1、 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及 冪級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：利用正項(xiàng)別法（兩個(gè)條件）交錯(cuò)級(jí)數(shù)：萊布尼茲判法比值判別法、根值判別比較判別法、正項(xiàng)級(jí)數(shù)：充要條件、收斂判別法具有相同的斂散性與收斂，收斂加括號(hào)性性有限項(xiàng)改變不影響斂散必要條件：性質(zhì)對(duì)收斂、條件收斂任意項(xiàng)級(jí)數(shù)、收斂、絕數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)、部分和、正項(xiàng)級(jí)定義)0(,0limcacababaunnnnnnnn常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 交錯(cuò)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件比較判別法達(dá)朗貝爾比值判別法柯西根值判別法收斂 1nnul正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù)Sn 有界.它的部分和數(shù)列l(wèi)

2、 正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的比較判別法且 0 un vn ( n = 1, 2, ) , 11nnnnvu 與設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù) . , (1)11收斂則收斂若nnnnuv . , (2)11發(fā)散則發(fā)散若nnnnvu大收小收, 小發(fā)大發(fā).比較判別法的極限形式;, 2 , 1( 0 ,nvn且設(shè)和為兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) ,lim ). 0則若開(kāi)始或從某一項(xiàng)nnnvuN . , 0 ) 1 (11具有相同的斂散性與時(shí)nnnnvu. , 0 )2(11收斂收斂時(shí)nnnnuv. , )3(11發(fā)散發(fā)散時(shí)nnnnuvl達(dá)朗貝爾比值判別法 , lim , 11則存在極限為正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)nnnnnuuu(1) 1 ( 包括 = ) 時(shí)

3、, 級(jí)數(shù)發(fā)散；(3) = 1 時(shí), 不能由此斷定級(jí)數(shù)的斂散性.l 柯西根值判別法 , lim , 1則存在極限為正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)nnnnnuu(1) 1 ( 包括 = )時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散；(3) = 1 時(shí), 不能由此斷定級(jí)數(shù)的斂散性.等比級(jí)數(shù)) 0( 11aarnn調(diào)和級(jí)數(shù)1 .1312111nnnP 級(jí)數(shù)11npn( p 0 )(萊布尼茲判別法)11) 1(nnnu滿足條件:(1) (2) un un+1 ( n =1, 2, ) 則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂, 且其和 S 的值小于 u1 .0limnnu(級(jí)數(shù)收斂的必要條件) 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)(單調(diào)減少) 級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和條件收斂 . , | 11必收斂則級(jí)數(shù)收斂

4、若nnnnuu(1) 1 (包括 = ) 時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散.(3) = 1 時(shí), 不能由此斷定級(jí)數(shù)的斂散性.(達(dá)朗貝爾判別法)則存在若設(shè)有級(jí)數(shù) , |lim , 11nnnnnuuu(柯西判別法) |limnnnu和函數(shù)、收斂半徑函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、收斂域、定義性、可積性和函數(shù)：連續(xù)性、可微除四則運(yùn)算冪級(jí)數(shù)：加、減、乘、性質(zhì)展開(kāi)條件、步驟、方法唯一性定義泰勒級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的斂散性阿貝爾定理,0 000）處收斂（在若冪級(jí)數(shù)xxxxannn. , | | 0冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂值的則對(duì)任何滿足xxx 則對(duì)任處發(fā)散在若冪級(jí)數(shù) , 00 xxxannn. , | | 0冪級(jí)數(shù)均發(fā)散值的任何滿足xxx 冪級(jí)數(shù)斂散性定理,

5、0nnnxa對(duì)任何一個(gè)冪級(jí)數(shù)都存在一個(gè)非負(fù)使數(shù) ),0( RR ; , ) ( | 冪級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)此時(shí)當(dāng)RRx; , | 冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂）時(shí)（包括當(dāng)RRx. | 也可能發(fā)散 冪級(jí)數(shù)可能收斂, 時(shí),當(dāng)Rx 求收斂半徑的定理). ), 2 , 1 , 0( 0 ( 0naxannnn設(shè)有冪級(jí)數(shù).1 ),|lim(|lim 1Raaannnnnn則其收斂半徑為或若. 0 , ; , 0 ,RR取時(shí)取時(shí)其中 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算 冪級(jí)數(shù)的解析運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)有兩個(gè)冪級(jí)數(shù))(22100 xfxaxaxaaxannnnn) ,(11RRx)(22100 xgxbxbxbbxbnn

6、nnn) ,(22RRx, 0 , ,21為收斂半徑式中RR則有以下運(yùn)算規(guī)則1. 加、減法, ,min 21RRR 取中則在 ) ,( RR000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa2. 乘 法 ( 對(duì)角線法 ), ,min 21RRR 取中則在 ) ,( RR00nnnnnnxbxa0011110)(nnnnnnxbabababa0nnnxc0a0a0a0a1a1a1a1a2a2a2a2a3a3a3a3a0b0b0b0b1b1b1b1b2b2b2b2b3b3b3b3b0c1c2c3c1冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的) ,()(0RRCxfxannn3冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)具有逐項(xiàng)可積性

7、 dd)(00 0 0 nxnnxnnnttatta2冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)具有逐項(xiàng)可導(dǎo)性 . )(dddd00nnnnnnxaxxax定理 , )U( )( 0內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)在設(shè)xxf內(nèi)處的泰勒級(jí)數(shù)在在點(diǎn)則 )U( )( 00 xxxf的充要條件是收斂于 )( xf0)(limxRnn )( )( ,0處泰勒公式的拉在為其中xxfxRn. 格朗日余項(xiàng)函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)推 論, 0 ), 2, 1, (0, | )(| )U( )(0為常數(shù)內(nèi)若在MMxfxn )U( )( 0內(nèi)可展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)在則xxf. )U( ,)(! )()(0000)(xxxxnxfxfnnn)U( ,)()( 000

8、xxxxaxfnnn . ), 2, 1, 0( ! )( 0)(nnxfann則定理即點(diǎn)處可展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，在若0)(xxf函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)直接展開(kāi)法間接展開(kāi)法),(,),(),()()1()(xfxfxfxfn 的各階導(dǎo)數(shù)求出的冪級(jí)數(shù)：展開(kāi)成將函數(shù)xxf)(),0(,),0(),0()(nfff 并求出寫出冪級(jí)數(shù))2( nnxnfxfxff!)0(!2)0()0()0()(2并求出收斂半徑考察)3(1)1()!1()(lim)(limnnnnnxnfxR是否為零。)0(之間與在x從一些已知函數(shù)的泰勒展開(kāi)式出發(fā), 利用冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算和解析運(yùn)算性質(zhì), 以及進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q來(lái)求出另外一些函數(shù)的

9、泰勒公式的方法, 稱為間接展開(kāi)法. . ) ,( , ! 0 xnxennx) ,( ! ) 12() 1(sin012xnxxnnn) ,( ! )2() 1(cos02xnxxnnnnnnxxxxx21111 ) 1 , 1(x、傅立葉級(jí)數(shù)正交序列、傅立葉系數(shù)定義：狄利克雷定理收斂定理：0:,lllll，定義在奇延拓與偶延拓周期延拓：定義在非周期函數(shù)上展開(kāi)在上展開(kāi)在周期函數(shù)傅氏展開(kāi) 設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù) 且能展開(kāi)成三角級(jí)數(shù): 且假定三角級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分 則 dxxfa)(10 nxdxxfancos)(1(n 12) nxdxxfbnsin)(1(n 12) )sincos(2)(

10、10nxbnxaaxfnnn周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)收斂的充分條件傅立葉級(jí)數(shù)收斂的充分條件一類間斷點(diǎn)；）連續(xù)或只有有限個(gè)第（ 1的傅立葉級(jí)數(shù)收斂于則)(),(xfx在一個(gè)周期為周期的函數(shù)，若是以設(shè))(2)(xfxf內(nèi)滿足狄利克雷條件：，）至多有有限個(gè)極值點(diǎn)（ 2。)0()0(21xfxf 如果f(x)為奇函數(shù)那么它的傅里葉級(jí)數(shù)是只含有正弦項(xiàng)的正弦級(jí)數(shù) 1sinnnnxb 如果f(x)為偶函數(shù)那么它的傅里葉級(jí)數(shù)是只含有余弦項(xiàng)的余弦級(jí)數(shù) nxaanncos210 正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) llndxlxnxflbsin)(1(n1 2 )

11、其中 llndxlxnxflacos)(1(n0 1 2 ) 設(shè)周期為2l的周期函數(shù)f(x)滿足狄利克雷定理的條件則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為v定理定理 )sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 一般周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)一般周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)周期延拓周期延拓 延拓前 yf(x)延拓后 yF(x)非周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)奇延拓與偶延拓奇延拓與偶延拓奇延拓偶延拓120), 2 , 1( , 0.1nnnana），（收斂，常數(shù)且設(shè).)tan()1(1nnnann則級(jí)數(shù)有關(guān)斂散性與發(fā)散條件收斂絕對(duì)收斂.DCBA,32)12()1(,011 , 0(arctan)(.2202nnnxxxxxf且已知設(shè)10.)(dxxf試求22.2)1(1.3nnn的和求級(jí)數(shù))(21) 1() 1 (41處處收斂，則此級(jí)數(shù)在在若xxxannn收斂性不能確定發(fā)散絕對(duì)收斂條件收斂.DCBA.75