1、機(jī)器人動(dòng)力學(xué)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)Dynamics of Robotics研究機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)特性與力的關(guān)系。有兩類(lèi)問(wèn)題：動(dòng)力學(xué)正問(wèn)題：各關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)力（或力矩），求解機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)（關(guān)節(jié)位移、速度和加速度），主要用于機(jī)器人的仿真。動(dòng)力學(xué)逆問(wèn)題：已知機(jī)器人關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求解所需要的關(guān)節(jié)力（或力矩），是實(shí)時(shí)控制的需要。機(jī)器人動(dòng)力學(xué)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)Dynamics of Robotics5.1 5.1 工業(yè)機(jī)器人速度分析工業(yè)機(jī)器人速度分析5.2 5.2 工業(yè)機(jī)器人靜力分析工業(yè)機(jī)器人靜力分析5.3 5.3 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程5.1 工業(yè)機(jī)器人速度分析工業(yè)機(jī)器人速度分析5.1.1雅可比矩陣雅可比矩

2、陣 兩空間之間速度的兩空間之間速度的線(xiàn)性映射關(guān)系線(xiàn)性映射關(guān)系雅可比矩陣（簡(jiǎn)稱(chēng)雅可雅可比矩陣（簡(jiǎn)稱(chēng)雅可比）。它可以看成是從關(guān)節(jié)空間到操作空間運(yùn)動(dòng)速度的比）。它可以看成是從關(guān)節(jié)空間到操作空間運(yùn)動(dòng)速度的傳動(dòng)比傳動(dòng)比，同時(shí)也可用來(lái)表示兩空間之間同時(shí)也可用來(lái)表示兩空間之間力的傳遞關(guān)系。力的傳遞關(guān)系。vxvy12),(21),(yx存在存在怎樣怎樣的關(guān)的關(guān)系系 首先來(lái)看一個(gè)兩自由度的首先來(lái)看一個(gè)兩自由度的平面機(jī)械手，如圖平面機(jī)械手，如圖5-1所示。所示。圖圖5-1 兩自由度平面機(jī)械手兩自由度平面機(jī)械手 容易求得容易求得將其微分得將其微分得寫(xiě)成矩陣形式寫(xiě)成矩陣形式1221112211slslyclclx21

3、1221221112212211ddclclclslslsldydx簡(jiǎn)寫(xiě)成簡(jiǎn)寫(xiě)成 ： dx=Jd。式中式中J就稱(chēng)為機(jī)械手的雅可比（就稱(chēng)為機(jī)械手的雅可比（Jacobian）矩陣矩陣，反映了關(guān)節(jié)，反映了關(guān)節(jié)空間微小運(yùn)動(dòng)空間微小運(yùn)動(dòng)d與手部（手爪）作業(yè)空間微小位移與手部（手爪）作業(yè)空間微小位移dx之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 機(jī)器人末端在操作空間的位置和方位可用末端手爪的位姿機(jī)器人末端在操作空間的位置和方位可用末端手爪的位姿X X表表示，是關(guān)節(jié)變量的函數(shù)示，是關(guān)節(jié)變量的函數(shù) 是是n n個(gè)關(guān)節(jié)變量的函數(shù)個(gè)關(guān)節(jié)變量的函數(shù)，可寫(xiě)成：，可寫(xiě)成： ，并且是一個(gè)，并且是一個(gè)6 6維列矢量。維列矢量。 反映了操作空間

4、的微小運(yùn)動(dòng)，由機(jī)器人末端微小線(xiàn)位移和微小反映了操作空間的微小運(yùn)動(dòng)，由機(jī)器人末端微小線(xiàn)位移和微小角位移角位移( (微小轉(zhuǎn)動(dòng)微小轉(zhuǎn)動(dòng)) )組成?？蓪?xiě)為組成?？蓪?xiě)為 式中：式中： 是是6 6n n的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱(chēng)為的偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱(chēng)為n n自由度機(jī)器人速度雅可自由度機(jī)器人速度雅可比矩陣。比矩陣。TzyxzyxX,)(qXX TzyxdZdYdXdX,dqqJdX)()(qJdtdqqJdtdX)(qqJv)( l l 或其中其中:v:v機(jī)器人手部在操作空間中的廣義速度，機(jī)器人手部在操作空間中的廣義速度， (q)(q)速度雅可比矩陣速度雅可比矩陣 機(jī)器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的速度機(jī)器人關(guān)節(jié)在關(guān)節(jié)空間中的速度

5、 從上式可以看出，對(duì)于給定的關(guān)節(jié)變量從上式可以看出，對(duì)于給定的關(guān)節(jié)變量q q，雅可雅可比矩陣是從關(guān)節(jié)空間的關(guān)節(jié)速度向操作空間的廣義比矩陣是從關(guān)節(jié)空間的關(guān)節(jié)速度向操作空間的廣義速度映射的線(xiàn)性變換。速度映射的線(xiàn)性變換。Xvq 5.1.25.1.2機(jī)器人速度分析機(jī)器人速度分析 若令若令J1，J2 分別為上例中雅可比矩陣的第一列矢量和第二分別為上例中雅可比矩陣的第一列矢量和第二列矢量，即列矢量，即由上式可知，由上式可知， 分別是由分別是由 產(chǎn)生的手部速度的分量。產(chǎn)生的手部速度的分量。而而J J1 1是在是在 時(shí)，也就是第二個(gè)關(guān)節(jié)固定時(shí)，僅在第一個(gè)關(guān)節(jié)時(shí)，也就是第二個(gè)關(guān)節(jié)固定時(shí)，僅在第一個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況

6、下，手部平移速度在基礎(chǔ)坐標(biāo)系上表示出的向量。轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，手部平移速度在基礎(chǔ)坐標(biāo)系上表示出的向量。同樣，同樣，J J2 2是第一關(guān)節(jié)固定時(shí)，僅在第二關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，手部是第一關(guān)節(jié)固定時(shí)，僅在第二關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，手部平移速度在基礎(chǔ)坐標(biāo)系上表示出的向量。平移速度在基礎(chǔ)坐標(biāo)系上表示出的向量。2121JJx2211JJ和21和02 因此，機(jī)器人速度雅可比的每一列表示其它關(guān)節(jié)不動(dòng)而某一關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的端點(diǎn)速度。例例5-15-1如圖所示二自由度機(jī)械手，手部沿固定坐標(biāo)系如圖所示二自由度機(jī)械手，手部沿固定坐標(biāo)系XoXo軸正向以軸正向以1.0 m/s1.0 m/s速度移動(dòng)，桿長(zhǎng)為速度移動(dòng)，桿長(zhǎng)為 。設(shè)在某瞬時(shí)

7、。設(shè)在某瞬時(shí) 求相應(yīng)瞬時(shí)的關(guān)節(jié)速度。求相應(yīng)瞬時(shí)的關(guān)節(jié)速度。 mll5 . 02160,3021圖圖5-1 兩自由度平面兩自由度平面機(jī)械手機(jī)械手 1221221112212211clclclslslslJ122111221112212222111slslclclslclsllJvJ1Tv0 , 1 011122111221112212222121slslclclslclsll 相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度：相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度：因此，在該瞬時(shí)兩個(gè)節(jié)的位置分別為速度分別為 ，手部瞬時(shí)速度為1m/s。60,3021sradsrad/4,/221因此因此, ,逆雅可比矩陣逆雅可比矩陣矩陣矩陣 A可逆可逆 且且 A可逆時(shí)，

8、可逆時(shí)， n階方陣階方陣A可逆的充分必要條件是可逆的充分必要條件是A為非奇異矩陣，為非奇異矩陣，而且而且 0A1*1AAA 對(duì)于關(guān)節(jié)空間的某些形位，機(jī)械手的雅可比矩陣的秩減少，對(duì)于關(guān)節(jié)空間的某些形位，機(jī)械手的雅可比矩陣的秩減少，這些形位稱(chēng)為操作臂（機(jī)械手）的奇異形位。這些形位稱(chēng)為操作臂（機(jī)械手）的奇異形位。 當(dāng)當(dāng)2=0或或2=180時(shí)，機(jī)械時(shí)，機(jī)械手的雅可比行列式為手的雅可比行列式為0，矩陣的秩，矩陣的秩為為1，因此處于奇異狀態(tài)。在奇異，因此處于奇異狀態(tài)。在奇異形位時(shí)，形位時(shí)，機(jī)械手在操作空間的自由機(jī)械手在操作空間的自由度將減少。度將減少。l 奇異位形：奇異位形：由于雅可比矩陣由于雅可比矩陣J

9、(q)J(q)是關(guān)節(jié)變量是關(guān)節(jié)變量q q的函數(shù)的函數(shù), ,總會(huì)存在一些位形總會(huì)存在一些位形, ,在這些位形處在這些位形處, ,|J(q)|=0|J(q)|=0, ,即即J(q)J(q)為奇為奇異矩陣異矩陣, ,這些位形就叫奇異位形。這些位形就叫奇異位形。一般，奇異位形有兩種類(lèi)型：一般，奇異位形有兩種類(lèi)型：l 工作域邊界上的奇異：工作域邊界上的奇異：這種奇異位形出現(xiàn)在機(jī)器人這種奇異位形出現(xiàn)在機(jī)器人的機(jī)械手于工作區(qū)的邊界上時(shí)，也就是在機(jī)器人手的機(jī)械手于工作區(qū)的邊界上時(shí)，也就是在機(jī)器人手臂全部展開(kāi)或全部折回時(shí)出現(xiàn)。這種奇異位形并不臂全部展開(kāi)或全部折回時(shí)出現(xiàn)。這種奇異位形并不是特別嚴(yán)重，只要機(jī)器人末端

10、執(zhí)行器遠(yuǎn)離工作區(qū)邊是特別嚴(yán)重，只要機(jī)器人末端執(zhí)行器遠(yuǎn)離工作區(qū)邊界即可。界即可。l 工作域內(nèi)部奇異：工作域內(nèi)部奇異：這種奇異位形出現(xiàn)在兩個(gè)或多個(gè)這種奇異位形出現(xiàn)在兩個(gè)或多個(gè)關(guān)節(jié)軸線(xiàn)重合時(shí)，這種奇異位形很難處理，因?yàn)樗P(guān)節(jié)軸線(xiàn)重合時(shí)，這種奇異位形很難處理，因?yàn)樗赡艹霈F(xiàn)在工作區(qū)的任何位置，并且機(jī)器人的末端可能出現(xiàn)在工作區(qū)的任何位置，并且機(jī)器人的末端執(zhí)行器在這種奇異位形附近的可操作性會(huì)變壞，這執(zhí)行器在這種奇異位形附近的可操作性會(huì)變壞，這樣極大的減少了機(jī)器人的可行區(qū)。樣極大的減少了機(jī)器人的可行區(qū)。 對(duì)機(jī)器人通過(guò)奇異位形時(shí)軌跡控制方法的研究可以大致對(duì)機(jī)器人通過(guò)奇異位形時(shí)軌跡控制方法的研究可以大致分為如下

11、四種方法分為如下四種方法: :1)1)回避機(jī)器人操作器的奇異位形回避機(jī)器人操作器的奇異位形 預(yù)測(cè)奇異位形的可能出現(xiàn)位置預(yù)測(cè)奇異位形的可能出現(xiàn)位置, ,并避免它。理論上對(duì)給并避免它。理論上對(duì)給定的機(jī)器人操作器只要令其雅可比行列式的值等于零，即可定的機(jī)器人操作器只要令其雅可比行列式的值等于零，即可找到它的奇異位形。找到它的奇異位形。2)2)根據(jù)機(jī)構(gòu)的各向同性原理設(shè)計(jì)機(jī)器人操作器根據(jù)機(jī)構(gòu)的各向同性原理設(shè)計(jì)機(jī)器人操作器 通過(guò)設(shè)計(jì)上的優(yōu)化，能使得機(jī)器人機(jī)構(gòu)在一個(gè)比較大的通過(guò)設(shè)計(jì)上的優(yōu)化，能使得機(jī)器人機(jī)構(gòu)在一個(gè)比較大的區(qū)域內(nèi)保持各向同性，即在各個(gè)方向的可能誤差和施加的力區(qū)域內(nèi)保持各向同性，即在各個(gè)方向的可

12、能誤差和施加的力都是相同的。都是相同的。3)3)利用降秩雅可比矩陣求近似反解利用降秩雅可比矩陣求近似反解 在奇異位形附近利用矩陣論中的在奇異位形附近利用矩陣論中的偽逆矩陣?yán)碚搨文婢仃嚴(yán)碚?，通過(guò)定，通過(guò)定義一種偽逆雅可比矩陣，將雅可比矩陣降秩處理，求解近似義一種偽逆雅可比矩陣，將雅可比矩陣降秩處理，求解近似反解。反解。4)4)利用具有冗余度的機(jī)器人操作器利用具有冗余度的機(jī)器人操作器 使機(jī)器人通過(guò)奇異位形時(shí)給機(jī)械臂增加多余的關(guān)節(jié)。使機(jī)器人通過(guò)奇異位形時(shí)給機(jī)械臂增加多余的關(guān)節(jié)。定義：設(shè)定義：設(shè) ，若，若 ，且同時(shí)有，且同時(shí)有 則稱(chēng)則稱(chēng) A A+ + 是是A A的偽逆矩陣。的偽逆矩陣。m nACn m

13、AC,(),()HHAA AAA AAAAAAAA AA A5.2 機(jī)器人的靜力學(xué)機(jī)器人的靜力學(xué)y0 x012TyxFFF,0),(21存在怎樣的關(guān)系存在怎樣的關(guān)系用矢量用矢量 來(lái)標(biāo)記力，用來(lái)標(biāo)記力，用 表示對(duì)于所定義坐標(biāo)系各軸表示對(duì)于所定義坐標(biāo)系各軸x,y,zx,y,z的分力。用矢量的分力。用矢量 來(lái)標(biāo)記力矩，以來(lái)標(biāo)記力矩，以 表示作用于任何表示作用于任何定義的坐標(biāo)系（而不是基坐標(biāo)）各軸的分力矩。定義的坐標(biāo)系（而不是基坐標(biāo)）各軸的分力矩。fzyxfff,zyx,zyxzyxfffF),(f5.2.15.2.1靜力和靜力矩的表示靜力和靜力矩的表示5.2.2 虛功原理虛功原理虛功原理虛功原理：約

14、束力約束力不做功的力學(xué)系統(tǒng)，若在某一位不做功的力學(xué)系統(tǒng)，若在某一位置已處于靜止?fàn)顟B(tài)，則其能夠保持靜止的必要與置已處于靜止?fàn)顟B(tài)，則其能夠保持靜止的必要與充分條件是，所有主動(dòng)力在該位置的任意充分條件是，所有主動(dòng)力在該位置的任意虛位移虛位移上所作的虛功之和等于零。上所作的虛功之和等于零。已知作用在杠桿一端的力已知作用在杠桿一端的力 ，試用虛功原理求作用，試用虛功原理求作用于另一端的力于另一端的力 。設(shè)桿長(zhǎng)為。設(shè)桿長(zhǎng)為 已知。已知。杠桿及作用在它兩端上的力 AFBFBALL,0BBAAxFxFABABFLLFl 對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，限制系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的各種條對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，限制系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的各種條件

15、就是系統(tǒng)的約束，而約束力是使系統(tǒng)動(dòng)作受到制件就是系統(tǒng)的約束，而約束力是使系統(tǒng)動(dòng)作受到制約的力。約的力。l 另一個(gè)概念就是虛位移，這里所說(shuō)的虛位移是描述另一個(gè)概念就是虛位移，這里所說(shuō)的虛位移是描述作為對(duì)象的系統(tǒng)力學(xué)結(jié)構(gòu)的位移，也就是當(dāng)系統(tǒng)的作為對(duì)象的系統(tǒng)力學(xué)結(jié)構(gòu)的位移，也就是當(dāng)系統(tǒng)的質(zhì)點(diǎn)位于某個(gè)位置的時(shí)候，為約束所允許的可能實(shí)質(zhì)點(diǎn)位于某個(gè)位置的時(shí)候，為約束所允許的可能實(shí)現(xiàn)的任何無(wú)限小的位移，具有：現(xiàn)的任何無(wú)限小的位移，具有：無(wú)限小性質(zhì)不無(wú)限小性質(zhì)不破壞約束與是否發(fā)生實(shí)際運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)，不同于隨時(shí)破壞約束與是否發(fā)生實(shí)際運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)，不同于隨時(shí)間一起產(chǎn)生的實(shí)際位移，間一起產(chǎn)生的實(shí)際位移，為此用為此用“虛虛”一

16、詞來(lái)表示。一詞來(lái)表示。虛位移在數(shù)學(xué)上用變分符號(hào)虛位移在數(shù)學(xué)上用變分符號(hào)表示，實(shí)位移在數(shù)學(xué)表示，實(shí)位移在數(shù)學(xué)上用微分符號(hào)上用微分符號(hào)d d表示。表示。5.2.3機(jī)器人靜力關(guān)系式的推導(dǎo)機(jī)器人靜力關(guān)系式的推導(dǎo)可用虛功原理證明?？捎锰摴υ碜C明。以圖所示的二自由度機(jī)械手為研究對(duì)象，要產(chǎn)生圖以圖所示的二自由度機(jī)械手為研究對(duì)象，要產(chǎn)生圖所示的虛位移，推導(dǎo)出圖所示的虛位移，推導(dǎo)出圖b b所示各力之間的關(guān)系。所示各力之間的關(guān)系。證明: 假設(shè)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力手爪力關(guān)節(jié)的虛位移手爪的虛位移,.,.,F,.,.,11111111nmnmTnTmTnTmRRRRffXXX如果施加在機(jī)械手上的力為如果施加在機(jī)械手上的力為F

17、F，以機(jī)械手，以機(jī)械手為研究對(duì)象，這個(gè)力成為手爪力的反力（為研究對(duì)象，這個(gè)力成為手爪力的反力（- -F F來(lái)表示）時(shí)，機(jī)械手的虛功可表示為：來(lái)表示）時(shí)，機(jī)械手的虛功可表示為：XFWTT)(應(yīng)用虛功原理，則可得到：應(yīng)用虛功原理，則可得到： 手爪的虛位移手爪的虛位移 和關(guān)節(jié)虛位移和關(guān)節(jié)虛位移 之間的關(guān)系，用雅克比矩陣表之間的關(guān)系，用雅克比矩陣表示為示為 可得：可得：由于這一公式對(duì)任意的由于這一公式對(duì)任意的 都成立，因此都成立，因此機(jī)械手靜力學(xué)關(guān)系式：機(jī)械手靜力學(xué)關(guān)系式：式中，式中， 廣義關(guān)節(jié)力矩，廣義關(guān)節(jié)力矩，F(xiàn)F機(jī)器人手部端點(diǎn)力機(jī)器人手部端點(diǎn)力， 與手與手部端點(diǎn)力和廣義關(guān)節(jié)力矩之間力傳遞有關(guān)，稱(chēng)

18、為部端點(diǎn)力和廣義關(guān)節(jié)力矩之間力傳遞有關(guān)，稱(chēng)為機(jī)器人力雅機(jī)器人力雅可比。機(jī)器人力雅可比正好是速度雅可比的轉(zhuǎn)置。可比。機(jī)器人力雅可比正好是速度雅可比的轉(zhuǎn)置。0)(XFTTXJX 0)(JFTT0JFTTFJTTJ 若若J是是關(guān)節(jié)空間關(guān)節(jié)空間向向操作空間操作空間的映射（微分運(yùn)動(dòng)矢量），則的映射（微分運(yùn)動(dòng)矢量），則 把把操作空間的廣義力矢量操作空間的廣義力矢量映射到映射到關(guān)節(jié)空間的關(guān)節(jié)力矢量關(guān)節(jié)空間的關(guān)節(jié)力矢量。關(guān)節(jié)空間關(guān)節(jié)空間操作空間操作空間雅可比雅可比J力雅可比力雅可比JTl 上式表明關(guān)節(jié)的力可由手坐標(biāo)系中期望的力和力矩上式表明關(guān)節(jié)的力可由手坐標(biāo)系中期望的力和力矩決定。由于前面對(duì)速度的分析已得知速

19、度雅可比矩決定。由于前面對(duì)速度的分析已得知速度雅可比矩陣，所以控制器可根據(jù)手坐標(biāo)系中的期望值計(jì)算關(guān)陣，所以控制器可根據(jù)手坐標(biāo)系中的期望值計(jì)算關(guān)節(jié)力和力矩，并對(duì)機(jī)器人進(jìn)行控制。顯然，隨著機(jī)節(jié)力和力矩，并對(duì)機(jī)器人進(jìn)行控制。顯然，隨著機(jī)器人構(gòu)型的變化，雅可比矩陣也隨之發(fā)生變化。因器人構(gòu)型的變化，雅可比矩陣也隨之發(fā)生變化。因此當(dāng)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)械手在不斷的對(duì)工件進(jìn)此當(dāng)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)械手在不斷的對(duì)工件進(jìn)行操作，為了使機(jī)械手能夠持續(xù)施加同樣的力，關(guān)行操作，為了使機(jī)械手能夠持續(xù)施加同樣的力，關(guān)節(jié)處的力矩也要隨之發(fā)生變化，這時(shí)需要控制器根節(jié)處的力矩也要隨之發(fā)生變化，這時(shí)需要控制器根據(jù)這個(gè)關(guān)系式不斷的

20、計(jì)算所需的關(guān)節(jié)力矩。據(jù)這個(gè)關(guān)系式不斷的計(jì)算所需的關(guān)節(jié)力矩。l 從操作臂手部端點(diǎn)力從操作臂手部端點(diǎn)力F F與廣義關(guān)節(jié)力矩與廣義關(guān)節(jié)力矩 之間的關(guān)系之間的關(guān)系式式 可知，操作臂靜力計(jì)算可分為兩類(lèi)：可知，操作臂靜力計(jì)算可分為兩類(lèi)：l 已知外界對(duì)手部作用力已知外界對(duì)手部作用力F F，求滿(mǎn)足靜力平衡條件的，求滿(mǎn)足靜力平衡條件的關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩（關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩（ ）l 已知關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩已知關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力矩 ，確定機(jī)器人手部對(duì)外界環(huán)，確定機(jī)器人手部對(duì)外界環(huán)境的作用力境的作用力F F或負(fù)荷質(zhì)量（逆解，即解或負(fù)荷質(zhì)量（逆解，即解 ）當(dāng)自由度當(dāng)自由度n6n6時(shí)，力雅可比可能不是方陣，沒(méi)有逆解，時(shí)，力雅可比可能不是方陣，沒(méi)有

21、逆解，一般情況下不一定能得到唯一的解。一般情況下不一定能得到唯一的解。FJTFJT)(1TJF例例3 3：一個(gè)：一個(gè)6 6自由度機(jī)器人的雅可比矩陣數(shù)值如下。為了在部件自由度機(jī)器人的雅可比矩陣數(shù)值如下。為了在部件上鉆孔，希望沿手坐標(biāo)系上鉆孔，希望沿手坐標(biāo)系Z Z軸產(chǎn)生軸產(chǎn)生1N1N的力，并對(duì)于的力，并對(duì)于Z Z軸產(chǎn)生軸產(chǎn)生20N/m20N/m的力矩，求需要的關(guān)節(jié)力和力矩。的力矩，求需要的關(guān)節(jié)力和力矩。解： 10000100100001001000002000001050000020JFJT200002020200010010000000100001000000001000120001000520

22、654321解：解：由前面的推導(dǎo)知由前面的推導(dǎo)知例例 2 2: :由圖所示的一個(gè)二自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)械手，已知手部端點(diǎn)由圖所示的一個(gè)二自由度平面關(guān)節(jié)機(jī)械手，已知手部端點(diǎn)力力 ，忽略摩擦，求，忽略摩擦，求 時(shí)的關(guān)節(jié)力矩。時(shí)的關(guān)節(jié)力矩。所以得：所以得：圖圖3-18 關(guān)節(jié)力和操作力關(guān)系關(guān)節(jié)力和操作力關(guān)系y0 x012TyxFFF,01221221112212211clclclslslslJFJTYXFFclslclclslsl122122122111221121根據(jù)根據(jù)1221221221112211clslclclslslJTTYXFFF,90021、所以所以YXFclclFslsl)()(1221

23、1122111YXFclFsl1221222在某一瞬時(shí)在某一瞬時(shí) , ,則與手部端點(diǎn)力相對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)力則與手部端點(diǎn)力相對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)力矩為矩為90021、YXFlFl121XFl225.2.45.2.4運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的關(guān)系運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的關(guān)系xxx , ,F運(yùn)動(dòng)學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)靜力學(xué)靜力學(xué)Robotics 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)5.3 5.3 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析5.3.1拉格朗日方程Lagrange方程 i=1，2，3，.,n 系統(tǒng)選定的廣義坐標(biāo)（動(dòng)能和勢(shì)能的坐標(biāo)）系統(tǒng)選定的廣義坐標(biāo)（動(dòng)能和勢(shì)能的坐標(biāo)） 廣義坐標(biāo)廣義坐標(biāo) 對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù) 廣義力廣義力, ,作

24、用在第作用在第i i個(gè)坐標(biāo)上的力或力矩個(gè)坐標(biāo)上的力或力矩 n n為連桿數(shù)目為連桿數(shù)目iiiqLqLdtdFiqiq iqiFRobotics 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)5.3.1拉格朗日方程兩桿機(jī)器人如圖。對(duì)連桿1：對(duì)連桿2：2222222,21ymgPvmK21211121lmK 1111cosglmPl1l2Robotics 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)5.3.1拉格朗日方程二桿動(dòng)能和勢(shì)能分別為：)sin(sin212112llx)cos(cos212112lly)(cos(cos212121112llx)(sin(sin212121112lly)(cos2)2(2121221222121222121222222lll

25、lyxv)(cos)2(212121212212222121222212122l lmlmlmK)cos(cos21221122glmglmPl1l2Robotics 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)5.3.1拉格朗日方程系統(tǒng)的總動(dòng)能和勢(shì)能及拉格朗日函數(shù)分別為：分別求得注意：這里只求顯因變量的偏導(dǎo)數(shù)PKLPPPKKK2121222111LdtdLLLdtdLL)cos(cos)()(cos)2(21)(212122112121212212222121222212121glmglmml lmlmlmmPKL222121221222221222121211coscos2)(llmllmlmlmlmmL22221221

26、2212222122221221222221211sinsin2)cos(cos2)()( llmllmllmlmllmlmlmmLdtd)sin(sin)(212211211glmglmmL)sin(sin)(sinsin2)cos(cos2)(21221121222212212212222122221221222221211glmglmml lml lml lmlml lmlmlmmT )cos(cos)()(cos)2(21)(212122112121212212222121222212121glmglmml lmlmlmmPKL12212222212222cosllmlmlmL2122

27、1212212222212222sincos)( llmllmlmlmLdtd)sin(sinsin21222122122122122glmllmllmL)sin(sin)cos(21222122122222122122222glmllmlmllmlmT Robotics 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)5.3.1拉格朗日方程 寫(xiě)成矩陣有：寫(xiě)成矩陣有： 慣性力慣性力 向心力向心力 哥式力哥式力 重力重力2112212212121211122221222211122111212221121121DDDDDDDDDDDDDDTT 5.3.2牛頓-歐拉法l l 式中 等的含義與拉格朗日法的一樣；i為連桿代號(hào)，n為連桿數(shù)目 iiiiiqPqDqKqKdtdqWni,.,2 , 1 iqW、和、DK 牛頓-歐拉法求解動(dòng)力學(xué)方程首先求取動(dòng)能K, 位能P, 消耗能D, 外力作的功Wv 動(dòng)能KRobotics 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué)jllilljlilrrjliljlilrr)sin(sin)cos(cos)sin()cos(sincossincos2121121211212212121111111101jllilldtrdvjl