1、宏觀學教師：張延學院2012年5月21日2012-5-21 中宏（28）1中宏講義，張延著。所有時間6月11日周一下午題目類型（見網(wǎng)上模擬試卷）單項選擇、作圖、計算、問答。2012-5-21 中宏（28）2中宏講義，張延著。所有9.3索洛模型的動態(tài)學動態(tài)學 就是考慮變量（ k ）隨著時間的變動有無趨向均衡的趨勢？均衡是否存在？是否穩(wěn)定？在均衡的路徑上存在哪些現(xiàn)象？2012-5-21 中宏（28）3中宏講義，張延著。所有 一、k 的動態(tài)學 均衡的存在性1、均衡的定義三種投入品中的兩個，即勞動和知識的變動是外生的。這樣，為描述該的行為特征，我們必須分析第三個投入品即的行為。2012-5-21 中宏

2、（28）4中宏講義，張延著。所有（1）求均衡解的方法之一 鏈式法由于可能隨時間增長，那么著重考慮每存量k 而非有效勞動的平均調(diào)整的存量K 就較為方便了。由于k = KAL，用鏈式法則可得。鏈式法即，由于k是K、L和A的一個函數(shù)，其中每一個 又是t的函數(shù)，那么存在：tA、K、Lk2012-5-21 中宏（28）5中宏講義，張延著。所有¶ k¶ t(¶ k¶ K)(dKdt) + ( ¶ k¶ L)(dLdt) +(¶ k¶ A)(dAdt)=隱函數(shù)求導法( ¶ k¶ K )K +( ¶

3、k¶ L )Lk =( ¶ k¶ A )A中宏講義，張延著。+ 鏈式法則2012-5-21 中宏（28）6所有 （2）求均衡解的方法之二 定式法k = KAL兩邊取ln，得到： lnk = lnK lnL lnA兩邊對t求導，得到：( 1k)(dkdt)( 1K)(dKdt) (1L)(dLdt)- ( 1A)(dAdt)=即： kk = KK LL AA2012-5-21 中宏（28）7中宏講義，張延著。所有一個變量的增長率指的是其變動率：XX 。易于證實：兩變量之積的增長率等于其增長率之和 定式1( X1 X2 )( X1 X2 )X1 X1X2 X2=+20

4、12-5-21中宏（28）8中宏講義，張延著。所有兩個變量之比的增長率等于其增長率之差 定式 2(X1X2)(X1 X2)=X1 X1X2 X22012-5-21中宏（28）9中宏講義，張延著。所有根據(jù)已知條件：K= s Y - KLL = n ； AA= gk k=KK LL AA( s Y K )K=n gs Y K= n g2012-5-21中宏（28）10中宏講義，張延著。所有 k=( sYK n g ) k s ( YAL)(KAL) k= ( n + g +)k s yk k= ( n + g +) k=s f(k) ( n + g +) k2012-5-21中宏（28）11中宏講

5、義，張延著。所有根據(jù)均衡的定義，均衡是對立的、變動著的變量處于一種力量相當、相對靜止、不再變動的境界。均衡是一種不再變動的境界。如果均衡存在，應該有：k = d kd t = 0k= s f(k) (n+g+)k = 0(1.13)方程(1.13)是索洛模型的關鍵方程。2012-5-21中宏（28）12中宏講義，張延著。所有是否必定存在一個k 滿足方程(1.13)s f(k) (n+g+)k = 0以Cobb Douglas 生產(chǎn)函數(shù)為例：f(k)= k a0 a 1很難：s k a (n+g+)k = 0是否一定有解。2012-5-21中宏（28）13中宏講義，張延著。所有2、均衡的存在性怎

6、么辦？把方程(1.13)變形為：s f(k) = ( n + g +)k方程兩邊都是k 的函數(shù)，分別從等式的兩邊看：2012-5-21 中宏（28）14中宏講義，張延著。所有左邊 = s f(k)，f(k)是k 的函數(shù)，滿足f(k)0，f(k) 0和稻田條件。s 為一個固定的常數(shù)，則 s f(k)也是k的函數(shù)，并且是一條滿足 s f(k) 0，sf(k) 0 和稻田條件的曲線。2012-5-21 中宏（28）15中宏講義，張延著。所有f(k)f(k)s f(k)實際投資曲線 s f(k)彎曲得相當厲害0k16（變中宏得講義更，張加延著平。坦所有）2012-5-21中宏（28）右邊 = (n+g

7、+)k 也是 k 的函數(shù)根據(jù)前提假設：n+g+ 0(n+g+)k 是一條斜率為：(n+g+)，單調(diào)上升的直線。2012-5-21 中宏（28）17中宏講義，張延著。所有(n+g+)k(n+g+)k0持平投資曲線k182012-5-21 中宏（28）中宏講義，張延著。所有由于f(0)= 0，因此，當k = 0 時，在原點，曲線 s f(k) 和直線(n+g+)k 一定有交點 視為特例 。除原點以外，隨著k 的增長，即：k 0 時，曲線s f(k)和直線(n+g+)k 是否一定有交點？有無可能出現(xiàn)以下情況：2012-5-21 中宏（28）19中宏講義，張延著。所有f(k)(n+g+)ks f(k)

8、0圖(a)中宏講義，張延著。k202012-5-21中宏（28）所有f(k)s f(k)(n+g+)k0圖(b)中宏講義，張延著。k212012-5-21中宏（28）所有根據(jù)稻田條件：(1) lim k0 s f(k)= ，當k趨于0 時，s f(k) 趨于無窮大s f(k)在原點垂直s f(k) (n+g+)曲線 s f(k)比直線(n+g+)k 陡峭 。在開始的時候，如果滿足：k 0 不會出現(xiàn)圖(a)的情況。2012-5-21 中宏（28）22中宏講義，張延著。所有(2) lim k s f(k)= 0 ，當k 趨于無窮大時， s f(k) 趨于0 s f(k) 在k 趨于無窮大時水平 s

9、 f(k) ( n+g+)曲線 s f(k)比直線( n+g+)k 平坦 。最后，在k 趨于無窮大時，圖(b)的情況。出現(xiàn)2012-5-21 中宏（28）23中宏講義，張延著。所有開始的時候，曲線 s f(k)先比直線(n+g+)k 陡峭，然后隨著k 的上升，曲線 sf(k)逐漸變得比直線(n+g+)k平坦 這兩條線最終肯定會相交 必定存在一個交點。2012-5-21 中宏（28）24中宏講義，張延著。所有最后，f(k) 0，意味著：s f(k)不會從以遞減的速率上升，變成以遞增的速率上升，從拋物線式上升，變成火箭式上升，在k 0 時，這兩條線只相交一次。2012-5-21 中宏（28）25中

10、宏講義，張延著。所有(n+g+)kf(k)s f(k)k0k1*k2*k3*多種可能2012-5-圖21中2宏.（1238）s f(k)中宏和講k義，間張延關著。所的有26我們用k* 表示當兩條線相交時的k 值，滿足方程(1.13)，即：s f(k*) = (n+g+) k*2012-5-21 中宏（28）27中宏講義，張延著。所有f(k)(n+g+)ks f(k)k*圖1.2實際投資與持平投資0k28書P20中宏（28）2012-5-21中宏講義，張延著。所有3、均衡點的含義k= s f(k*) - (n+g+)k* = 0(1.13)它表明，每有效勞動的平均存量的變動率是兩項之差。第一項s

11、 f(k) 是每有效勞動的平均實際投資：每有效勞動的平均產(chǎn)量為f(k)，該產(chǎn)量中用于投資的比例為s 。2012-5-21 中宏（28）29中宏講義，張延著。所有第二項(n+g+)k 是持平投資(break -investment)，即使得k保持在其現(xiàn)有水even平上所必須的投資量。為防止k下降，必須進行一些投資。其有二。第一，現(xiàn)有有折舊；這一部分資本必須予以補足以防止就是(1.13)中的k 項。存量下降。這2012-5-21 中宏（28）30中宏講義，張延著。所有第二，有效勞動的數(shù)量是增長的。這存量(K)不變的投資樣，恰好足以使得并不足以保持每有效勞動的平均存量(k)不變。相反，由于有效勞動的

12、數(shù)量以 n+g 增長，存量也必須以n+g 增長以保持k 穩(wěn)定。這是(1.13)中的(n+g)k 項。2012-5-21 中宏（28）31中宏講義，張延著。所有 二、k的動態(tài)學 均衡的穩(wěn)定性不管k 從何處開始，它是否都在向k*收斂？ 均衡k*是否穩(wěn)定，一旦偏離k*是否量使之回復均衡？學中只對穩(wěn)定性均衡。 可重復發(fā)生的、有規(guī)律性的事感情。非穩(wěn)定性均衡意味著可遇不可求的事情2012-5-21 中宏（28）32中宏講義，張延著。所有均衡位置穩(wěn)定性均衡：可重復出現(xiàn)、具有規(guī)律性的狀態(tài)2012-5-21 中宏（28）33中宏講義，張延著。所有非穩(wěn)定性均衡：可遇不可求的、沒有規(guī)律的狀態(tài)。均衡位置2012-5-

13、21 中宏（28）34中宏講義，張延著。所有 方程(1.13)是索洛模型的關鍵方程k = s f(k) (n+g+)k = 0(1.13) k是k 的函數(shù)，k = (k)我們可以畫出 k 隨 k 變化的相圖。2012-5-21 中宏（28）35中宏講義，張延著。所有kk0書P21圖1.3索洛模型中 k 的相圖2012-5-21 中宏（28）36中宏講義，張延著。所有1、一階導 dkdk 決定 k的單調(diào)性dkdk=s f(k) (n+g+)一階導 dkdk 的變化分三種情況討論：如果 dkdk= s f(k) (n+g+) 0k隨 k而單調(diào)上升。2012-5-21 中宏（28）37中宏講義，張延

14、著。所有如果dkdk= s f(k) (n+g+)= 0 k 達到極值。如果 dkdk= s f(k) (n+g+) 0 k 隨 k而單調(diào)下降。2012-5-21中宏（28）38中宏講義，張延著。所有2、二階導 d 2 kdk 2 決定 k 的凹凸性d 2 kdk 2=s f(k) 0k 以遞減的速率單調(diào)上升k隨 k而凹向原點。2012-5-21 中宏（28）39中宏講義，張延著。所有kk0書P21圖1.3索洛模型中 k 的相圖2012-5-21 中宏（28）40中宏講義，張延著。所有圖1.3以相圖的形式對此作了總結(jié)。在相圖中，k 被表示為k 的一個函數(shù)。存在一個k，使得：k = (k) =

15、0定義使得 k= (k) = 0的 k 為 k*可能存在三種情況：2012-5-21 中宏（28）41中宏講義，張延著。所有kk 0k= 0kk*k 00書P21圖1.3索洛模型中 k 的相圖2012-5-21 中宏（28）42中宏講義，張延著。所有(1) 如果 k 最初小于k*， k1 k*從相圖可見，在k*以左的k1 存在：k0其數(shù)學含義為：k1不穩(wěn)定，還要繼續(xù)增長，向k*趨近。2012-5-21 中宏（28）43中宏講義，張延著。所有并且：s f(k1 ) - (n+g+)k1 0k =s f(k1 ) (n+g+)k1含義：如果每有效勞動的平均實際投資大于所需的持平投資，則k 上升。2

16、012-5-21 中宏（28）44中宏講義，張延著。所有f(k)(n+g+)ks f(k)kkk0k*k 的相圖與實際投資和持平投資的對應2012-5-21 中宏（28）45中宏講義，張延著。所有(2) 如果k 最初大于k*， k2 k*從相圖可見，在k* 以右的k2 ，存在：k 0其數(shù)學含義為： k2 不穩(wěn)定，還要繼續(xù)下降，向 k* 趨近。并且：k = s f(k) - (n+g+)k 0 s f(k) (n+g+)k含義：如果每有效勞動的平均實際投資小于所需的持平投資，則k 下降。2012-5-21 中宏（28）46中宏講義，張延著。所有(3) 如果k 最初恰好等于k*，k = k*從相圖

17、可見，存在：k = 0其數(shù)學含義為：k* 穩(wěn)定、不變。k = s f(k*) - (n+g+)k* = 0 s f(k*) = (n+g+)k*含義：如果每有效勞動的平均實際投資等于所需的持平投資，則k 不變。2012-5-21 中宏（28）47中宏講義，張延著。所有 結(jié)論：不管k 從何處開始，它都向k* 收斂。2012-5-21中宏（28）48中宏講義，張延著。所有均衡位置穩(wěn)定性均衡：可重復出現(xiàn)、具有規(guī)律性的狀態(tài)2012-5-21 中宏（28）49中宏講義，張延著。所有滿足前提條件的，必然會的平衡增長路徑。*踏上2012-5-21 中宏（28）50中宏講義，張延著。所有特殊點：如果k 最初為

18、0，根據(jù)已知條件：f(0)= 0，則滿足方程(1.13)：k = s f(0) - (n+g+)0 = 0k 就會停留在那兒。我們忽略這種可能性。2012-5-21中宏（28）51中宏講義，張延著。所有3、k 上升或者下降的含義：(1) 為什么 k 0 時，k不穩(wěn)定，還要繼續(xù)下降，向k* 趨近？如何解釋，如果每有效勞動的平均實際投資小于所需的持平投資，則k下降？2012-5-21 中宏（28）52中宏講義，張延著。所有如果存在 s f(k) ( n+g+)k即：k= s f(k) - (n+g+)k0兩邊同除以 k ( k 0 )，得到：k k即： k k= s f(k) k - ( n+g+

19、) 0=K K L L A A 0即： K KL L + A A2012-5-21 中宏（28）53中宏講義，張延著。所有如果的增長率的增長率小于勞動力和知識勞動力對來講，變得越富裕勞動力市場供給 需求勞動力的價格(工資)下降勞動力的邊際成本下降發(fā)生替代，廠勞動力替代L的同時K (KL)(KAL) k2012-5-21 中宏（28）54中宏講義，張延著。所有(2) 為什么k 0 時， k不穩(wěn)定，還要繼續(xù)上升，向k* 趨近？如何解釋，如果每有效勞動的平均實際投資大于所需的持平投資，則k上升？如果存在 s f(k) (n+g+)k即：k =s f(k) - (n+g+)k0兩邊同除以 k ( k

20、0 )，得到：k k即：k k= s f(k)k - (n+g+) 0=K K L L A A 02012-5-21 中宏（28）55中宏講義，張延著。所有即：K K L L + A A如果長率。的增長率大于勞動力和知識的增對勞動力來講，變得越來越富裕市場供給 需求的價格( 利率)下降的邊際成本下降 發(fā)生替代，廠替代勞動力 L的同時K (KL) (KAL) k2012-5-21 中宏（28）56中宏講義，張延著。所有 索洛模型的隱含前提：要間可以自由替代、自發(fā)調(diào)節(jié)。K 與L 可替代。2012-5-21 中宏（28）57中宏講義，張延著。所有K0L 正中宏常講義的，張延等著。所量有曲線2012-

21、5-21 中宏（28）58索洛模型的結(jié)論：只要市場機制是完善的，經(jīng)濟依靠自身的力量就可以實現(xiàn)穩(wěn)定增長。2012-5-21 中宏（28）59中宏講義，張延著。所有 三、與哈羅德 多馬模型的比較。哈羅德(1939年)、多馬(1946)模型。Harrod, R. F. (1939), “ An Essay in Dynamic Theory.” E. J. 49 (March): 14-33Domar, Evsey D. (1946). “Capital Expansion,Rate of Growth, and Employment.” E.T.A.14(April): 137-1472012-5

22、-21 中宏（28）60中宏講義，張延著。所有假定生產(chǎn)函數(shù)為里昂惕夫函數(shù)：Y(t) = Min cK K(t)，cL e gt L(t)其中cK、cL 和 g 均為正。與索洛模型一樣，L(t) = n L(t)K(t) = s Y(t) -K(t)， A(t) = g A(t)最后，假定： cK K(0) = cL L(0)2012-5-21 中宏（28）61中宏講義，張延著。所有生產(chǎn)函數(shù)為：Y(t) =Min cK K(t)，cL ee ggtt L(t)也是一個勞動增進型的生產(chǎn)函數(shù)。表明等產(chǎn)量曲線為直角凸的形狀。2012-5-21中宏（28）62中宏講義，張延著。所有KcK K(t)0Lc

23、L e gt L(t)中宏直講角義，張凸延著。的等所有 產(chǎn)量曲線2012-5-21 中宏（28）63 哈羅德 多馬模型的隱含前提：要素K 與L之間不能自由替代、市場機制不能自發(fā)調(diào)節(jié)。2012-5-21 中宏（28）中宏講義，張延著。所1、k 的動態(tài)學 均衡的存在性由于 k = KAL，用鏈式法則可得。兩個變量之比的增長率等于其增長率( X1 X2 )(X1 X2)之差：=X1 X1-X2 X2 (AL)ALkk= KK2012-5-21 中宏（28）65中宏講義，張延著。所有根據(jù)均衡的定義，均衡是對立的、變動著的變量處于一種力量相當、相對靜止、不再變動的境界。均衡是一種不再變動的境界。如果均衡存在，應該有：k =d kd t=0即：kk= KK (AL)AL =0即： KK= (AL)AL2012-5-21中宏（28）66中宏講義，張延著。所有K(t) K(t)（均衡的定義式）cK K(t) cK K(t)cK K(t) cK K(t) K(t) K(t) s Y(t) -K(t) K(t)=s Y(t) K(t) =實際增長率2012-5-21 中宏（28）67中宏講義，張延著。所有 A(t)L(t)A(t) L(t) （均衡的定義式） cL e gt L(t) cL e gt L(t)cL e gt g L(t) + egt