1、2.3 垂徑定理學習目標學習目標1.1.進一步認識圓，了解圓的對稱性進一步認識圓，了解圓的對稱性. .2.2.理解理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它解決一些簡單的計算、證明和作圖問題它解決一些簡單的計算、證明和作圖問題. .（重點）（重點）3.3.靈活運用垂徑定理解決有關(guān)圓的問題靈活運用垂徑定理解決有關(guān)圓的問題. .（難點）（難點）問題引入問題1圓是軸對稱圖形嗎？問題2它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？圓是軸對稱圖形其對稱軸是直徑所在的直線 無數(shù)條問題3你知道趙州橋嗎? 它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m, 拱高(弧的中點到弦

2、的距離)為7.23m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？垂徑定理及其推論做一做： 剪一個圓形紙片，在圓形紙片上任意畫一條垂直于直徑CD的弦AB,垂足為P，再將紙片沿著直徑CD對折，比較AP與PB，AC與CB，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？OABDP互動探究C線段: AP=BP弧: AC=BC, AD=BD理由如下：把圓沿著直徑CD折疊時，CD兩側(cè)的兩個半圓重合，點A與點B重合，AP與BP重合，AC和BC,AD與BD重合OABDPC想一想： 能不能用所學過的知識證明你的結(jié)論？OABDCP試一試已知：在O中，CD是直徑，AB是弦，ABCD，垂足為P. 求證：AP=BP， AC =BC,AD =BD.證明：連接OA

3、、OB、CA、CB，則OA=OB.即AOB是等腰三角形.ABCD，AP=BP， AC =BC.AD =BD，AOC=BOC.從而AOD=BOD.u垂徑定理OABCDP垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對的兩條弧. CD是直徑，CDAB，(條件) AP=BP, AC =BC,AD =BD.(結(jié)論)歸納總結(jié)u推導格式：溫馨提示：垂徑定理是圓中一個重要的定理,三種語言要相互轉(zhuǎn)化,形成整體,才能運用自如.下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？是不是，因為沒有垂直是不是，因為CD沒有過圓心ABOCDEOABCABOEABDCOE議一議垂徑定理的幾個基本圖形：ABOCDEABOE

4、DABO DCABOC例1 證明：圓的兩條平行弦所夾的弧相等. 已知：如圖， O中弦ABCD, 求證：ACBD.證明：作直徑MNAB.ABCD，MNCD.則AMBM，CMDM AMCMBMDMACBD.MCDABON典例精析例2 如圖，O的弦AB8cm ，直徑CEAB于D，DC2cm，求半徑OC的長.OABECD解：連接OA， CEAB于D，1184(cm)22ADAB 設(shè)OC=xcm，則OD=x-2,根據(jù)勾股定理，得解得 x=5，即半徑OC的長為5cm.x2=42+(x-2)2， 如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。┙Y(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？過圓心 ；垂直

5、于弦； 平分弦；平分弦所對的優(yōu)弧 ； 平分弦所對的劣弧。上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論嗎？OABDCP已知：在O中，CD是直徑，AB是弦（不是直徑），與CD交于點P，且P是AB的中點.求證：ABCD， AC =BC,AD =BD.試一試證明：連接OA、OB、CA、CB，則OA=OB.即AOB是等腰三角形.P是AB的中點，ABCD.即AP=BP， CD是直徑，CDAB， AC =BC,AD =BD.思考：“不是直徑”這個條件能去掉嗎？如果不能，請舉出反例. 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦,并且平分這條弦所對的兩條弧.u垂徑定理的推論OABCD特別說明：圓的兩條直徑是互相

6、平分的.歸納總結(jié)垂徑定理的本質(zhì)是:滿足其中任兩條，必定同時滿足另三條（1）一條直線過圓心（2）這條直線垂直于弦（3）這條直線平分不是直徑的弦（4）這條直線平分不是直徑的弦所對的優(yōu)?。?）這條直線平分不是直徑的弦所對的劣弧例3 如圖，在 O中，點C是AB的中點，弦AB與半徑OC相交于點D，AB=12，CD=2求的 O半徑典例精析解：連接AO，點C是AB的中點，半徑OC與AB相交于點D，OCAB，AB=12，AD=BD=6，設(shè) O的半徑為R，CD=2，在RtAOD中，由勾股定理得：AO2=OD2+AD2，即：R2=（R-2）2+62，R=10即， O的半徑為10 你能利用垂徑定理解決求趙州橋主橋拱

7、半徑的問題嗎?試一試垂徑定理的實際應(yīng)用ABOCD解：如圖，用AB表示主橋拱，設(shè)AB所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與弧AB交于點C，則D是AB的中點，C是弧AB的中點，CD就是拱高. AB=37m，CD=7.23m. AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.解得R27.3（m）.即主橋拱半徑約為27.3m.R2=18.52+(R-7.23)2 222OAADOD 在圓中有關(guān)弦長a,半徑r, 弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h的計算題，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.方法歸納涉及垂徑定理時輔助線的添加方法弦

8、a，弦心距d，弓形高h，半徑r之間有以下關(guān)系：弓形中重要數(shù)量關(guān)系A(chǔ)BC DOhrd2a2222ard d+h=r OABC 如圖a、b,一弓形弦長為 cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為_. 64C DCBOADOAB圖a圖b2cm或12cm 練一練例4 如圖，某窗戶由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度AB=6m，弓形的高EF=2m，現(xiàn)設(shè)計安裝玻璃，請幫工程師求出弧AB所在圓O的半徑典例精析解：弓形的跨度AB=6m，EF為弓形的高，OEAB于F，AF= AB=3m，設(shè)AB所在圓O的半徑為r，弓形的高EF=2m，AO=r，OF=r-2，在RtAOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2

9、，即r2=32+（r-2）2，解得r= m即，AB所在圓O的半徑為 m21413413當堂練習1.如圖，OEAB于E，若O的半徑為10cm,OE=6cm,則AB= cm.16OABE2.如圖，在 O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，ODAB于D，OEAC于E，求證四邊形ADOE是正方形DOABCE證明：證明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形. 3.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點。你認為AC和

10、BD有什么關(guān)系？為什么？證明：過O作OEAB，垂足為E， 則AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即 ACBD.O.ACDBE5.（分類討論題）已知O的半徑為10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,則弦MN和EF之間的距離為 .14cm或2cm4. 如圖，在ABC中，已知ACB=130，BAC=20，BC=2，以點C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點D，則BD的長為_ 6.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD,點O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點,且OECD，垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接OC. OCDEF,OECD11600300(m).22CFCD222,OCCFOF22230090.RR設(shè)這段彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m.根據(jù)勾股定理，得解得R=545.這段彎路的半徑約為545m.垂徑定理內(nèi)容