1,2, )k!k!分別令 k0, k1, k2, k3 ，求出相應的概率P( D n )（D n）e 10.3679P（D n） e 10.3679P00!11!（D n）e 10.1839P（D n） e 10.0613P22!33!P（ D n3） 0.0190第 n 周初的庫存量 Sn

4、 ， Sn2,3 是這個系統(tǒng)的狀態(tài)變量。由于存儲策略：當周末庫存量為 0 或 1 時，訂購，是下周庫存達到3 架，周初到貨；否則，不訂購，則狀態(tài)轉移規(guī)律為：Sn 1SnDn ,Dn1Sn3,Dn1Sn由此計算狀態(tài)轉移矩陣p11P( Sn12 | Sn2)P( D n0)0.3679p12P(Sn13 | Sn2)P( D n1)0.6321p21P(Sn 12 | Sn3)P( D n1)0.3679p22P(Sn 13 | Sn3)P( D n2)P(D n0)0.6321p11p120.36790.6321狀態(tài)轉移矩陣 Pp220.36790.6321p21根據(jù)定理，若馬氏鏈的轉移矩陣為P

5、 ，則它是正則鏈的充要條件是，存在正整數(shù)N ，使得PN0 ( 即 PN 中的每一個元素都大于 0)對于矩陣 P0.36790.6321可知這是一個正則鏈，具有穩(wěn)態(tài)概率分布0.36790.6321則穩(wěn)態(tài)概率分布滿足P。2 歡迎下載精品文檔1 0.3679 1帶入得到20.6321 11210.36790.632122解得方程組得到10.36790.63212進而（ 12）（0.36790.6321）n，狀態(tài)概率ni)(0.36790.6321)a(n) P(S該存儲策略（第 n 周）失去機會的概率為P(D nSn ) 按照全概率公式有3P( D nSn )P(D n i | Sni )P( Sn

6、i )i2其中， i2 時， P( Dn2 | Sn2)0.0803i3時， P(D n3 | Sn3)0.0190P( D nSn） 0.08030.3679 0.0190 0.6321 0.0416即從長期來看，失去銷售機會的可能性大約為10% 。在計算該存儲策略（第n 周）的平均銷售量Rn 時，應該注意到當需求超過存儲量時只能銷售掉存量，于是3i 1RnjP ( Dnj | Sni )iP( Dni | Sn）i )i P( Sni 2 j 1當 i2時，1P(D n 1| Sn2)2 P( D n2 | Sn2） 0.8963當 i 3 時，1P(D n 1| Sn 3)2 P( D

7、n2 | Sn3) 3 P(D n 3 | Sn 3） 0.9766Rn0.86390.36790.97660.63210.9471即從長期來看，每周的平均銷售量為0.9741架。敏感性分析這個模型用到的唯一一個原始數(shù)據(jù)是平均每天售出1架鋼琴，根據(jù)上面求出的結果，發(fā)現(xiàn)這個數(shù)值會有波動，為了計算當平均需求字在1附近波動時，最終結果有多大變化，。3 歡迎下載精品文檔因此，設 D n 服從均值為的泊松分布即有kP( D nk) ek!(k0,1,2,)有此得到的狀態(tài)矩陣為e1eP1ee（ e1e）31 21 3 )1 e 2P( D nSn )P( D ni | Sni)P( Sni ) 1 - e (1i2266對于不同的需求值（在 1附近波動），按照上面的計算過程，可以得到下面的結果：0.80.91.01 11.2P( D nSn )0.04270.04100.04160.04420.0489因此，當平均需求增長 （或減少） 10% 時，失去銷售的機會的概率將增加 （或減少）約 1.46% ，因此在這個范圍內變化，還是可以接受的。參考文獻1 姜啟源 . 數(shù)學建模 M. 北京：