1、緊扣“等可能”，突破幾何概型教學的難點前一陣在中學數學教學參考上看到這樣一個例子：1 1 等腰 RtRt ABCABC 中，在斜邊 ABAB 上任取一點 M M 求 AMAM 小于 ACAC 的概率2.2.等腰 RtRt ABCABC 中，過直角頂點 C C 在/ ACBACB 內部任作一條射線 CMCM 與線段 ABAB 交于點 M M 求 AMAM 小于 ACAC 的概率3前者的概率是，后者的概率是 4 4這兩個看上去很相近的問題，答案為什么會不同呢？這個問題引起學生的很多的困惑.其實，要解決它，還得回到幾何概型的定義.幾何概型的定義是：對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定

2、的幾何區(qū)域Q內隨機地取一點， 該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣； 而一個隨機事件 A A 的發(fā)生 則理解為恰好取到上述區(qū)域內的某個指定區(qū)域 D D 中的點，這里的區(qū)域可以是線段， 平面圖形， 立體圖形等用這樣的方法處理隨機試驗，稱為幾何概型.列宙測度的測5從幾何概型的定義我們可以看出：解決幾何概型問題的基本步驟是：（i i）找出等可能基本事件；（2 2）對應幾何圖形（所有等可能基本事件所在的區(qū)域Q和隨機事件中等可能基本事件所在的區(qū)域 A A）；（ 3 3）由區(qū)域確定測度.第一個事件所對應的等可能基本事件應該是在線段ABAB 上隨機取一點，這一點落在這個線段上是等可能的.第二個事件所對應的等可能

3、基本事件應該是在直角區(qū)域內任取一條射線，顯然若射線等可能出現在直角區(qū)域內，則點M M 就不可能等可能出現在線段 ABAB 上.如何確定等可能基本事件？抓住“任意”、“隨機”等詞，確定等可能的基本事件空間.貝特朗悖論:幾何概率是十九世紀末新發(fā)展起來的一門學科，使很多概率問題的解決變得簡單而不 用運用微積分的知識然而， 18991899 年，法國學者貝特朗提出了所謂“貝特朗悖論”，矛頭 直指幾何概率概念本身：在一個圓內隨機地畫一條弦，它的長度大于該圓內接等邊三角形邊長的概率是多少？從不同方面考慮，可得不同結果：(1) 由于對稱性， 可預先指定弦的方向 作垂直于此方向的直徑， 只有交直徑于 1/41

4、/4 點 與 3/43/4 點間的弦，其長才大于內接正三角形邊長所有交點是等可能的 , , 則所求概率為 1/21/2 (2)由于對稱性，可預先固定弦的一端.僅當弦與過此端點的切線的交角在6060120120 之間，其長才合乎要求所有方向是等可能的，則所求概率為1/31/3 (3) 弦被其中點位置唯一確定.只有當弦的中點落在半徑縮小了一半的同心圓內，其 長才合乎要求.中點位置都是等可能的，則所求概率為 1/41/4 .這導致同一事件有不同概率，因此為悖論.得到三種不同的結果，是因為在取弦時采用了不同的等可能性假設：在第一種解法中 則假定弦的中點在直徑上均勻分布； 在第二種解法中假定端點在圓周上

5、均勻分布，而第三種解法中又假定弦的中點在圓內均勻分布. 這三種答案是針對三種不同的隨機試驗，對于各自的隨機試驗而言，它們都是正確的.三個結果都正確！這就是讓老師和學生感到迷惑不解的原因.這一悖論揭示了幾何概率在1919 世紀剛興盛時期存在著其邏輯基礎的脆弱性，也反映出古典概率有著相當的局限.這也推動了 2020 世紀概率論公理化工作的早日到來.關于這個悖論有很多種討論，在此不一一贅述.老師們只需明白的是確定“等可能基 本事件”的重要性，在解決幾何概型問題時，必須找準觀察角度、明確隨機選擇的意義、判 斷好基本事件的等可能性.如何對應幾何圖形？有的問題，幾何特征較為明顯，能迅速找到相應的幾何圖形，計算其測度.但有的問 題中，找到相應的幾何圖形較為困難.如：例.一家快遞公司的投遞員承諾在上午9 9： 0 0 0 0 1010： 0000 之間將一份文件送到某單位.11即接受人員在離開單位之前能拿到文件的概率為12(I)如果這家單位的接收人員在上午9 9: 4545 離開單位，寫出他在離開單位前能拿到文件的概率;解：(I)所求事件的概率為 ；.看成平面中的點，試驗的全部結果所構成的區(qū)域為.:.-I這是一個長方形區(qū)域，面積為設事件討表示“接受人員在離開單位之前能拿到文件”，則事件1 1 所構成的區(qū)域為嚴31111旨找XX =面積為i 2 j j -.這是一個幾何概型，所以(n)如果這